小子樣情況下的概率性能指標(biāo)評定方法研究*

賈旭山，金振中

(1. 中國人民解放軍92941部隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125001；2. 中國人民解放軍92493部隊(duì),遼寧 葫蘆島 125001)

0 引言

針對小子樣情況下的概率性能指標(biāo)的評定，近年來開展了大量的研究工作并提出了一些方法，其中影響比較大的方法有二項(xiàng)分布Bayes假設(shè)檢驗(yàn)方法[1-2](為簡便計(jì)，下文簡稱P方法)，并在國家行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)中推薦使用。然而，該方法在使用中逐漸暴露出一些問題需要分析并解決。

1 P方法簡述

設(shè)概率性能指標(biāo)記p，運(yùn)用P方法的基本步驟如下：

(1) 給出原假設(shè)H0:p=p0;

(2) 選取鑒別比d，并根據(jù)如下公式確定備擇假設(shè)H1:p=p1，其中:

(1)

(3) 根據(jù)歷史信息確定驗(yàn)前概率。設(shè)歷史試驗(yàn)信息成功數(shù)記S0、失敗數(shù)記F0，則有驗(yàn)前概率

(2)

(4) 設(shè)試驗(yàn)數(shù)記N，確定檢驗(yàn)臨界值

(3)

(5) 設(shè)試驗(yàn)成功數(shù)記SN，則有如下檢驗(yàn)方案

(4)

(6) 令απ0為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)，βπ1為使用方風(fēng)險(xiǎn)，則有如下計(jì)算公式，運(yùn)用中要求“雙方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)并小于某一值”。

(5)

式中：α和β為經(jīng)典方法時(shí)的雙方風(fēng)險(xiǎn),

(6)

2 P方法問題描述

2.1 一致性問題

首先，P方法表述有矛盾。P方法自名為二項(xiàng)分布假設(shè)檢驗(yàn)方法，但卻引用了風(fēng)險(xiǎn)概念并給出了風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算公式。實(shí)際上，假設(shè)檢驗(yàn)屬統(tǒng)計(jì)推斷范疇，而風(fēng)險(xiǎn)概念卻屬?zèng)Q策范疇[3-4]，兩者并不等同。

其次，P方法確定方案的做法矛盾。P方法通過似然比檢驗(yàn)公式反推拒受臨界值，運(yùn)用時(shí)卻又要求該方案雙方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)，而實(shí)際上兩者之間不一致，例如：令p0=0.8，p1=0.6，設(shè)π0=π1=0.5和N=7，則有K=4，απ0=0.074和βπ1=0.210，雙方風(fēng)險(xiǎn)相差3倍。由于P方法沒有限定鑒別比d的取值，有一些做法就試圖通過調(diào)整d來滿足風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)要求[4]，這又造成了P方法的嚴(yán)謹(jǐn)性問題。

2.2 嚴(yán)謹(jǐn)性問題

對于概率性能指標(biāo)的評定，如果指標(biāo)值、驗(yàn)前信息和試驗(yàn)子樣數(shù)量均確定，則評定標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該唯一。P方法缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)在d取值隨意而致評定標(biāo)準(zhǔn)多樣，例如以同等無知原則確定驗(yàn)前信息[5-6]并令p0=0.7，N=9，則d取不同值時(shí)出現(xiàn)不同的評定標(biāo)準(zhǔn)(檢驗(yàn)臨界值K)[7]，具體情況見表 1。

表1 評定標(biāo)準(zhǔn)與鑒別比Table 1 Evaluation criteria and the discernible ratio

2.3 正確性問題

P方法的應(yīng)用要點(diǎn)是雙方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)且都小(暫且忽略一致性問題)，因此其風(fēng)險(xiǎn)值是關(guān)鍵。P方法將經(jīng)典方法視為無驗(yàn)前信息特例，因而當(dāng)無驗(yàn)前信息時(shí)風(fēng)險(xiǎn)值應(yīng)與經(jīng)典方法應(yīng)一致。觀察P方法，顯然當(dāng)π0=π1=0.5，απ0=α/2和βπ1=β/2(α和β分別為經(jīng)典方法的雙方風(fēng)險(xiǎn))。

