基于selfGDE3算法的低軌預警系統優化設計方法*

簡平，鄒鵬，熊偉

(裝備學院a.研究生管理大隊;b.重點實驗室，北京 101416)

0 引言

為應對未來戰爭彈道導彈不斷增加的威脅，及時的預警和有效的跟蹤越來越重要。與地基、海基、空基預警相比，天基預警系統不受地球曲率的限制，通過星載紅外探測器盡早探測到彈道導彈的發射，并將信息迅速傳遞給地面中心，能夠提供更加廣闊的更長的預警時間和監視范圍，以組織有效的反擊。紅外低軌預警系統通過多星協同工作對自由段導彈目標進行捕獲與跟蹤，針對低軌預警系統的設計日益受到廣泛關注。天基低軌預警系統設計，是一個多目標優化問題，要從天基傳感器的特點和系統任務的要求兩方面出發，設計目標是在現有的經濟條件下盡量提高系統的覆蓋性能和監視能力。國內外對低軌星座系統設計已經開展了很多研究，近年來對紅外低軌星座系統也有一些涉足。文獻[1]利用改進的低軌道星座設計方法，研究了以最少的衛星來實現空間一重覆蓋問題。文獻[2-3]探討了多學科協同優化的紅外低軌星座設計方法。文獻[4-5]提出了描述空間觀測性能指標和基于緯度威脅加權的觀測性能評估方法，并考慮星座成本及碰撞因素，建立了星座優化目標函數，引入GDE3(generalized differential evolution 3)算法對紅外低軌星座進行了優化設計。以上研究有的只考慮星座對地面的覆蓋特性，不能優化星座構型，有的對星座構型中的離散變量(如衛星數、軌道面數目)的優化設計考慮不全面，有的沒有考慮GDE3算法本身性能因素，從而影響了系統優化設計的效果。本文在以上研究的基礎上，從影響GED3算法性能的控制參數著手，研究了自適應控制參數的優化設計方法，建立了低軌預警系統優化指標模型，設計了系統優化的目標函數，最后進行了仿真實驗。

1 自適應通用差異演化算法

近些年來，人們通過模擬自然界生態系統機制，提出了一系列求解復雜優化問題的仿生優化算法，如遺傳算法、蟻群算法、粒子群算法、差異演化算法等，以及S.Kukkonen和Jouni Lampinen等先后提出三代通用差異演化算法[6-8]，為解決低軌預警系統多目標優化設計提供了思路。

1.1 通用差異演化算法原理

差異演化算法是一種基于種群演化的實數編碼，可以隱并行地搜索解空間的多個解，產生基于Pareto最優概念的多目標優化的演化算法。通用差異演化算法[6-9]共發展了3代，GDE3[9]對原有的GDE和GDE2進行了改進，將DE方法應用到具有M個目標函數和V個約束函數的問題。GDE3算法的基本流程：

(1) 輸入初始化參數D，Gmax，NP≥4，F∈(0,1+]，初始基向量：xlo,xhi。

(3) 交叉變異產生父代個體的試驗個體。任意選擇r1,r2,r3∈{1,2,…,NP}用來生成xj, i,G的試驗個體，其中r1,r2,r3與i兩兩互異，并產生隨機參數jrand=rand(1,D)。則試驗個體uj, i,G的每個決策變量有

for(j=1;j≤D;j=j+1)

{

if(randj[0,1)

uj,i,G=xj,r3,G+F(xj,r2,G-xj,r1,G)

else

uj,i,G=xj,i,G

}

(1)

CR控制交叉操作，代表試驗個體選擇3個父代個體線性組合的概率；F控制問題解的搜索速度和魯棒性。采用這種交叉策略可以確保下一代個體中至少1個染色體來源于試驗個體uj,i,G。

(4) 選擇操作。對于2個不可行解，選擇試驗個體和父代個體中占優的解，如果互不占優，則選擇父代個體；對于可行解和不可行解，選擇可行的個體；如果試驗個體和父代個體均可行，選擇占優的解，如果互不占優，同時選擇2個解，且m=m+1。

