基于稀疏Toeplitz測量矩陣的雷達回波重構

阮懷林,王平

(電子工程學院,安徽 合肥 230037)

0 引言

在壓縮感知[1](compressive sensing, CS)中，接收信號經過稀疏表示后，測量矩陣將信號從高維空間投影到低維空間，希望以較少的投影值實現精確重構出信道沖激響應。CS中測量矩陣不依賴于信號的結構將信號在高維空間的采樣降到低維空間的采樣。硬件容易實現的測量矩陣是CS理論的關鍵，關系到CS理論能否實現。目前測量矩陣主要分為2類：隨機測量矩陣和確定性測量矩陣。

目前隨機測量矩陣主要有高斯隨機測量矩陣[2]、非常稀疏投影矩陣[3]等。基于隨機測量矩陣的隨機濾波器[4]需要有很高的階數，重構信號時需要傳輸大量的濾波器系數數據導致存儲量大、計算速度慢。因而隨機測量矩陣在實際應用中硬件很難實現。如何構造一種更適合的測量矩陣具有重要實際應用價值。而確定性測量矩陣的研究是現階段測量矩陣的一個熱點。文獻[5]提出Toeplitz結構的隨機測量矩陣克服了高斯隨機測量矩陣中自由元素太多的缺點，從而使得測量矩陣的物理實現難度降低且計算速度加快。

為了驗證了本文方法的有效性，以LFM雷達回波信號處理為例進行仿真實驗。本文構造服從高斯分布的Toeplitz結構測量矩陣，并通過稀疏化處理，提出了基于稀疏Toeplitz結構的測量矩陣的構造方法，分析了該測量矩陣的RIP特性；最后進行了仿真分析，并對本文進行了總結。

1 基于壓縮感知的LFM信號重構

1.1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論指出當信號滿足稀疏或可壓縮性時，可以采集少量觀測信號，然后通過求解一個優化問題準確重建原始信號，即對于稀疏度為K的稀疏信號x∈RN降維觀測得到觀測矢量y∈RM，即

y=Φ(Ψα+v)=Θα+n，

(1)

式中：Φ為測量矩陣；Ψ為稀疏字典；α為稀疏系數；n為M×1維噪聲矢量；Θ=ΦS為感知矩陣。定義壓縮比α=M/N，其中，M為壓縮觀測數目，N為信號r的長度。若Φ滿足限制等距性[6](restricted isometry property, RIP)，則式(1)可通過求解約束最優化問題[7]，即

(2)

式中：ε為與噪聲有關的常量。

有關CS理論的研究主要集中稀疏表示、壓縮測量和重構信號3個方面，圖1所示為壓縮感知理論的框架。

1.2 基于CS的LFM信號回波模型

CS理論用于雷達信號處理中時，首先應該對信號稀疏表示，然后進行壓縮測量，最后通過重構算法進行重構。那么，LFM雷達發射信號的表達式為

s(t)=Aexpj2πfct+εt2/2,t∈[-T/2,T/2]，

(3)

式中：A為信號幅度；fc為載波頻率；ε=B/T為調頻斜率；T為發射信號脈沖寬度。

將雷達天線和目標看作一個線性時不變系統，即得雷達的回波信號r(t)：

(4)

式中：K為目標的個數；σi為目標散射特性(RCS)；τi為光速在雷達與目標之間往返一次的時間，τi=2Ri/c，Ri∈[R0,R0+ΔR]為第i個目標與雷達的相對距離，R0為測量最近距離；n(t)為噪聲。

稀疏字典設計的基本思想就是首先要充分考慮信號的特征參數，然后根據這些特征參數來構造合適字典的原子。在不考慮諸如多普勒頻移等其他干涉的情況下，那么根據回波信號當中延遲特征參數τi，采用發射信號延遲來構造字典中的原子[8]：

Ψn=Aexpj2π[fc(t-nτ)-ε(t-nτ)2/2],

n=1,2,…,

(5)

