學科思想的培育與實踐：數學教學如何滲透“數學思想與方法”

●陳華忠

【編輯視角】

思想是一切行為的原動力。 學科思想是經過分析、抽象、提煉，形成的對學科發展和學科學習最具有影響力且能夠遷移的一些觀點、思想和見解；學科方法是根據學科內在的規律和特點，總結歸納出的思維方法、研究方法和學習方法等。 學科思想指導引領學科方法，學科方法則是學科思想的具體化，有時二者也會融合為一。 本期選取的五篇文章，都是從學科思想與方法的角度來探討學科學習的價值與意義，以期能引起讀者的思考。

《數學新課程標準》明確指出：“通過義務教育階段的數學學習， 學生應獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識，以及基本的數學思想方法和必要的應用技能”。 由此可見，數學思想與方法的滲透是新課程改革的一個新的視角。 新教材蘊含著許多數學思想與方法，因此，在小學數學教學中，應根據小學生的認知水平適當地巧妙地滲透基本的數學思想與方法。

一、在鉆研教材中挖掘數學思想

如果課前教師對教材內容適合滲透哪些思想方法一無所知，那么課堂教學就不可能有的放矢。由于受篇幅的限制，教材只能較多的呈現數學結論，而對數學結論里面所隱含的數學思想與方法，往往在教材里沒有明顯地體現。在備課時，我們教師不應只看見直接寫在教材上的數學基礎知識與技能，而是要認真挖掘蘊含在數學知識中的數學思想，有意識地把掌握數學知識和滲透數學思想方法整合到教學目標之中，并把數學思想與方法恰當地融入教學的各個環節。 為此，我們教師要深入鉆研教材，努力挖掘教材中蘊含的數學思想方法，對于每一節課的教學，都應該考慮如何滲透數學思想與方法。 每節課的課堂教學中可以滲透哪些數學思想與方法，應做到心中有數。 如，在教學“圓的面積”這節課時，先把圓分成相等的兩部分，再把兩個半圓分成若干等分，然后把它剪開，再拼成近似于長方形的圖形。如果把圓等分的份數越多，拼成的圖形越接近于長方形。這時長方形的面積就越接近圓的面積了。 這部分內容應讓學生體會用“無限逼近”的方法來求得圓的面積，這樣，既有機地滲透了“極限思想”，也滲透了“轉化思想”。又如，在備“雞兔同籠”一節課時，教師要有意識地向學生滲透并落實以下數學思想與方法： 用容易探究的小數量替代 《孫子算經》 原題中的大數量的“替換法”解決問題，滲透化繁為簡的轉化思想和方法；用“列表法”解決問題，滲透函數的思想和方法；用“算術法”解決問題，滲透假設的思想和方法；用“方程法”解決問題，滲透代數的思想和方法等等，這些思想方法為學生以后的學習奠定了堅實基礎。 由于數學思想與方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法，因此，在分析教材時，應挖掘隱藏在數學知識中的數學思想與方法，明確所要滲透的數學思想方法。

二、在探究體驗中感悟數學思想

數學是知識與思想方法的有機結合，沒有不包含數學思想方法的數學知識，也沒有游離于數學知識之外的數學思想方法。為此，數學思想方法滲透于數學教學活動過程中，要著重引導學生領會與感悟。在探究活動中，教師要創設情境，營造民主氛圍，讓學生主動參與數學教學活動過程，并依據學生親身的體驗，逐步領悟數學思想方法。 教學中，可通過以下途徑向學生滲透數學思想與方法。

（一）在概念的形成過程中感悟數學分類與集合思想

在概念教學時，“引導學生對新概念的形成過程、結論的推導過程”等等，這些都是向學生滲透數學思想和方法的極好機會。如，教學“三角形分類”一課時，教師預先給學生提供了許多三角形學具，放手讓學生在小組合作中嘗試對三角形進行分類， 學生從關注三角形的角與邊的特征入手，借助學具操作，通過看一看、比一比、量一量、想一想、議一議、分一分等手段，尋找它們的特征、抽象共性，在比較中將具有相同特征的三角形歸為一類， 在分類中抽象出圖形的共同特征。 這樣讓學生經歷了三角形分類的過程， 豐富了分類活動的經驗， 形成分類的基本策略，也有機地滲透了分類、集合的思想。

