基于協(xié)方差分析的一種改進(jìn)比例制導(dǎo)律研究*

馮德龍,楊鎖昌，劉映希

(1.軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003；2.西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

0 引言

導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)是一個(gè)具有隨機(jī)輸入的非線性時(shí)變系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中含有非線性因素和一些隨機(jī)效應(yīng)，這些非線性因素和隨機(jī)效應(yīng)影響導(dǎo)彈制導(dǎo)精度。對(duì)具有隨機(jī)輸入的非線性時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，傳統(tǒng)的方法是采用Monte Carlo方法。但由于此方法存在計(jì)算量大、耗時(shí)過長(zhǎng)的缺點(diǎn)，使得在一些對(duì)快速性能要求較高的環(huán)境無法使用該方法。協(xié)方差分析描述函數(shù)技術(shù)(covariance analysis describing equation technique，CADET)是在20世紀(jì)70年代由美國(guó)人A.Celb和R.S.Warren共同提出的對(duì)戰(zhàn)術(shù)飛行器制導(dǎo)系統(tǒng)性能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種新方法。它解決了Monte Carlo方法快速性能較差的缺點(diǎn)[1]。協(xié)方差分析是一種用于分析具有隨機(jī)輸入的時(shí)變線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)工具。應(yīng)用這種方法，通過對(duì)非線性矩陣微分方程式進(jìn)行直接積分，就可以產(chǎn)生作為一個(gè)時(shí)間函數(shù)的系統(tǒng)狀態(tài)向量協(xié)方差矩陣。應(yīng)用這種技術(shù)，可以預(yù)估導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性[2-4]。

1 CADET技術(shù)

1.1 協(xié)方差分析描述函數(shù)技術(shù)的基本原理

假設(shè)具有隨機(jī)輸入的連續(xù)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為[5]

(1)

式中：f(x,t)為n維系統(tǒng)狀態(tài)變量x(t)的非線性向量函數(shù)。非線性時(shí)變系統(tǒng)方程如圖1所示。

圖1 非線性時(shí)變系統(tǒng)方程示意圖Fig.1 Schematic diagram of nonlinear time-varying system

非線性系統(tǒng)的傳播方程：

GT(t).

(2)

定義輔助矩陣N，使得

NP(t)=Ef(x,t)rT,

(3)

(4)

由于P(t)是正定的，故有

N=Ef(x,t)rTP-1.

(5)

根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)線性化原理，令非線性函數(shù)向量f(x,t)可近似描述為x(t)的一個(gè)線性函數(shù)：

(6)

(7)

非線性時(shí)變系統(tǒng)均值方程和協(xié)方差傳播方程為

(8)

初始條件同上，利用方程(8)和初始條件式可直接解算系統(tǒng)變量的誤差統(tǒng)計(jì)特性。

1.2 高斯假設(shè)

目前，大多數(shù)協(xié)方差描述函數(shù)技術(shù)的研究都是采用假定系統(tǒng)狀態(tài)變量為高斯分布的辦法[6-7]。

(1) 高斯假設(shè)的重要結(jié)論

1)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量都是正態(tài)的，則矢量非線性函數(shù)f(x,t)中的每一個(gè)標(biāo)量非線性函數(shù)都可以單獨(dú)進(jìn)行準(zhǔn)線性化。

(9)

(10)

(2) 高斯假設(shè)的合理性

高斯分布的隨機(jī)過程通過非線性系統(tǒng)，其輸出量就變成非高斯分布的了[8]。即使這樣，高斯假設(shè)在工程上仍有它的實(shí)用價(jià)值，原因在于導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的線性部分通常都具有較好的低通濾波作用。由中心極限定理可知，非高斯分布的隨機(jī)過程通過低通濾波后，將趨向于高斯隨機(jī)過程。由于系統(tǒng)線性部分的濾波作用，使得高斯假設(shè)基本成立。

(3) 根據(jù)上述理論假設(shè)[9]

1)x(t)服從聯(lián)合正態(tài)分布。

2) 非線性的隨機(jī)干擾以線性方式加入到系統(tǒng)當(dāng)中，且服從正態(tài)分布。

2 一種改進(jìn)比例制導(dǎo)律精度分析

2.1 制導(dǎo)回路模型

圖2 制導(dǎo)回路模型Fig.2 Guidance loop model

導(dǎo)彈自尋的末制導(dǎo)回路模型包括自動(dòng)駕駛儀模型、導(dǎo)引頭模型、導(dǎo)彈目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型、制導(dǎo)律和目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型[10-11]，其相互關(guān)系如圖2所示。

