基于測試數據時間序列的導彈故障預測*

葉瑋，鄭守鐸，溫瑞珩

(中國人民解放軍92941部隊，遼寧 葫蘆島 125001)

0 引言

導彈故障預測是通過對導彈關鍵狀態參數的變化進行趨勢分析，并對導彈系統的未來行為進行推斷，其目的是在故障發生前及早地實現故障預報，并由此針對性地采取措施預防、減緩故障的發生，將事故消滅在萌芽狀態，從而最大限度地減小故障發生的可能和降低故障的危害[1]。由于導彈系統設備的使用壽命受加電時間的影響，在導彈服役期間，只能通過定期檢驗來判斷導彈的性能狀況，不能經常進行測試，因此不可能隨時全面掌握導彈的性能狀況。但是如果能通過對導彈測試數據進行分析處理來實現導彈在定期檢查時性能變化趨勢的預測，必將有助于全面掌握導彈的性能狀況，進而提高導彈的戰備保障能力。

1 時間序列趨勢預測

時間序列預測是用被預測變量的歷史信息預測未來值。時間序列預測的方法很多，主要有Box-Jcnkins模型、灰色預測法、神經網絡模型、模糊理論、小波預測等趨勢預測方法[2]。

灰色預測法用等時距觀測到的反映預測對象特征的一系列數量值構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。灰色預測提供了在貧信息情況下求解系統問題的新途徑，應用十分廣泛，特別適用于序列較短且具有明顯上升或明顯下降趨勢的時間序列預測[3]。

基于神經網絡的預測方法近年來被人們普遍采用。神經網絡是在現代生物學、人腦組織等研究所取得的成果基礎上提出的, 一個三層神經網絡可以任意精度逼近任何非線性連續函數，這為運用神經網絡進行時間序列預測提供了數學保證[4]。同時，神經網絡和其他理論(如模糊理論、遺傳算法、粗糙集、模擬退火算法等)的結合研究也得到快速發展[5]。神經網絡預測實現了非線性關系的隱式表達，容錯性好，預測精度較高，動態自適應能力強，適合非線性復雜系統的智能預測[6]。

小波理論比較成熟的Mallat算法在預測中也經常被人們使用，但該算法不能滿足時-頻移(位)不變的要求，不能勝任實時遞歸預測的方法[7]。à Trous小波變換比較靈活，它可以把時間序列看作有序數據流的形式，在預測過程中逐步進行小波變換，還可以在變換過程中加入其他算法，如指數平滑處理、降噪處理等[8]。

自回歸移動平均模型(auto regression moving average model,ARMA)可以說是迄今為止理論上最為完善的預測方法，它最初起源于市場經濟預測，后來隨著時序方法的發展及其應用領域的擴大，ARMA模型被成功用于工程系統的預測[9]。ARMA模型還有多元時間序列模型(ARMA vector model,ARMAV)、非平穩時間序列模型(auto regressive integrated moving average,ARIMA)、門限自回歸模型(threshold auto regression,TAR)、指數自回歸模型(exponent auto regression,EAR)等許多變種，分別適用于不同性質的時間序列[10]。

在導彈實際的測試過程中，參數測量的時間間隔并不一致，但是經過實際觀察研究，在測試安排緊湊、時間間隔相差不大的情況下，實測值主要受加電次數的影響，而短期時間變化所造成的影響不明顯。因此，可以從導彈測試的原始數據庫中提取某參數的歷史數據，組成相同時間間隔的歷史數據時間序列。借助于SAS(statistical analysis system)預測技術，就可以挖掘導彈測試歷史數據時間序列中的潛在規律，便于準確分析和預測導彈性能參數的變化。下面以導彈某一參數的實測數據(共85個觀測值)為例，詳細分析時間序列建模及優化過程，并運用組合模型進行導彈故障預測。數據觀測值不進行羅列表示。