（二）在計算教學過程中感悟數學轉化思想

計算教學往往是把新知轉化成舊知， 并借助舊知來學習新知。 如：教學“除數是小數除法”一節課時，其關鍵就是把除數是小數的除法“轉化”成除數是整數的除法進行計算， 知識基礎是除數為整數的除法計算法則， 教學中只要將除數是小數轉化為整數，問題就迎刃而解。 為此，新課前教師先引導學生回顧“商不變性質”，完成除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法有關鋪墊練習。 再出示例題：“奶奶編‘中國結’，編一個要用 0.85 米絲繩。 有 7.65 米絲繩，可以編幾個‘中國結’？”首先讓學生讀題，分析題意并列出算式，然后放手讓學生獨立嘗試，學生探索時發現算式中除數是小數，這種除法沒有學過，怎么辦？ 學生思路受阻。 這時教師適當進行點撥：能否根據以前學過的知識解決現在的問題呢？ 學生從前面的復習中很快地感受到只要把除數轉化成整數就可以進行計算了。待學生完成計算時，教師讓學生想一想，在解這道題的過程中，得到了什么啟發？ 使學生感悟到：新知識看起來很難，但只要將所學的新知識與已學過的知識聯系起來， 并運用正確的數學思想方法，就能順利地解決問題。這種解決問題的方法就是數學的轉化思想， 轉化就是未知的向已知的轉化、復雜的向簡單的轉化，從而讓學生感悟到轉化思想的作用。

（三）在“空間與圖形”的教學過程中感悟數學轉化和極限思想

小學數學有關圖形的學習， 是先學習直線型圖形，如長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形以及長方體等，再學習曲線型圖形：圓、圓柱等。在學習曲線型圖形有關知識時，就可利用轉化方法，將曲線型圖形轉化為直線型的圖形， 利用直線型的相關知識和經驗進行解決。如，教學“圓面積的計算”一節課時，首先，教師可以引導學生回顧以前學習過的平行四邊形、三角形、梯形面積的計算的推導過程，讓學生思考這些圖形的面積計算方法是怎么推導出來的；其次，教師引導學生猜想今天所學習的圓能否也轉化為以前學過的圖形來推導出它的面積計算公式，讓學生在舊知的驅動下積極地思考如何轉化；最后，教師放手讓學生動手操作，可以將圓轉化為什么圖形，怎么轉化，通過剪一剪、拼一拼、議一議，讓學生進行小組合作交流，通過討論交流得出結論：將圓分割成若干等份，拼成近似的長方形或平行四邊形，由圓的半徑與面積的關系轉化為長方形的長、 寬或平行四邊形的底、高與面積的關系，再由長方形或平行四邊形的面積公式，推導出圓的面積的公式。在圓的面積公式的推導過程中，學生經歷化生為熟、化難為易、化曲為直、化繁為簡的探索過程，感悟到數學的轉化、極限思想。

（四）在解決問題的過程中感悟數學建模思想

在“問題解決”教學時，引導學生動手操作，合作交流，自主探究，并用圖表、教具、學具、課件展示等，讓學生逐步感悟數學思想與方法。 如，在教學“植樹問題”時，教師先出示“在200 米公路一側植樹的現實問題情境， 若兩端都種， 每5 米種一棵， 能種幾棵?”面對這一挑戰性的問題，學生紛紛猜測，有的說：“能種 40 棵。 ”有的說：“能種 41 棵。 ”還有的說：“能種39 棵?！苯又處焼l學生思考：“到底能種幾棵?你有什么好辦法呢?”隨著教師的質疑。 學生提出：“我們可以試著種一種，就知道誰說的對了! ”“就用你的辦法， 接下來我們利用課件模擬在200 米的線段上種樹。 ”教師及時肯定了學生的回答，接著利用課件演示，“每隔5 米種一棵，每隔5 米種一棵，一棵一棵不停地種。 同學們有什么想說的?”伴隨著課件演示教師質疑，學生們紛紛回答：“很麻煩?！薄耙煤荛L時間。”教師針對學生的回答提出問題：“那怎么辦呢?” 有的學生說：“我們可以將 200 米換成20米。 ” 還有的同學說：“換成短一點的距離， 進行探究。 ”師：“好！ 我們先來研究 20 米的種樹規律，再用所得到的規律去解決其他復雜的問題，這是一個好的辦法，那么大家愿意自己來試試看嗎?”這樣就自然而然地滲透了化繁為簡的數學思想。然后，學生通過擺一擺、畫一畫、議一議，發現了在兩端都種時棵數和間隔數之間的數量關系(即：棵數=間隔數+I)，并順利地解決了問題。 教師又將問題改為“只種一端、兩端都不種時種的棵數又是多少”，學生運用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。以上問題的解決過程，給學生體會到當遇到復雜問題時， 不妨退到簡單問題，然后從簡單問題的研究中去尋找規律，再利用規律去解決復雜問題。 從而讓學生感悟“數形結合、數學建模”等數學思想。

