基于頻率和波達角無源定位及其濾波算法研究*

談欣榮，高憲軍，霍長庚

(空軍航空大學 a.研究生隊；b.航空電子工程系，吉林 長春 130022)

0 引言

無源定位技術是一種定位設備本身并不主動發射信號，而僅僅依靠被動接收輻射源的信息來實現定位的技術[1-2]。與有源定位方法相比，無源定位方法具有作用距離遠、隱蔽接收、不易被對方察覺的優點，對于提高探測和偵察系統在電子戰環境下的生存能力和作戰能力具有重要作用。

傳統的無源定位與跟蹤系統利用運動的觀測平臺在不同時刻測量目標輻射源電磁波的波達角，利用三角交叉原理進行定位與跟蹤，這種方法具有收斂速度慢、定位精度低、對觀測平臺的機動性要求高等缺點。這種方法沒有充分利用接收信號中的信息，舍棄了信號頻率、頻率變化率、波達角變化率、到達時間差等有用信息。另一方面，從質點運動學原理分析，徑向距離、頻率變化率、切向速度和波達角變化率四者之間存在密切關系[3-4]，可以由這些關系解算出目標輻射源到觀測平臺的徑向距離。本文討論從接收信號中測量目標的波達角、波達角變化率和頻率變化率的方法進行單站無源定位與跟蹤，比傳統的只測向方法增加了頻率變化率和波達角變化率2類觀測量。

1 利用頻率變化率和波達角變化率對二維平面目標定位與跟蹤的原理

圖1 二維平面觀測平臺與目標輻射源幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch of radiation source with the target platform in two-dimensional plane

相對速度v(t)可以分解成徑向速度和切向速度2個相互垂直的分量，即v(t)=vr(t)er(t)+vl(t)el(t)，觀測站平臺和輻射源之間的距離為

(1)

通常輻射源的相對速度v(t)是未知的，故vl(t)也是未知的，僅僅采用式(1)無法測距。根據運動學原理又有

(2)

(3)

(4)

式中：λ為接收信號的波長λ=c/f。

(5)

然后根據三角原理得出目標輻射源的位置(xT，yT):

(6)

在多次測量的情況下，通常選擇適當的非線性跟蹤濾波算法、對輻射源進行跟蹤定位[5-9]。

對于運動的目標輻射源，整個定位與跟蹤系統可以由狀態方程和觀測方程來描述，狀態方程為

x(n+1)=Ax(n)+Bu(n).

(7)

觀測平臺以波達角、頻率變化率和波達角變化率作為觀測空間，當觀測平臺和目標輻射源都為勻速運動時，觀測量和狀態矢量x的關系為

fx(n)+v(n)，

2 可觀測性分析

在單站無源定位與跟蹤系統中，可觀測性問題具體指:唯一確定目標輻射源的運動狀態的條件。

2.1 勻速運動目標的可觀測性分析

(2) 觀測平臺和目標輻射源之間只存在徑向運動，而無切向運動。

除以上2種情況外，其他情況為可觀測的。

2.2 勻加速運動目標的可觀測性分析

(8)

在沒有噪聲干擾的情況下，式(8)的觀測方程可以改寫為

(9)

根據觀測函數與狀態矢量的關系得到:

(10)

(11)

3 基于無源定位系統模型中的3種非線性跟蹤濾波算法

單純的無源定位技術不足以獲取運動目標連續的位置信息，對運動目標則要進行有效的跟蹤濾波。大多數的無源定位系統，其所提供的測量數據與目標狀態間常呈非線性關系。若要利用觀測數據完成目標狀態的更新，須解決非線性濾波問題。

3.1 EKF(extended Kalman filter)跟蹤濾波算法

卡爾曼濾波是建立在數據遞推基礎之上的，它以遞推濾波器作為其基本結構形式。但在實際中，經常遇到非線性的狀態方程和觀測方程，這時卡爾曼濾波就不再有效，這時引入了擴展卡爾曼濾波，即EKF算法。EKF算法對狀態方程和觀測方程進行線性化，這種線性化的結果隨之線性卡爾曼濾波器的應用導出了擴展的卡爾曼濾波器，它不具有最佳的特性，它的性能取決于線性化的精度[10-12]。

在單站無源定位與跟蹤系統中，只有觀測方程為非線性方程，在EKF算法中必須對它線性化處理，系統的觀測方程為

z(n)=fx(n)+v(n).