(5)i=i+1，如果i

(6) 非劣排序。選擇合適個體，保持G+1代種群規模為NP。對G+1代的種群PG+1={x1,G+1,x2,G+1,…,xNP,G+1,…,xNP+m,G+1}(規模為NP到2NP之間)，通過非劣排序和計算擁擠距離的方法，使得種群規模為NP。

(7) 若G

(8) 輸出當前種群即為Pareto最優解。

1.2 控制參數自適應調整策略

控制參數對差異演化算法的優化能力和收斂速度等性能會產生較大的影響。在通用差異演化算法中主要有3個控制參數：種群規模NP，縮放因子F和交叉概率CR。這3個參數是保持不變的，要獲得最優的參數設置比較困難，因此，有學者提出了自適應調整控制參數的策略[10]，在演化過程中F和CR以概率的形式隨種群發生變化，但未考慮個體的適應度和多目標的情況，具有一定的盲目性。相對于NP，差異演化算法的性能對F和CR更敏感[11]，自適應技術主要應用于F和CR參數。當利用當前的F和CR產生的新個體的適應度優于父代個體時，說明這2個參數是合適的，則無需對這2個參數進行調整，基于這種思想并借鑒單目標優化自適應參數控制方法，將個體的適應度作為參數調整的依據，并結合一定的調整概率提出一種新的對F和CR參數自適應控制策略，提高算法的搜索能力。在調整過程中加入了適應度的比較，目標是讓縮放因子向當前種群中較好的參數方向取值。具體方法是：對種群個體采用不同的F和CR，在演化過程中則按如下公式自動調整(以最小化目標函數為例)：

(2)

(3)

式中：randk,k∈1,2,3,4為[0,1]區間的隨機數；Fbest,G為當前種群中非劣排序后第1個體對應的縮放因子；ui,Gxi,G表示試驗個體劣于(非支配)父代個體。

從式(3)和(4)可以看出，如果個體i用其對應的Fi和CRi值生成的新個體的適應度優于該個體當前適應度，則表明該個體的縮放因子和交叉概率取值是有效的，保留該縮放因子和交叉概率到下一代。只有在ui,G的適應度劣于xi,G的適應度值，并且隨機數小于調整概率τ1，τ2時，才生成新的縮放因子和交叉概率。α是向Fbest,G的趨向率，可表示為

(4)

式中：fj(xbest,G)為當前種群中非劣排序后第一的個體對應的第j個目標適應值;M為優化目標數。

隨著個體xi,G與種群最優個體幾何平均距離的增加，其對應參數Fi,G+1向Fbest,G的趨向率α也越大，相應的隨機擾動越小；當個體xi,G與最優個體接近時，其對應參數的隨機擾動就會增加。參數的自適應控制使種群中適應度較差的個體向著種群中的最優個體趨近，提高算法的性能。自適應控制參數的通用差異演化算法(gencralized differential evolution algorithm self-controlled,selfGDE3)的描述如下：

(1) 設定種群規模NP，最大演化代數Gmax及τ1，τ2的值；

(2) 隨機初始化種群及種群中每個個體對應的參數Fi和CRi，G=0；

(3)i=0；

(4) 利用個體xi(t)對應的參數Fi和CRi，按照GDE3算法的工作策略執行變異、交叉和選擇操作，生成新一代個體xi,G+1；

(5) 按照式(4)計算趨向率α；

(6) 按照式(2)和式(3)更新個體xi,G+1對應的Fi,G+1，CRi ,G+1；

(7)i=i+1；

(8) 如果i

(9) 通過快速非劣排序保持種群規模為NP；

(10) 如果G

(11) 輸出當前種群即為Pareto最優解。

2 低軌預警系統優化設計目標建模

2.1 空間覆蓋建模

凝視傳感器探測視場對關注空域的覆蓋性能反映了低軌星座對深空背景目標的探測能力。根據所需分析圓球面Λn的半徑Rn與衛星軌道半徑Rs和最小指向角時的工作切線半徑Rm的位置關系不同，對應的空間覆蓋范圍也不同[12]。根據圖1分析目標的覆蓋情況：