式中：τ為字典中原子距離分辨率，字典的原子距離分辨率決定了字典中原子的數目。這個字典相對于回波信號來說是完備的，相對于發射信號而言，原子是發射信號不同延時。

圖1 壓縮感知理論的框架Fig.1 Graph theoretic framework of compressed sensing

1.3 測量矩陣設計條件

選擇合適測量矩陣關系到信號重建所需測量次數以及能否實際應用。由于測量矩陣的測量數M與信號長度N、稀疏度K有著密切的聯系，那么設計測量矩陣Φ就應兼顧考慮到稀疏字典Ψ的稀疏表示能力和二者的相干性，即滿足條件的測量數盡可能少同時保證信號的重建精度。目前，測量矩陣的設計準則主要包括RIP準則和非相干性準則。

當信號本身稀疏時，測量矩陣Φ∈RM×N需滿足RIP特性，RIP特性可定義為：

定義1 限制等距性：如果對于所有的含有不超過K個非零元素的x∈RN，都有

(6)

成立，就稱測量矩陣Φ以限制等距常數(restricted isometry constant, RIC)δK(Φ)∈(0,1)滿足K階限制等距性，即Φ滿足RIP(K,δK(Φ))。

應當指出RIP特性是充分非必要條件，RIC常數計算困難，該條件在指導設計測量矩陣時很難。那么就希望盡可能利用Φ的特性來判定，達到容易計算以提供更具體的恢復保證，于是相干性理論被提出[9]。其與RIP性質等價為測量矩陣Φ與稀疏字典Ψ不相干，所以實際中常采用非相干性理論衡量測量矩陣Φ處理稀疏信號的能力。

定義2 相干性：測量矩陣Φ與稀疏字典Ψ二者的相干性μ(Φ,Ψ)定義為

(7)

為了描述測量矩陣各列局部的相關特性，于是累積相干[10]的概念被提出。累積相干參數定義為一個固定的列與其他的k個列間絕對內積的最大值。

定義3 累積相干：測量矩陣Φ的累積相干參數定義為

(8)

其中：Λ為由k個列向量的序號所組成的集合。累積相干μ(k,Φ)反映了測量矩陣k個列向量子矩陣與其他向量間的相關特性。累積相干參數μ(k,Θ)很好地反映了Θ列之間的相關特性。在累積相干參數μ(k,Θ)的基礎上，定義互累積相干參數[11]μ(k,Θ,D)，即

定義4 互累積相干參數：

(9)

互累積相干參數μ(k,Θ,D)越小，優化信息算子D重建稀疏信號的性能越好。基于相干性判別理論可以理解為使互累積相干參數μ(k,Θ,D)盡量小。

2 基于稀疏Toeplitz結構測量矩陣

2.1 測量矩陣的設計

Bajwa對Toeplitz矩陣應用到壓縮感知測量矩陣的可行性進行了研究。那么，我們便可以構造一個元素服從高斯分布的Toeplitz測量矩陣Φ∈RM×N，即

(10)

可以看出ΦGau-Ts只需N+M-1個獨立元素，其他元素通過循環移位來實現，而循環移位易于硬件來實現。此外Toeplitz矩陣獨有循環環結構使它具有卷積特性，所以在線性系統中得到大量運用。

矩陣ΦGau-Ts中所有獨立元素構成向量P=(p1,p2,…,pN,pN+1,…,pN+M-1)，從向量P中以間距μ隨機選取[(N+M-1)-((N+M-1)/μ)]個元素賦值為0，向量P中其他元素pi的值依然服從高斯分布。為了與式(10)區別表述，稀疏化后的向量記為Q=(q1,q2,…,qN,qN+1,…,qN+M-1)，那么根據向量Q構造稀疏Toeplitz結構矩陣為

(11)

由以上構造的測量矩陣可知，高斯隨機測量矩陣需MN個獨立元，式(10)構造的測量矩陣ΦGau-Ts需N+M-1個獨立元。對ΦGau-Ts矩陣進行稀疏化后，構造的測量矩陣僅需(N+M-1)/μ個獨立元，μ為稀疏間距，其余元素為0。

2.2 限制等距性分析

實際上測量矩陣是否滿足RIP條件的驗證比較難，J-L定理與CS在理論上有一定的區別但是也有一定的相似性，Baraniuk等人[12]利用CS理論和J-L理論的相似性給出了簡單的驗證RIP的方法。J-L定理指出服從一定分布的隨機降維投影可將N維歐式空間中任意包含K個點的集合映射到M維的歐式空間上，并且能以很高的概率確保原歐式空間中任何兩點的距離變化任意小。文獻[11]論證了高斯分布的測量矩陣滿足RIP特性。