2.2 制導(dǎo)律

本文對(duì)一種改進(jìn)的比例導(dǎo)引律進(jìn)行分析，其形式如下：

(11)

2.3 協(xié)方差分析

后面幾個(gè)字起了作用，花五奇這些年作為德公公貼身護(hù)衛(wèi)，早已習(xí)慣眉高眼低看人，老太醫(yī)往往品級(jí)不低，且能與后宮說上話，輕易不能得罪，于是他暫時(shí)放下兵器，不耐煩地問道：“老太醫(yī)？什么老太醫(yī)？”

圖3 制導(dǎo)回路Fig.3 Guidance loop

(12)

式中：

(13)

因?yàn)樯鲜鲆浑A微分方程式是狀態(tài)的函數(shù)，它們可以寫成狀態(tài)空間表達(dá)如下：

(14)

定義：

則系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表述為

(15)

式中：x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)；F(t)為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性矩陣；u(t)為具有譜密度矩陣Q(t)的白噪聲矢量，即

Q(t)=Eu(t)uT(t)，

(16)

(17)

其中協(xié)方差矩陣X(t)與x(t)的關(guān)系為

X(t)=Ex(t)xT(t).

(18)

如果隨機(jī)干擾具有零均值，則協(xié)方差矩陣的對(duì)角元素表示狀態(tài)變量的方差。協(xié)方差矩陣的非對(duì)角元素表示狀態(tài)變量之間的相關(guān)程度。

3 仿真分析

3.1 程序仿真

整個(gè)仿真程序都是采用Matlab編寫，仿真的流程圖如圖4所示。

圖4 CADET仿真流程圖Fig.4 Flow chart of CADET simulation

根據(jù)圖4所示的線性化末制導(dǎo)模型，導(dǎo)彈飛控系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)且時(shí)間常數(shù)T為1 s，飛行時(shí)間tf為0～10 s，有效導(dǎo)航比為3，比例系數(shù)F為0.5，彈目相對(duì)速度為4 000 m/s，目標(biāo)的加速度為5 m/s2。在制導(dǎo)系統(tǒng)中唯一的誤差源是目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性為3g的階躍機(jī)動(dòng)且開始時(shí)刻在整個(gè)飛行時(shí)間內(nèi)均勻分布。仿真結(jié)果如圖5～8所示。

圖5 比例導(dǎo)引律的協(xié)方差分析Fig.5 Covariance analysis of proportional guidance law

圖6 改進(jìn)比例導(dǎo)引律的協(xié)方差分析Fig.6 Covariance analysis of improved proportional guidance law

圖7 比例導(dǎo)引律的導(dǎo)彈加速度變化Fig.7 Missile acceleration change of proportional guidance law

圖8 改進(jìn)比例導(dǎo)引律的導(dǎo)彈加速度變化Fig.8 Missile acceleration change of improved proportional guidance law

3.2 結(jié)果分析

如圖8所示是整個(gè)飛行時(shí)間為10 s時(shí)，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)距離的總的標(biāo)準(zhǔn)差。由圖5和圖6可以看出這種改進(jìn)的比例導(dǎo)引律比之前的導(dǎo)引精度提高了大約3倍，所以這種改進(jìn)是有效的、可行的。與伴隨技術(shù)不同，協(xié)方差分析方法在一次仿真中并不能提供所有不同飛行時(shí)間的脫靶量，但協(xié)方差分析方法可以得到在一次飛行時(shí)間內(nèi)所有時(shí)刻的相對(duì)距離y的信息，在飛行結(jié)束時(shí)，相對(duì)距離即為脫靶量，即σmiss=σy(tf)，而且也可以得到圖7和圖8所示的導(dǎo)彈加速度變化。

4 結(jié)束語

協(xié)方差分析描述函數(shù)技術(shù)是非線性時(shí)變系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分析的一種近似解析方法，它可以通過一次解析計(jì)算得到系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)性能。該方法較傳統(tǒng)的蒙特卡羅試驗(yàn)法要節(jié)省很多計(jì)算時(shí)間。本文對(duì)于一種改進(jìn)的比例導(dǎo)引律，應(yīng)用協(xié)方差分析法驗(yàn)證了其可行性。協(xié)方差分析方法雖然也適用于分析隨機(jī)干擾的影響，但是只能獲得飛行末端時(shí)刻的脫靶量，對(duì)各干擾的影響需進(jìn)行獨(dú)立仿真。

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