2 導彈故障預測建模

2.1 平穩性檢查

將數據序列導入SAS數據庫，以時間段(x)為時間編號(time ID),實測值字段(value)為變量(varible),作點線圖，如圖1所示。可以看出原序列有明顯的線性趨勢，帶有不確定因素且不穩定。然后觀察序列的相關性函數圖，如圖2所示。雖然該序列的偏自相關函數和逆自相關函數在滯后量大于1時大致截至為0，具有截尾性，但其自相關函數隨滯后量的增加衰減緩慢，且在滯后量大于8之前的自相關函數值都在可信度范圍以外。因此，可以判斷該序列不是隨機時間序列。在此判斷基礎上，進行序列的白噪聲和穩定性測試可知，該序列的自相關系數不顯著為0，不滿足白噪聲的條件；同時，單位根檢驗結果表明，ADF(augmented Dickey-Fuller)統計量的絕對值明顯小于臨界值的絕對值。顯然，該序列為非平穩時間序列。綜上所述，該序列帶有明顯的線性趨勢，不滿足隨機時間序列條件，為確定性非平穩時間序列。

圖1 原序列點線圖Fig.1 Dot chart of primary series

圖2 原序列相關函數圖Fig.2 Correlation function of primary series

2.2 趨勢擬合

通過以上分析可知，該序列帶有明顯的線性趨勢，因此對該序列進行線性擬合。由參數擬合統計量結果可確定趨勢擬合為

μt=28.485 69+0.035t.

(1)

模型的T檢驗結果表明，常數項與自變量系數顯著不為0，都有顯著性意義；擬合模型殘差平方和為1.040 48，均方誤差僅為0.013 01，AIC(Akaike information ceiterion)統計量為-348.387 71，SBC(Schwartz Bayesian information ceiterion)統計量為-338.623 65，決定系數高達98.1%。顯然，模型擬合良好。

2.3 殘差序列平穩性檢查

將殘差序列數據導入SAS數據庫，以時間字段(x)為時間編號(time ID)，殘差值字段(y)為變量(varible)，作點線圖觀察，如圖3所示。該殘差序列值在0附近震蕩，沒有明顯的確定性趨勢，初步判定為隨機時間序列。然后對該殘差序列白噪聲和單位根檢驗，如圖4所示。可知該序列滿足白噪聲條件；同時，單位根檢驗結果表明，ADF統計量值明顯大于臨界值的絕對值。顯然，該序列為隨機平穩時間序列。

圖3 擬合殘差點線圖Fig.3 Dot chart of fitting residual error

圖4 擬合殘差白噪聲/單位根檢驗圖Fig.4 White noise and unite root of fitting residual error

由該殘差序列的相關性函數值可知，該殘差序列除了延遲2階的自相關系數在2倍標準差范圍之外，其他階數的自相關系數都在2倍標準差范圍內波動。根據這個特點可以判斷該序列具有短期相關性，進一步確定序列平穩。綜上所述，該殘差序列為隨機平穩時間序列。

2.4 殘差序列的識別及模型擬合

通過分析該殘差序列的相關系數圖(圖5)，一方面，由于序列除了延遲2階的自相關系數在2倍標準差范圍之外，其他階數的自相關系數都在2倍標準差范圍內波動，可以認為該序列自相關系數2階截尾，且由于偏自相關系數顯示出一定的拖尾性，綜合該序列自相關系數和偏自相關系數的性質，可以嘗試使用MA(2)模型擬合該序列；另一方面，由于序列的自相關系數在延遲1，2，4階等處均不顯著為0，表現出一定的拖尾性，偏自相關系數在延遲2，4，6，13階不顯著為0，也表現出一定的拖尾性質，可以嘗試使用ARMA模型擬合該序列。根據殘差序列自相關系數和偏自相關系數中不顯著為0的各個延遲階數，構造相應的ARMA(p，d，q)模型，并對模型擬合結果進行整理，選擇MA(2)模型來擬合該殘差序列。