(12)

滿足RIP特性。

式中：任意向量x∈RK，常數c(δK(Φ))取決RIC常數δK(Φ)。

(13)

成立。

那么由以上分析可知，Toeplitz測量矩陣ΦGau-Ts、稀疏Toeplitz測量矩陣ΦGau-Sparse-Ts分別都可以高概率1-exp(-cM)滿足RIP特性，也即可以高概率精確重構信號。

3 仿真分析

為了研究測量矩陣性能，分析高斯(Gau)測量矩陣、高斯Toeplitz(Gau-Ts)測量矩陣、稀疏Toeplitz結構(Gau-sparse-Ts)測量矩陣進行分析比較。仿真實驗從重構效果、相干性、噪聲對觀測結果的影響3個方面對本文提出的測量矩陣進行性能分析。

首先給出雷達發射信號參數：頻帶寬度為B=30 MHz，脈沖寬度為T=10 μs，中心頻率為1 GHz，采樣頻率為fs=150 MHz，噪聲為高斯白噪聲。參數化冗余字典的距離分辨率是100 m。假設雷達感興趣區域內存在3個目標，目標與雷達距離為(1 100，2 100，2 300)m，目標反射系數σ為(0.5，1，0.5)，距離門為1 000～2 500 m。定義壓縮比為α=M/N其中，M是壓縮觀測數目，N是信號的長度。稀疏Toeplitz矩陣稀疏間距μ=8。為了著重研究測量矩陣，仿真中重構算法采用貝葉斯重構算法[13]。

3.1 重構效果

圖2為基于稀疏Toeplitz結構測量矩陣的脈沖壓縮處理重構前后的LFM雷達信號圖，其中壓縮比α=0.3，SNR=0 dB。可以看出，稀疏Toeplitz結構測量矩陣對經稀疏表示的信號進行壓縮測量后，基本可以精確重構實際信道位置與幅度。

圖2 實際效果圖Fig.2 Actual effect chart

3.2 相干性分析

為了研究由不同測量矩陣構成感知矩陣Θ=ΦΨ∈RM×N對重構結果的影響，計算各感知矩陣Θ互累計相干參數。圖3中曲線分別上述3種測量矩陣構成感知矩陣的互累積相干參數μall(Φ,Ψ)隨稀疏度K變化曲線。從圖中明顯可知，隨著稀疏度的增大，3種方法的互累計相干參數μall(Φ,Ψ)逐漸增大，稀疏Toeplitz結構測量矩陣明顯較其他2種測量矩陣互累積相干參數μall(Φ,Ψ)小。說明相比較而言，稀疏Toeplitz結構測量矩陣具有更低的相干性。

圖3 互累積相干參數與稀疏度關系Fig.3 Relations between cumulative coherence and spa rsity

3.3 噪聲對重構結果的影響

噪聲存在時，不同測量矩陣得到重構結果的相對估計誤差定義為

(14)

圖4所示為3種測量矩陣經過Num=200次蒙特卡羅仿真后相對估計誤差隨信噪比SNR變化曲線圖。從圖中總體來看，同一信噪比時， 稀疏Toeplitz結構測量矩陣的誤差較其他2種方法都小，說明其具有更好的抗噪性。同時，隨著SNR增大，各測量矩陣相對誤差逐漸減小并趨于穩定。在SNR≥0 dB時，圖中相對估計誤差曲線更加平穩。另外隨著SNR的降低，噪聲成為影響重構誤差的主要因素，這也驗證了文獻[3]的結論，即當目標向量K稀疏且測量矩陣滿足RIP特性時，誤差將主要由測量噪聲水平決定。

圖4 相對估計誤差與SNR曲線Fig.4 Relative estimation error and SNR curve

4 結束語

測量矩陣的設計是壓縮感知中的一個關鍵問題。本文通過仿真實驗驗證了提出方法的可行性。在LFM雷達回波信號稀疏表示的基礎上，通過稀疏化Toeplitz結構，使得可以克服隨機測量矩陣的不確定性，存儲空間與重構時間得到有效降低，更易于通過硬件實現。

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