2.4 有效性問題

首先，P方法將驗(yàn)前信息局限于歷史試驗(yàn)信息，失去了Bayes方法的本義，因?yàn)樵跉v史試驗(yàn)信息融合方面，經(jīng)典方法與Bayes方法一致(證明略)。其次，P方法事實(shí)上無法對驗(yàn)前信息實(shí)現(xiàn)融合，文獻(xiàn)[1]指出 “該方法(P方法)有其不足，當(dāng)π0與π1相差較大時(shí)，雙方風(fēng)險(xiǎn)難以相當(dāng)，相應(yīng)的檢驗(yàn)方案較偏激，難以被雙方共同接受”。舉例說明如下：設(shè)有驗(yàn)前信息9發(fā)8中，現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)量5，則有π0=0.833 2，π1=0.166 8，απ0=0.170 6，βπ1=0.057 6，顯然驗(yàn)前信息不可用。

3 P方法問題剖析

概括講，P方法有3個(gè)深層次問題：①簡單備擇對抗簡單假設(shè)的提法有錯(cuò)；②引入鑒別比d的做法簡單、機(jī)械；③引入決策領(lǐng)域的風(fēng)險(xiǎn)術(shù)語是草率的。

3.1 關(guān)于簡單備擇對抗簡單假設(shè)

P方法是用于概率性能指標(biāo)評定的方法，概率的定義域是(0,1)，而P方法關(guān)于概率性能指標(biāo)的提法卻是兩點(diǎn)分布-簡單備擇對抗簡單假設(shè)，這既有悖對概率的常識性認(rèn)識，也是問題的根本原因。Bayes方法設(shè)定在沒有任何信息可用時(shí)可能的取值是同等無知，即各取0.5(純隨機(jī))，而隨著信息量加大隨機(jī)性會(huì)減弱，即其中一個(gè)的概率會(huì)增大，而另一個(gè)會(huì)減小。實(shí)際上，理論上2類錯(cuò)誤概率互補(bǔ)(即和為1)，不可能達(dá)到同等小；工程上由于容許誤差(引入鑒別比)存在，其工程計(jì)算值可以同等小，但簡單備擇對抗簡單假設(shè)的提法則消除了Bayes方法在工程上的這種可能性。

3.2 關(guān)于鑒別比

P方法沒有考察鑒別比的數(shù)學(xué)或工程背景，而導(dǎo)致其取值隨意[8]。實(shí)際上，鑒別比類似于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)引入的一個(gè)符號，其目的是控制犯第Ⅱ類錯(cuò)誤概率的“表現(xiàn)值”，其作用是確定計(jì)算第Ⅱ類錯(cuò)誤概率“表現(xiàn)值”需用到的備擇假設(shè)的“參考值”，所謂“表現(xiàn)值”和“參考值”，指不是真正的第Ⅱ類錯(cuò)誤概率值和備擇假設(shè)值，而僅指在工程范圍內(nèi)允許的近似值。之所以這樣做，是因?yàn)橐环矫妫碚撋嫌捎谠僭O(shè)與備擇假設(shè)之間的連續(xù)性，使得無論樣本容量多大2類錯(cuò)誤概率和總為1；另一方面，工程上在誤差允許范圍內(nèi)，為了同時(shí)控制2類錯(cuò)誤概率，需要將原假設(shè)和備擇假設(shè)分離，在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中的做法是保持原假設(shè)μ0而修改備擇假設(shè)μ1，使μ1等于μ0+δ或μ0-δ[9]，這里的δ與P方法中的鑒別比d意義相同，區(qū)別在于前者用加(或減)，后者用乘(或除)。因此鑒別比的提出與確定應(yīng)謹(jǐn)慎，P方法中關(guān)于鑒別比值的確定是草率的，具體情況見表 2。

表2 鑒別比對原假設(shè)、備擇假設(shè)分離值影響Table 2 Influence on the separated level between null hypothesis and alternative hypothesis by the discernible ratio

3.3 關(guān)于決策風(fēng)險(xiǎn)

P方法其實(shí)屬基于后驗(yàn)概率的似然比檢驗(yàn)方法，P方法所有的步驟和概念均可以在統(tǒng)計(jì)推斷的假設(shè)檢驗(yàn)領(lǐng)域解釋清楚，然而P方法卻引入決策風(fēng)險(xiǎn)的概念[7]，由此又引出如下問題。

(1) 關(guān)于決策問題3要素：狀態(tài)集、行動(dòng)集和損失函數(shù)。P方法均不涉及，只是套用了一個(gè)背景意義和表現(xiàn)值均與錯(cuò)誤概率相同的風(fēng)險(xiǎn)概念，彰顯P方法的不嚴(yán)謹(jǐn)性。