三、在知識遷移中運用數學思想與方法

巴甫洛夫指出：“任何一個新的問題的解決都是利用主體經驗中已有的舊工具實現的?！币簿褪钦f各種新知識都是從舊知識中發展出來的。 小學數學知識是一個整體， 前后教學內容都有一定的內在的必然聯系，新知識往往是舊知識的延伸和補充。根據心理學的遷移規律，通過對舊知識的復習，特別是對新舊知識密切聯系的問題加以概括， 從新舊知識的緊密聯系中，抓住新舊知識的不同點，合乎邏輯地導出即將研究的問題，實現知識的正遷移。從而在知識的遷移過程中，讓學生掌握數學思想方法，運用思想方法解決問題。

如，教學“梯形的面積”時，學生可以借助“三角形的面積計算公式”推導的方法，把計算梯形的面積轉化為已學過的計算平行四邊形的面積， 這就是滲透數學思想方法——“轉化思想”的大好時機。 在小學教材中， 平面圖形的面積計算公式都是通過原來的圖形轉化成已學過知識推導出來的。 轉化的思想在小學數學教學中有廣泛的應用， 將原圖形通過旋轉、平移、割補等途徑加以“變形”，使新知轉變成舊知，“求解”也水到渠成。

四、在練習訓練時完善數學思想與方法

任何一種數學思想方法的學習和掌握， 絕非一朝一夕的事，它需要有計劃、有意識地進行訓練。 通過訓練這一途徑來滲透數學思想方法， 不愧為是一個明智的選擇。用訓練的方式來滲透數學思想方法，應屬于我們教師的創造性勞動。如，有一位教師在學生學習分數加減法后，設計了這樣的練習題，組織學生進行訓練，既鞏固了知識技能，又有機地滲透了數學思想方法，一舉兩得。

練習過程中，教師利用下圖幫助學生理解：

又如：一位教師在學生學習了分數解決問題之后，設計了這樣的練習題，組織學生進行訓練。即：養雞場分三次把一批肉雞投放市場， 第一次賣出的比總數的2／7 多 100 只， 第二次賣出的比總數的 3／7少120 只，第三次賣出320 只。 這批雞共有多少只？

這道題的特點是分率后面還有個具體數量，給我們的思考帶來麻煩。 可以假設沒有后面的具體數量，去零為整，這樣便于思考。 假設第一次正好賣出總數的2／7，把多的100 只放在第三次賣出，即第三次要多賣出100 只；假設第二次正好賣出總數的3／7，那么少的120 只需要從第三次取來，即第三次要少賣出120 只。 這樣，第三次多賣出的只數是320＋100－120=300（只）。由此可求出這批雞共有 300÷（1－2／7－3／7）=1050（只）。

訓練則是在形成技能的基礎上向能力轉化，提高學生運用知識解決實際問題的能力， 發展學生的思維能力，同時，也滲透數學思想方法。 在練習訓練中不僅要有具體知識、技能訓練的要求，而且也要有明確的數學思想方法的教學要求， 從這兩道練習題中，至少滲透了數形結合、抽象、類比、極限以及假設等數學思想。

五、在歸納總結時提煉數學思想與方法

在數學課堂教學的小結或總結時，可以對所滲透的數學思想方法進行適時概括和提升。這樣，不僅可以使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質和內在的規律，而且可使學生感悟到數學思想方法對于學習數學的重要性。如在幾何形面積教學中運用轉化思想，將原圖形通過割補、分割、平移、翻折等途徑加以“變形”，把未知的面積計算問題轉化成已知圖形的面積計算問題，可使題目變難為易，求解也水到渠成。 教材中， 除了長方形的面積計算公式之外， 其他平面圖形的面積計算公式都是通過變換原來的圖形而得到的。 即：平行四邊形通過割補、平移轉化成長方形， 三角形和梯形也都可以轉化成平行四邊形來求出面積。 圓也可以通過分割轉化成長方形。 為此，在總結時，引導學生回顧這節學習過程應用到哪些數學的思想與方法， 這些的思想與方法對于今后數學學習都是經常用到的。這樣，不僅使學生明確不同圖形面積計算的方法， 而且領悟到了比面積計算公式更重要的東西，就是數學的思想與方法。

總之，“思想是數學的靈魂， 方法是數學的行為。”數學教學內容始終反映著數學基礎知識和數學思想方法這兩個方面， 沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包含數學思想方法的數學知識。因此，教學中，讓學生親身經歷、感受、體驗和領悟數學思想方法， 才能真正地讓數學思想方法在與知識能力形成的過程中共同生成。