基于測試數(shù)據(jù)時間序列的導(dǎo)彈故障預(yù)測*

葉瑋，鄭守鐸，溫瑞珩

(中國人民解放軍92941部隊，遼寧 葫蘆島 125001)

0 引言

導(dǎo)彈故障預(yù)測是通過對導(dǎo)彈關(guān)鍵狀態(tài)參數(shù)的變化進行趨勢分析，并對導(dǎo)彈系統(tǒng)的未來行為進行推斷，其目的是在故障發(fā)生前及早地實現(xiàn)故障預(yù)報，并由此針對性地采取措施預(yù)防、減緩故障的發(fā)生，將事故消滅在萌芽狀態(tài)，從而最大限度地減小故障發(fā)生的可能和降低故障的危害[1]。由于導(dǎo)彈系統(tǒng)設(shè)備的使用壽命受加電時間的影響，在導(dǎo)彈服役期間，只能通過定期檢驗來判斷導(dǎo)彈的性能狀況，不能經(jīng)常進行測試，因此不可能隨時全面掌握導(dǎo)彈的性能狀況。但是如果能通過對導(dǎo)彈測試數(shù)據(jù)進行分析處理來實現(xiàn)導(dǎo)彈在定期檢查時性能變化趨勢的預(yù)測，必將有助于全面掌握導(dǎo)彈的性能狀況，進而提高導(dǎo)彈的戰(zhàn)備保障能力。

1 時間序列趨勢預(yù)測

時間序列預(yù)測是用被預(yù)測變量的歷史信息預(yù)測未來值。時間序列預(yù)測的方法很多，主要有Box-Jcnkins模型、灰色預(yù)測法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、模糊理論、小波預(yù)測等趨勢預(yù)測方法[2]。

灰色預(yù)測法用等時距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間?；疑A(yù)測提供了在貧信息情況下求解系統(tǒng)問題的新途徑，應(yīng)用十分廣泛，特別適用于序列較短且具有明顯上升或明顯下降趨勢的時間序列預(yù)測[3]。

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測方法近年來被人們普遍采用。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是在現(xiàn)代生物學(xué)、人腦組織等研究所取得的成果基礎(chǔ)上提出的, 一個三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以任意精度逼近任何非線性連續(xù)函數(shù)，這為運用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行時間序列預(yù)測提供了數(shù)學(xué)保證[4]。同時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和其他理論(如模糊理論、遺傳算法、粗糙集、模擬退火算法等)的結(jié)合研究也得到快速發(fā)展[5]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測實現(xiàn)了非線性關(guān)系的隱式表達，容錯性好，預(yù)測精度較高，動態(tài)自適應(yīng)能力強，適合非線性復(fù)雜系統(tǒng)的智能預(yù)測[6]。

小波理論比較成熟的Mallat算法在預(yù)測中也經(jīng)常被人們使用，但該算法不能滿足時-頻移(位)不變的要求，不能勝任實時遞歸預(yù)測的方法[7]。à Trous小波變換比較靈活，它可以把時間序列看作有序數(shù)據(jù)流的形式，在預(yù)測過程中逐步進行小波變換，還可以在變換過程中加入其他算法，如指數(shù)平滑處理、降噪處理等[8]。

自回歸移動平均模型(auto regression moving average model,ARMA)可以說是迄今為止理論上最為完善的預(yù)測方法，它最初起源于市場經(jīng)濟預(yù)測，后來隨著時序方法的發(fā)展及其應(yīng)用領(lǐng)域的擴大，ARMA模型被成功用于工程系統(tǒng)的預(yù)測[9]。ARMA模型還有多元時間序列模型(ARMA vector model,ARMAV)、非平穩(wěn)時間序列模型(auto regressive integrated moving average,ARIMA)、門限自回歸模型(threshold auto regression,TAR)、指數(shù)自回歸模型(exponent auto regression,EAR)等許多變種，分別適用于不同性質(zhì)的時間序列[10]。