(2) Bayes決策范疇包含4類風(fēng)險(xiǎn)概念：先驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)、決策風(fēng)險(xiǎn)、后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和Bayes風(fēng)險(xiǎn)，其中先驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)是樣本空間的函數(shù)，Bayes風(fēng)險(xiǎn)是數(shù)值，決策風(fēng)險(xiǎn)是狀態(tài)集的函數(shù)。如果將假設(shè)檢驗(yàn)問題視作基于0-1損失函數(shù)的決策問題，則經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)方法中的風(fēng)險(xiǎn)α，β與Bayes決策中的決策風(fēng)險(xiǎn)相對應(yīng)，Bayes風(fēng)險(xiǎn)則為π0β+π1β，由此P方法中的風(fēng)險(xiǎn)在Bayes決策中找不出對應(yīng)的概念。如果認(rèn)為Bayes決策關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)概念是完備的，則P方法中的風(fēng)險(xiǎn)公式是錯(cuò)誤的。

(3) 如果將P方法視作基于后驗(yàn)概率的似然比檢驗(yàn)方法，其風(fēng)險(xiǎn)公式就是錯(cuò)誤概率公式[10]，然而這個(gè)公式有誤，因?yàn)樗皇腔诤篁?yàn)概率計(jì)算的，因?yàn)樵诤唵蝹鋼駥购唵渭僭O(shè)的情況下，后驗(yàn)概率公式并不容易導(dǎo)出。P方法只是在經(jīng)典方法的基礎(chǔ)上，將2類風(fēng)險(xiǎn)與驗(yàn)前概率對應(yīng)相乘，這樣做的背景、意義和邏輯性確實(shí)不清楚。

4 小子樣評定方法改進(jìn)研究

4.1 小子樣問題及形式化描述

隨機(jī)現(xiàn)象需要通過大量重復(fù)試驗(yàn)揭示其規(guī)律性，如果試驗(yàn)的數(shù)量(即子樣量)有限就不能有效揭示其規(guī)律，這是小子樣問題的實(shí)質(zhì)[11]。如果將小子樣問題簡單、模糊地描述為“子樣數(shù)比較少”，則無法界定和解決小子樣問題，比如：“10個(gè)是否小子樣”。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)大數(shù)定理，樣本容量與隨機(jī)不確定度負(fù)相關(guān)，假設(shè)檢驗(yàn)不確定度可用2類錯(cuò)誤概率來表示，因此小子樣問題形式化描述步驟如下：

(1) 根據(jù)數(shù)學(xué)或工程背景將原假設(shè)域與備擇假設(shè)域相分離，對于概率性能指標(biāo)以通常的0.05顯著性水平定分離值，在作顯著性檢驗(yàn)時(shí)將備擇假設(shè)域作退讓以分離，在作似然比檢驗(yàn)時(shí)將原假設(shè)域和備擇假設(shè)域作同等退讓以分離；

(2) 以通常的0.05顯著性水平定2類錯(cuò)誤概率值的允許水平(上限)；

(3) 將樣本容量從1開始逐步增大，計(jì)算2類錯(cuò)誤概率，當(dāng)2類錯(cuò)誤概率同時(shí)小于允許水平時(shí)的樣本容量是最小需求量；

(4) 當(dāng)可用樣本量小于最小需求量時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)存在小子樣問題，否則不存在小子樣問題。

4.2 小子樣評定方法改進(jìn)的基本思路

小子樣評定方法改進(jìn)的基本思路是要解決P方法存在的問題，具體要求為：采用復(fù)雜備擇對抗復(fù)雜假設(shè)；取消鑒別比，而改由工程或數(shù)學(xué)背景[12]來確定原假設(shè)與備擇假設(shè)的分離水平；取消決策風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)控制2類錯(cuò)誤概率與風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)原則的意義一致；以貝塔分布作為概率性能的分布族，理由有3點(diǎn)：①因?yàn)閮烧叩亩x域相同；②因?yàn)樨愃植紴閱畏宸植迹曳宥入S參數(shù)(對應(yīng)樣本量)增大而減小，符合大數(shù)定理；③因?yàn)樨愃植寂c二項(xiàng)分布為共軛分布。

4.3 小子樣評定方法改進(jìn)——L方法

改進(jìn)后的小子樣評定方法命名為L方法，具體步驟如下：

(1) 描述概率性能指標(biāo)值，如要求命中概率大于等于p′。

(2) 以0.05的顯著性水平同等退讓后提出原假設(shè)和備擇假設(shè)：

(7)