圖1 覆蓋分析示意圖Fig.1 Picture of coverage analysis

(4) 當目標所處的圓球面Λn的半徑Rn在傳感器的最小指向角切線高度以內時，即OH≤Rn≤Re，Re為地球半徑。由于球面Λn不在衛星S傳感器的視線范圍內，因此目標不能被衛星S覆蓋和探測。

在優化設計中以平均N重幾何覆蓋面積百分比CovNg為覆蓋優化目標：

(5)

式中：T為時間周期推進時間點數；Ssum為被分析空間區域的面積；P為其點區域總數。

以Sj表示某一點區域j的面積，點區域特征點被覆蓋即認為該點區域被覆蓋，kij表示某一時刻i對點區域的覆蓋重數。由于2顆衛星即能對目標形成立體觀測，本文選取N為2，并在優化過程中采用網格點仿真方法求取覆蓋優化指標。

2.2 定位精度建模

在低軌紅外預警系統中，需要2顆或以上衛星對目標進行定位，簡化描述目標與衛星幾何關系對跟蹤精度的影響，可將其幾何關系轉化到二維平面內，定位系統可抽象為一個只測角定位系統，從每顆衛星獲得兩維像平面觀測[13]。通常使用GDOP度量描述預警衛星對目標的定位誤差。GDOP定義如下：

(6)

(7)

(8)

式中：Pθ為目標的定位誤差協方差矩陣；θ1和θ2為2個衛星分別測得目標的觀測角。

GDOP越小精度越高。在優化設計中以平均定位精度GDOPavg為優化目標：

(9)

式中：T為時間周期推進時間點數；P為某一時間點區域總數；Psum為T和P的乘積。GDOPi，j為i時間點j網格區域的定位精度，如果系統對目標的覆蓋在2重以上，需要兩兩計算衛星對目標的定位精度取最小值作為GDOPi，j值。

2.3 星座成本模型

衛星數量是影響星座成本的主要因素，在衛星數目一定的情況下，軌道面數越少成本越低，軌道高度越低軌道傾角越低，則所需的發射能量越小，成本也隨之減少。單星成本估算主要考慮其制造、發射和保險成本，這3方面與衛星質量、軌道高度密切相關。衛星星座成本(以Ccons表示，億美元)估算如下[5]：

(10)

式中：β為保險費所占比例，一般為0.2；h為衛星軌道高度，km；λ1，λ2和λ3為權重因子，λ1+λ2+λ3=1；P為軌道面數；N為星座衛星配置數量；i為衛星軌道傾角，(°)；ih和i1為軌道傾角的上下限值。

3 基于selfGDE3的系統優化設計

采用基于selfGDE3算法對天基低軌預警星座系統設計，在仿真時間內對覆蓋性能、定位精度和星座成本設計目標的計算值為個體的3個適應度，作為進化個體的一部分。下面就低軌預警星座系統個體編碼、優化設計相關問題進行實例分析。

3.1 多目標函數及編碼

本模型的決策變量代表星座系統參數的選擇。Walker星座具有良好的全球覆蓋特性，對于紅外低軌系統，一般采用的星座構型為Walker星座，星座由7個要素確定：衛星數量(S)，軌道面數(P)，諧參數(F)，軌道高度(h)，軌道傾角(I)，第一軌道面升交點赤經(Ω0)，第一軌道面第1顆衛星初始時刻緯度幅角(u0)。Walker星座中第i軌道面上第j顆衛星的升交點赤經Ωi,j和緯度幅角ui,j就可表示為

(11)

(12)

運用selfGDE3算法進行優化設計時，有如下特殊情況需要說明：

(1) 離散型變量的編碼問題

由于星座系統優化設計的變量S，P和F屬于離散型的整數，因此在對這幾個變量的交叉變異后需要取整數，保證衛星數量(S)能夠整除軌道面數(P)，如果S不能整除P，則

S=S+P-mod(S,P) .

