基于雙模預(yù)測的大氣層內(nèi)攔截彈中制導(dǎo)律研究*

李爽，江涌，李君龍，張奕群

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854； 2.中國航天科工集團(tuán) 防御技術(shù)研究院，北京 100854)

0 引言

大氣層內(nèi)目標(biāo)攔截彈末制導(dǎo)側(cè)窗探測技術(shù)的采用對中末制導(dǎo)交班提出特殊要求。除此之外，中制導(dǎo)過程還要受到氣動熱、過載、動壓、迎角等對狀態(tài)和輸入的約束。針對中末制導(dǎo)交班約束，文獻(xiàn)[1-2]分別研究了基于虛擬目標(biāo)的LQR(linear quadratic regulator)中制導(dǎo)律和虛擬目標(biāo)的位置參數(shù)設(shè)置方法。攔截彈在該導(dǎo)引律作用下可以在中制導(dǎo)末端滿足側(cè)窗視場和交班高度等要求，為中末制導(dǎo)交班提供良好的條件。但是，LQR不能處理控制和狀態(tài)約束，并且在處理環(huán)境的多變性方面缺少預(yù)見性。

模型預(yù)測控制(model predictive control,MPC)憑借其特有的滾動時域優(yōu)化和多步預(yù)測措施，在保證系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定方面顯示著巨大的優(yōu)越性[3]。尤其是其顯式處理狀態(tài)和輸入約束的功能使其在有約束系統(tǒng)領(lǐng)域受到推崇，目前已經(jīng)應(yīng)用到航天飛機(jī)、衛(wèi)星姿態(tài)控制等領(lǐng)域[4]。文獻(xiàn)[5-7]提出了適用于各類采用慣性彈道與非慣性彈道的再入飛行器的預(yù)測制導(dǎo)律的設(shè)計方法，但此類方法只針對確定目標(biāo)，主要用于再入階段的系統(tǒng)不確定性。文獻(xiàn)[8]通過迭代優(yōu)化，不斷修正控制模型參數(shù)，保證飛行器順利進(jìn)入末制導(dǎo)。然而，MPC的滾動優(yōu)化所要求的繁重的計算量阻礙其在快速取樣系統(tǒng)中的推廣。針對此問題，文獻(xiàn)[9]提出牛頓-辛普森模型預(yù)測控制(Newton-Raphson MPC,NRMPC)，通過將部分在線計算轉(zhuǎn)嫁到離線過程，大大降低了在線計算量。文獻(xiàn)[10-12]又對NRMPC進(jìn)行了改進(jìn)，使MPC在快速取樣系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用成為可能。

基于上述研究成果，本文先設(shè)計出針對虛擬目標(biāo)的常系數(shù)次最優(yōu)制導(dǎo)律，再通過對控制信號引入有限維擾動，建立雙模閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，再通過模型擴(kuò)展和在線優(yōu)化問題幾何意義的分析，引入牛頓-辛普森算法完成在線計算，以提高計算效率。

1 彈目運動學(xué)模型

針對大氣層內(nèi)目標(biāo)攔截彈的側(cè)窗探測對中末制導(dǎo)交班的特殊要求，文獻(xiàn)[1-2]提出一種虛擬目標(biāo)的設(shè)置方法，如圖1所示，虛擬目標(biāo)T′相對于實際目標(biāo)T靜止，攔截彈以虛擬目標(biāo)位置和速度所決定的終端彈道角σh和終端視線角qh與T′交會時，實際目標(biāo)正好落在攔截彈導(dǎo)引頭的給定視場位置，且相對于實際目標(biāo)的瞬時脫靶量為0。這一交會過程構(gòu)成中制導(dǎo)過程，其彈道可以很好地滿足中末制導(dǎo)交班的特殊要求。

圖1 攔截彈與虛實目標(biāo)位置示意圖Fig.1 Sketch map of interceptor，virtual and actual targets position

由圖1得攔截彈與虛擬目標(biāo)的相對運動方程

(1)

(2)

η=σ-q，

(3)

ηT′=π-σT′-q.

(4)

(5)

式中：

x1(th)=0，x2(th)=0,th為交點時間。

假設(shè)攔截彈在中制導(dǎo)過程中的熱約束、過載和動壓等約束適當(dāng)處理后，可以簡化成下面的一般形式

Hx≤h.