(3) 以同等無知原則確定概率性能的初始驗(yàn)前分布beta1,1，該分布表示在沒有任何信息時(shí)概率性能在區(qū)間0,1上等可能取值。

(4) 以0.05的顯著性水平確定2類錯(cuò)誤的允許水平。

(5) 確定樣本最小需求量。為簡單計(jì)采用探索法確定，樣本容量設(shè)為n、初值取1、逐步增1，拒受臨界值設(shè)為k、初值取0、逐步增1至n，以式(8)計(jì)算2類錯(cuò)誤概率α，β，直至兩者均小于允許水平，這時(shí)n的取值就是樣本最小需求量n′。

(8)

式中：B表示貝塔分布的概率累積函數(shù)。

(6) 判定是否小子樣問題。設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)可用樣本量n，則有如下判別式：

(9)

(7) 搜尋驗(yàn)前信息，得到驗(yàn)前分布。對于概率性能指標(biāo)，驗(yàn)前分布族為貝塔分布，對于歷史試驗(yàn)信息可直接確定，驗(yàn)前分布的表現(xiàn)形式為betak0+1,n0-k0+1，若有n0+n≥n′則可采用小子樣方法進(jìn)行評定，否則還需繼續(xù)搜尋驗(yàn)前信息。

(8) 進(jìn)行Bayes評定，有后驗(yàn)分布beta(k+k0+1,n+n0-(k+k0+1))。

(10)

(9) 重新計(jì)算2類錯(cuò)誤概率，公式如下：

(11)

4.4 L方法示例

令p′=0.7，并以0.05的顯著性水平同等退讓后提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，以同等無知原則設(shè)定p的初始驗(yàn)前分布beta1,1，確定2類錯(cuò)誤的允許水平為0.05，則可確定樣本最小需求量n′=229。設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)可用樣本量n=9，則可判定試驗(yàn)面臨小子樣問題。若有驗(yàn)前分布beta182,49，并設(shè)現(xiàn)場試驗(yàn)信息為9發(fā)8中，則有后驗(yàn)分布beta190,50，根據(jù)下式似然比計(jì)算結(jié)果判定接受原假設(shè)，并有α=0.048 4和0.041 6。

(12)

關(guān)于L方法有幾點(diǎn)補(bǔ)充說明：

(1) 可以看出，L方法對樣本需求量比較大。當(dāng)從統(tǒng)計(jì)角度以顯著性水平0.05嚴(yán)格限定原假設(shè)和備擇假設(shè)退讓水平、及2類錯(cuò)誤概率的允許水平時(shí)，實(shí)際情況是這樣的；當(dāng)做法類似P方法，以0.1作為同等退讓水平、以0.3作為2類錯(cuò)誤概率的允許水平時(shí)，樣本需求量為8，2類錯(cuò)誤概率為α=0.231 8和β=0.261 8，其效果與P方法相當(dāng)。該現(xiàn)象反映出L方法相比P方法并不偏激，它只是對方法應(yīng)用時(shí)的樣本量條件提出了嚴(yán)格要求，這也應(yīng)作為小子樣方法的基本應(yīng)用前提，否則小子樣方法就成了小子樣情況下的大子樣方法。

(2) 當(dāng)P方法的原假設(shè)和備擇假設(shè)分別對應(yīng)L方法原假設(shè)和備擇假設(shè)的邊界值，且樣本量相等時(shí)，2方法的方案一致，錯(cuò)誤概率相當(dāng)?shù)胁町悺Ｔ摤F(xiàn)象反映出L方法與P方法效果相當(dāng)。錯(cuò)誤概率的計(jì)算差異反映出2類方法的基本思想不同，P方法是固定概率值對抽樣值作累積，L方法則是固定抽樣值對概率作累積，因此兩者計(jì)算值相當(dāng)卻有差異，2種方法的對應(yīng)計(jì)算結(jié)果見表 3。

表3 L方法與P方法效果比較Table 3 Comparison of effect of method L and method P

(3) L方法解決了驗(yàn)前信息融合問題，舉例如下：設(shè)p0=0.75，p1=0.65，有驗(yàn)前信息9發(fā)8中，現(xiàn)場試驗(yàn)量為5，則2個(gè)方法對比見表4。從中看出P方法2類風(fēng)險(xiǎn)差值達(dá)到0.12、比值超出3倍，L方法則基本屬同一數(shù)量級；P方法風(fēng)險(xiǎn)好像有明顯減小，但由于存在計(jì)算錯(cuò)誤的問題，因此不具有表征意義，而L方法在融合了驗(yàn)前信息之后雙方風(fēng)險(xiǎn)確實(shí)有明顯減小。