對上式在狀態矢量x(n)的預測值處進行泰勒級數展開，一般取一階項作為近似，也就是通常所說的EKF算法。觀測方程線性化處理為

式中：H(n)為f的一階微分矩陣:

EKF的定位與跟蹤濾波算法為

(1) 預測值和預測誤差協方差為

(2) 卡爾曼增益矩陣為

K(n)=P(n/n-1)HT(n)·

(3) 濾波估計值和估計協方差矩陣為

3.2 UKF(unscented Kalman filter)跟蹤濾波算法

基于近似高斯分布比近似非線性函數簡單的思想，UKF(unscented Kalman filter)，以UT(unscented transformation)變換為基礎，以Kalman濾波為框架，使用確定性采樣獲取非線性函數的概率分布。UKF仍然繼承了Kalman濾波器的基本結構，不同之處是用UT取代了局部線性化。UKF仍然假設系統的隨機部分服從高斯分布，但取消了對系統模型的假設條件，不要求系統是近似線性的，狀態后驗分布的逼近精度更高，而計算量卻與EKF同階。

以下非線性模型的狀態方程和觀測方程：

Xk+1=F(Xk,uk)，Yk=H(Xk,vk).

對于狀態變量Xk的估計，可以通過如下UKF濾波算法完成。

(1) 初始條件

(2) 濾波更新

以上就是對無源定位中非線性系統模型采用UKF算法進行濾波估計的過程。顯然，EKF需要計算雅可比矩陣，并在濾波過程中取一階近似線性化；UKF在非線性函數傳遞時，對任意非線性函數，后驗均值和協方差可以精確到3階，而計算程度卻與EKF的一階近似相同，并且不必計算雅可比及Hessian矩陣。

3.3 PF(particle Filter)算法

粒子濾波是一種基于貝葉斯估計原理的序貫Monte Carlo模擬方法，其核心是利用一些隨機樣本(粒子)來表示系統隨機變量的驗后概率，以得到基于物理模型的近似最優數值解，而不是對近似模型進行最優濾波，適用于強非線性非高斯噪聲系統模型的濾波。

設系統模型的狀態方程和觀測方程為

xk+1=f(xk)+wk，zk=h(xk)+vk,

式中：f(·)和h(·)分別表示非線性函數；wk和vk為互不相關的零均值過程噪聲和測量噪聲，其協方差分別為Qk和Rk。

粒子濾波算法的實現步驟如下：

(1) 初始化k=0；

(2) 重要性采樣和權值計算；

(3) 重采樣；

(5) 令k=k+1，轉到(2)。

4 仿真驗證

利用EKF,UKF或PF方法對各時刻的測量數據進行濾波，即可得到目標的位置及速度的估計值，從而實現定位與跟蹤。

處理過程為：首先假設目標靜止，利用觀測平臺的運動信息對目標進行粗略定位，得到的目標位置作為初始值建立EKF，UKF或PF濾波過程，估計出目標的運動速度，對粗略的定位結果進行補償并平滑噪聲；利用前一時刻的目標位置及速度濾波值，計算當前時刻目標的位置及速度預測值；利用這一預測值和當前時刻測量的來自目標輻射源的波達角、波達角變化率和頻率變化率數據進行定位，并對預測的目標位置及速度值進行修正，得到當前時刻的目標位置及速度濾波值；再用當前時刻的濾波值對下一時刻的目標位置及速度進行預測，根據預測結果及下一時刻的波達角、波達角變化率和頻率變化率的測量值得到下一時刻目標位置及速度的濾波值，如此反復。隨著濾波時間的增長，對誤差較大的位置及速度初始值進行補償及平滑噪聲，濾波得到的位置及速度估計值會越來越接近真實值，提高了定位精度。

衡量定位效果的一個重要標準是定位精度，即相對位置誤差，定義為

假設測量條件為：觀察間隔為T=1 s,波達角、波達角變化率和頻率變化率的測量精度分別取：5×10-3rad，0.2×10-3rad/s，1 Hz/s。作100次Monte Carlo實驗取平均值，得到定位結果如圖2，3所示。

圖2 估計結果與實際狀態對比Fig.2 Filter estimates vs. true state

圖3 估計值誤差比較Fig.3 Compare of estimation error

仿真時間：

TEKF= 0.021 919 s，TUKF= 0.089 034 s，TPF=3.767 9 s.

相對誤差統計值:

EKF=19.72%，UKF=8.47%，PF=3.82%.

從仿真得到的圖形及數據可以看出：EKF用時最少，UKF居中，PF耗時最長；PF濾波效果最好，UKF次之，EKF效果最差。

5 結束語

本文利用頻率和波達角信息在二維平面運動模型的基礎上解決對機動目標的定位問題，進行了可觀測性分析，得出觀測平臺和目標輻射源之間存在相對運動，且相對運動非徑向時可實現定位的結論。將EKF，UKF或PF 3種非線性濾波方法應用到定位模型中，仿真驗證表明，在存在機動的情況下，EKF用時最少，UKF居中，PF耗時最長；PF濾波效果最好，UKF次之，EKF效果最差。相比參考文獻[12]中介紹的多普勒頻率變化率算法(定位時間小于等于30 s，測距精度≤5%)[12]，提高了收斂速度和定位精度，能夠滿足實時跟蹤的要求，在新型無源探測系統中將具有一定的應用前景。

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