(13)

(2) 趨向率問題

由于在低軌預警系統優化設計中的有關覆蓋率優化目標為：1-CovNg，取最小值，如果覆蓋率達到100%，f1(xbest,G)趨近于0，因此趨向率式(4)中求和的分母接近0，程序中無法計算，因此針對預警系統的覆蓋優化目標將趨向率改為

(14)

3.2 仿真參數

地球模型為圓模型，紅外感器探測距離范圍為0～7 000 km，俯仰方向光軸指向范圍為-180°～180°，水平方位光軸指向方位為-90°～90°，引入的測角誤差為80 μrad，λ1，λ2和λ3分別為0.5，0.4和0.1，觀測空間：高度范圍20～600 km；緯度范圍為-30°～30°；經度范圍為-180°～180°，selfGDE3算法參數CR和F為0.8，調整概率τ1和τ2取0.9，種群規模為50，進化代數100。

3.3 實驗結果及系統性能分析

在本文的仿真參數條件下，采用selfGDE3算法進行仿真實驗，得到多種優化方案及性能指標，如表1中的1～10方案。

表1 星座系統方案Table 1 Data of preliminary constellations

其中表中的方案a為文獻[5]采用GDE3優化設計方法得出的較佳系統星座方案，方案b是文獻[2]采用多學科優化設計方法得出的最佳星座系統方案，方案中的性能指標值是根據本文的優化模型求得的。根據不同的考慮側重因素，可以初步選擇不同目標相對較好的不同星座系統方案，如果關注點較為分散(不是特定某一優化目標)，在最終選擇方案時需要綜合考慮各個因素，選擇一個使各個目標都較優的綜合性的方案。一種基于理想點的方法[14]可用來處理這種情況下的多目標方案選擇的決策問題。本文選擇方案6作為最優星座。

本文選擇方案6與方案b進行星座系統性能仿真對比分析(在仿真中，方案b的Ω0，u0參數是隨機產生)。在本文的仿真條件下，與方案b相比，方案6的平均二重覆蓋百分比高1.1%，平均定位精度值小159.752 m，星座成本少0.61億美元，針對不同高度，2個方案的二重覆蓋率對比如圖2所示。方案6在高度260 km左右達到100%二重覆蓋率，而方案b在310 km左右才達到100%二重覆蓋率，在此高度之前，方案6的二重覆蓋率都比方案b高。2個方案的定位精度隨高度變化的對比如圖3所示。方案6在不同高度下定位精度值都低于方案b的值，定位效果明顯好于方案b。

圖2 方案6和b二重覆蓋隨高度變化對比圖Fig.2 Comparison of 2-cover by altitude to scheme 6 and b

圖3 方案6和b平均定位精度隨高度變化對比圖Fig.3 Comparison of positioning precision by altitude to scheme 6 and b

通過以上的仿真分析可以看出，本文方法設計的方案6的性能整體優于方案b，驗證了selfGDE3優化設計方法的有效性。對于2個非支配方案解6和7，如果考慮覆蓋率和成本，選擇方案7更合適，否則可以選擇方案6。

4 結束語

本文提出了自適應控制參數的差異演化算法，建立了低軌預警系統優化設計的空間覆蓋模型、定位精度模型和星座成本計算模型，確定了優化設計中具體的編碼方案和遺傳操作算子，解決了低軌預警星座系統設計中的離散變量選取、優化參數自適應控制的問題。通過仿真可以得出低軌星座方案，并通過性能仿真驗證了本文所研究的優化設計方法的有效性和優越性。本文所建立的低軌預警系統的優化模型、提出的基于selfGDE3的系統優化設計方法可為紅外低軌預警星座系統研究提供方法基礎和參考，為進一步開展天基低軌預警系統應用研究(如面向導彈跟蹤的天基預警系統任務規劃和傳感器資源調度研究)奠定基礎。

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