表4 L方法有效性案例Table 4 Case of effectiveness of method L

5 結(jié)束語

小子樣方法解決小子樣問題的關(guān)鍵在于驗(yàn)前信息的融合，在無驗(yàn)前信息可用時(shí)小子樣方法的效果應(yīng)與經(jīng)典方法應(yīng)一致，小子樣方法也應(yīng)注重工程背景，而且不應(yīng)使方法無意義地復(fù)雜化。本文對二項(xiàng)分布Bayes假設(shè)檢驗(yàn)方法的有關(guān)這類問題進(jìn)行了深入剖析，提出了具體改進(jìn)改施，并通過對比驗(yàn)證了改進(jìn)的有效性，但須指出解決小子樣問題的關(guān)鍵在于針對具體應(yīng)用背景的驗(yàn)前信息的獲取。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曲寶忠,孫曉峰,李守秀,等.海軍戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈試驗(yàn)與鑒定[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.

QU Bao-zhong, SUN Xiao-feng, LI Shou-xiu, et al.Naval Tactical Missile Test and Evaluation[M].Beijing:National Defense Industry Press,2005.

[2] 楊榜林,岳全發(fā),金振中,等.軍事裝備試驗(yàn)學(xué)[M].北京:國防工業(yè)出版社,2002.

YANG Bang-lin, YUE Quan-fa, JIN Zhen-zhong, et al.Armament Test Theory[M].Beijing:National Defense Industry Press,2002.

[3] 賈乃光.統(tǒng)計(jì)決策理論與貝葉斯分析[M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1991.

JIA Nai-guang.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis[M].Beijing:China Statistics Press,1991.

[4] 張堯庭,陳漢鋒.貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

ZHANG Yao-ting, CHEN Han-feng.Bayesian Statistical Infer[M].Beijing:Science Press,1991.

[5] 茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1999.

MAO Shi-song.Bayesian Statistics[M].Beijing:China Statistics Press,1999.

[6] 唐雪梅,張金槐,邵鳳昌,等.武器裝備小子樣試驗(yàn)分析與評估[M].北京:國防工業(yè)出版社,2001.

TANG Xue-mei, Zhang Jin-huai, Sao Fen-chang, et al.Test Analysis and Evaluation of Weapon Systems in Small-Sample Circumstances[M].Beijing:National Defense Industry Press,2001.

[7] 賈旭山,金振中.二項(xiàng)分布貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)方法[J].現(xiàn)代防御技術(shù),2008,36(5):37-40.

JIA Xu-shan, JIN Zhen-zhong. Bayes Hypothesis Testing for Binomial Distribution[J].Modern Defence Technology,2008,36(5):37-40.

[8] 賈旭山,金振中.二項(xiàng)分布假設(shè)檢驗(yàn)樣本容量分析[J].現(xiàn)代防御技術(shù),2012,40(4):67-70.

JIA Xu-shan, JIN Zhen-zhong. Bayes Hypothesis Testing and Sample Quantity[J].Modern Defence Technology,2012,40(4):67-70.

[9] 盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2001.

SHENG zhou, XIE Shi-qian, PANG Cheng-yi. Probability Theory and Mathematical Statistics [M].Beijing:Higher Education Press,2001.

[10] 賈旭山,金振中.武器系統(tǒng)概率指標(biāo)評定[J].現(xiàn)代防御技術(shù),2011,39(2):50-53.

JIA Xu-shan, JIN Zhen-zhong. Bayesian Decision Evaluation on Probability Indes of Weapon System[J].Modern Defence Technology,2011,39(2):50-53.

[11] 王國玉,申緒澗,汪連棟,等.電子系統(tǒng)小子樣試驗(yàn)理論方法[M].北京:國防工業(yè)出版社,2003.

WANG Guo-yu, SHENG Xu-jian, WANG Lian-dong,et al.Test Theory and Method of electronic System in Small-Sample Circumstances[M].Beijing:National Defense Industry Press,2003.

[12] Thomas Leonard,John S J Hsu.Bayesian Methods:An Analysis for Statisticians and Interdisciplinary Reserachers[M].Beijing:Machinery Industry Press,2006.