(6)

2 雙模預(yù)測制導(dǎo)律

為了保證閉環(huán)攔截系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自適應(yīng)性，應(yīng)該采用時變反饋控制律制導(dǎo)。又由于系統(tǒng)存在嚴(yán)格的控制和狀態(tài)約束，因此采用能顯式處理多變量約束的模型預(yù)測控制方法。若直接對非線性系統(tǒng)(5)提出預(yù)測控制，在線計算量太大，難以在快速取樣系統(tǒng)中實現(xiàn)。為了保證系統(tǒng)的可行性和穩(wěn)定性，并減小在線計算量，這里提出雙模預(yù)測中制導(dǎo)律，整個控制策略如圖2所示[9]。

圖2 雙模預(yù)測控制模型Fig.2 Model of dual mode predictive control

反饋控制系統(tǒng)的前N步構(gòu)成模1，采用約束條件下的優(yōu)化自由控制律，通過這N步的控制，使N+1時刻的狀態(tài)進(jìn)入x的集合εx內(nèi)；N步之后構(gòu)成模2，采用常系數(shù)反饋控制，即

模1u=Kxk+c,Hx≤h,k=1,2，…,N,

(7)

模2u=Kxk,xk∈εx,k=1,2，…,N.

(8)

這里的εx定義為模2中的常系數(shù)反饋控制律下的可行不變集，即εx內(nèi)的所有狀態(tài)均滿足約束(可行性)，且只要k時刻xk∈εx，則xk+1∈εx成立(不變性)。反饋控制律擬采用下面的次最優(yōu)制導(dǎo)律。

2.1 次最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計方法

式中:p=v/vt。

式(5)中的參數(shù)矩陣變?yōu)?/p>

取二次性能指標(biāo)函數(shù)

(9)

應(yīng)用最優(yōu)控制理論，可得系統(tǒng)的最優(yōu)制導(dǎo)律

u=-R-1BTPx.

(10)

解Riccati方程

P(t)B(t)R-1BT(t)P(t)-Q(t)，

(11)

P(t)的終端條件P(tf)=C。

式(11)可以分解為下面2個方程

(12)

(13)

W(t)和Y(t)的終端條件為

W(tf)=I,

Y(tf)=C.

Riccati矩陣微分方程的解為

P(t)=Y(t)W-1(t).

(14)

u=k1x1+k2x2，

(15)

式中：k1和k2的值隨c1和c2的取值而不同。

根據(jù)對制導(dǎo)過程中可用過載和導(dǎo)引頭視線偏差角的要求，一般情況下，k1可取值0.05～0.2，k2可取值2～6，k1的值越大，交接段導(dǎo)引頭視線偏差角越小，但是如果k1過大，則會增大中制導(dǎo)末端的預(yù)測脫靶量。k2的取值規(guī)律及作用類似于比例導(dǎo)引。

2.2 基于吊裝模型的雙模預(yù)測制導(dǎo)

xk+1=Adxk+Bduk，
Ad=TA+I,Bd=TB，
uk=Kxk，

(16)

式中：T為采樣時間。

終端狀態(tài)約束xtf為0的情況下，式(9)中的指標(biāo)函數(shù)簡化為

(17)

式中：xk+i，uk+i表示預(yù)測狀態(tài)和輸入向量。

為了保證過程約束得到滿足，如圖2所示，在次優(yōu)化狀態(tài)反饋控制信號上引入擾動項ck+i|k,i=1,…,N，于是雙模預(yù)測控制律可以表述為

(18)

相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)

xk+1=Φdxk+Bdck|k，

(19)

式中：Φd=Ad+BdK。

式(19)又可以擴(kuò)展成自治狀態(tài)空間模型

(20)

式中：m表示Bd的行數(shù)；E表示Nm×Nm維的單位矩陣的前m行。若存在關(guān)于z的可行不變集Ez，定義如下

(21)

則由Schur補(bǔ)定理知，Qz滿足下面2個約束：

(1) 不變性

(22)

(2) 可行性

(23)

i=1,…,p，

(24)

(25)

min lg det(SQzST)-1,
s.t. (22),(23).