圖5 擬合殘差序列相關系數圖Fig.5 Correlation coefficient chart of fitting residual error

在此基礎上，首先對MA(2)模型進行模型檢驗。由擬合后的殘差序列白噪聲和單位根檢驗結果可知，殘差序列白噪聲檢驗中沒有顯著不為0的點，殘差序列為白噪聲序列，單位根檢驗結果表明，ADF統計量的絕對值明顯大于臨界值的絕對值，殘差序列是平穩的。可見MA(2)模型對原殘差序列的擬合較好。其次對MA(2)模型進行參數檢驗。由MA(2)模型的參數估計和檢驗結果值可知，lbθ2參數估計值顯著不為0，而lgθ1參數參數估計值明顯小于2倍標準差，T檢驗結果同時表明lgθ1不顯著。因此，需要對模型進行優化。

由于MA(2)模型中不顯著參數不是最高階參數，需要計算θ1,θ2之間的相關系數。通過計算得θ1,θ2之間相關系數為0.003 5，表明參數之間的相關性很弱，因此可將MA(2)中的不顯著參數θ1刪去。優化后的MA(2)模型如下：

et=-0.499 29et-2.

(2)

對擬合模型后的殘差序列進行進一步的分析，發現殘差序列為白噪聲隨機序列，說明模型et=-0.499 29et-2比較合適。

2.5 組合模型

通過以上分析，得到組合模型為

μt=28.485 69+0.035t-0.499 29et-2.

(3)

組合模型擬合后的殘差白噪聲和單位根檢驗結果如圖6所示。

圖6 組合模型擬合殘差白噪聲/單位根檢驗圖Fig.6 White noise and unite root of fitting residual error of model

3 模型預測

利用組合模型對后5個數據進行預測，并與實際值比較。模型預測值與實際值對照表如表1所示。

從表1可看出，實際值與預測值相差很小，經檢驗2組的差值與0沒有顯著性差異。可以認為，該模型預測效果較好。

表1 模型預測值與實際值對照表Table 1 Contrast of forecast and factual value

以上使用的是點預測方法，在實際應用中，其預測結果的實用性和可靠性較差，因為未來發生的實際值幾乎絕不可能等于點預測值，有時甚至偏差很大，這種不確定性有礙于對點預測結果的信任和使用。雖然沒有一種預測方法能使預測結果同實際真值每次吻合，但是可以通過區間預測方法來劃定一個預測范圍，使它可能包含實際真值，并能預先確定包含真值的可能性大小。區間預測法的計算非常復雜，通常都采用統計軟件來完成。運用組合模型和SAS軟件對該序列進行置信水平為95%的區間預測。點線圖如圖7所示。

圖7 區間預測點線圖Fig.7 Dot chart of interzone prediction

由圖7中可以看出，幅值為31.5的水平線表示參數的合格上限，用點估計的方法進行預測時，第85個時刻點的估計值超出了合格范圍，而實測值正是在第85個時刻點出現了不合格數據，可見點預測的精度較高。在用區間估計的方法進行預測時，第81個時刻點后的預測值上限都超出了參數的合格上限值，說明參數已經具有了超標的可能。在對導彈性能狀況進行實際預測研究時，如果某參數指標的預測區間超出或者非常接近合格上下限，則需進行因果分析和故障排查，必要時可更換零部件等，把故障消滅在萌芽狀態，避免導致嚴重后果的發生。

4 結束語

運用成熟的統計分析理論以及數據處理軟件，對導彈測試過程中收集到的大量歷史數據進行分析處理和數學建模，實現導彈的故障預測，對降低、消除故障危害，提高導彈使用可靠性、安全性等方面都有重要的意義[11]。時間序列趨勢預測主要揭示導彈性能指標的變化規律，對未來值的預測通常是給出一個明確的估計值，不能給出精度和范圍，預測結果的實用性和可靠性較差，實際運用存在一定的局限性[12]，而統計預測區間技術能夠以一定置信度給出數據發展的預測區間范圍，解決了時間序列趨勢預測技術無精度和范圍的缺陷。

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