(26)

只要N足夠大，就可以得到滿足式(22)，(23)的Qz，于是， 只要f滿足z∈Ez，預(yù)測軌跡的可行性和不變性便得到滿足。

K和Qz確定之后，在整個導(dǎo)引過程中不再改變，因此其計算過程可以離線執(zhí)行。擾動項ck+i|k專門用來保證預(yù)測軌跡的可行性和不變性。K確定之后，在線優(yōu)化過程中的目標(biāo)函數(shù)(17)可以簡化為

J(f)=fTf.

(27)

于是可得下面的導(dǎo)引控制步驟：

在線計算：在每個采樣時刻執(zhí)行優(yōu)化

(28)

通過式(18)執(zhí)行f的第1個元素ck|k，下一時刻重新優(yōu)化f。

2.3 在線優(yōu)化問題的計算

在每個采樣時刻，x已知的情況下，式(28)定義了一個關(guān)于f的橢球面，記為εf。上述優(yōu)化問題的解若存在，從幾何意義上說應(yīng)當(dāng)是從原點到橢球面εf的最短距離向量，記為f*，則f*既與εf相交，又與εf在相交點處的切面垂直，即f*既滿足式(28)，又滿足

f=λ(Q22f+Q21x).

(29)

合并式(29)中關(guān)于f的項，得

f=λΓQ21x,Γ=(I-λQ22)-1.

(30)

代入式(28)得關(guān)于λ的方程

(31)

λ是τ(λ)的唯一負(fù)實根(另一實根為正，對應(yīng)的f具有從原點到εf的最遠(yuǎn)距離)。因此可以用牛頓-辛普森方法求解。于是在線計算問題概括為

(1)f=0滿足式(28)時，取f*=0；

(2) 否則，用牛頓-辛普森方法求解式(31)得λ，代入式(28)得f*。

3 仿真

目標(biāo)選擇高超聲速巡航導(dǎo)彈，平均飛行Ma數(shù)為6，與水平方向成175°。攔截彈平均Ma數(shù)為7.5。雙模預(yù)測中制導(dǎo)律啟動時，目標(biāo)位置(500,40)km，攔截彈位置(120,30) km，迎著目標(biāo)平飛。要求中末制導(dǎo)交班距離L=60 km，目標(biāo)相對于攔截彈導(dǎo)引頭的視線與彈軸夾角ξ*=9°。另外要求中制導(dǎo)過程輸入不大于0.02 rad/s。

由文獻(xiàn)[1]中的方法生成的虛擬目標(biāo)起始位置為(460,44) km，飛行速度與實際目標(biāo)相同。

圖3和圖4分別給出2.1中的常系數(shù)導(dǎo)引律和2.2中的雙模預(yù)測導(dǎo)引律下的攔截彈道軌跡和輸入曲線。結(jié)果顯示，雙模預(yù)測制導(dǎo)能夠很好地保證閉環(huán)系統(tǒng)的可行性，并使整體性能指標(biāo)得到進(jìn)一步優(yōu)化，其中常系數(shù)次優(yōu)化導(dǎo)引律的實際性能指標(biāo)為0.016 2，雙模預(yù)測導(dǎo)引律0.010 1。

圖3 攔截彈道軌跡Fig.3 Missile trajectories for interceptor

圖4 輸入曲線Fig.4 Curve for inputs

4 結(jié)束語

本文針對大氣層內(nèi)目標(biāo)攔截彈既要滿足末制導(dǎo)側(cè)窗探測對中制導(dǎo)末端時刻，彈目相對距離和位置的要求，又要滿足飛行過程中的過載、動壓等約束的問題提出了雙模預(yù)測制導(dǎo)律。該導(dǎo)引律通過引入有限維輸入擾動量保證了閉環(huán)系統(tǒng)的可行性和穩(wěn)定性，同時實現(xiàn)對性能指標(biāo)的進(jìn)一步優(yōu)化。仿真結(jié)果證明該導(dǎo)引律可以很好地保證過程約束得以滿足，并且可以有效減小性能指標(biāo)值。研究預(yù)測制導(dǎo)在攔截彈中制導(dǎo)過程的應(yīng)用具有重要的理論價值和實踐意義。

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