在導(dǎo)彈實際的測試過程中，參數(shù)測量的時間間隔并不一致，但是經(jīng)過實際觀察研究，在測試安排緊湊、時間間隔相差不大的情況下，實測值主要受加電次數(shù)的影響，而短期時間變化所造成的影響不明顯。因此，可以從導(dǎo)彈測試的原始數(shù)據(jù)庫中提取某參數(shù)的歷史數(shù)據(jù)，組成相同時間間隔的歷史數(shù)據(jù)時間序列。借助于SAS(statistical analysis system)預(yù)測技術(shù)，就可以挖掘?qū)棞y試歷史數(shù)據(jù)時間序列中的潛在規(guī)律，便于準(zhǔn)確分析和預(yù)測導(dǎo)彈性能參數(shù)的變化。下面以導(dǎo)彈某一參數(shù)的實測數(shù)據(jù)(共85個觀測值)為例，詳細(xì)分析時間序列建模及優(yōu)化過程，并運用組合模型進行導(dǎo)彈故障預(yù)測。數(shù)據(jù)觀測值不進行羅列表示。

2 導(dǎo)彈故障預(yù)測建模

2.1 平穩(wěn)性檢查

將數(shù)據(jù)序列導(dǎo)入SAS數(shù)據(jù)庫，以時間段(x)為時間編號(time ID),實測值字段(value)為變量(varible),作點線圖，如圖1所示。可以看出原序列有明顯的線性趨勢，帶有不確定因素且不穩(wěn)定。然后觀察序列的相關(guān)性函數(shù)圖，如圖2所示。雖然該序列的偏自相關(guān)函數(shù)和逆自相關(guān)函數(shù)在滯后量大于1時大致截至為0，具有截尾性，但其自相關(guān)函數(shù)隨滯后量的增加衰減緩慢，且在滯后量大于8之前的自相關(guān)函數(shù)值都在可信度范圍以外。因此，可以判斷該序列不是隨機時間序列。在此判斷基礎(chǔ)上，進行序列的白噪聲和穩(wěn)定性測試可知，該序列的自相關(guān)系數(shù)不顯著為0，不滿足白噪聲的條件；同時，單位根檢驗結(jié)果表明，ADF(augmented Dickey-Fuller)統(tǒng)計量的絕對值明顯小于臨界值的絕對值。顯然，該序列為非平穩(wěn)時間序列。綜上所述，該序列帶有明顯的線性趨勢，不滿足隨機時間序列條件，為確定性非平穩(wěn)時間序列。

圖1 原序列點線圖Fig.1 Dot chart of primary series

圖2 原序列相關(guān)函數(shù)圖Fig.2 Correlation function of primary series

2.2 趨勢擬合

通過以上分析可知，該序列帶有明顯的線性趨勢，因此對該序列進行線性擬合。由參數(shù)擬合統(tǒng)計量結(jié)果可確定趨勢擬合為

μt=28.485 69+0.035t.

(1)

模型的T檢驗結(jié)果表明，常數(shù)項與自變量系數(shù)顯著不為0，都有顯著性意義；擬合模型殘差平方和為1.040 48，均方誤差僅為0.013 01，AIC(Akaike information ceiterion)統(tǒng)計量為-348.387 71，SBC(Schwartz Bayesian information ceiterion)統(tǒng)計量為-338.623 65，決定系數(shù)高達98.1%。顯然，模型擬合良好。

2.3 殘差序列平穩(wěn)性檢查

將殘差序列數(shù)據(jù)導(dǎo)入SAS數(shù)據(jù)庫，以時間字段(x)為時間編號(time ID)，殘差值字段(y)為變量(varible)，作點線圖觀察，如圖3所示。該殘差序列值在0附近震蕩，沒有明顯的確定性趨勢，初步判定為隨機時間序列。然后對該殘差序列白噪聲和單位根檢驗，如圖4所示?？芍撔蛄袧M足白噪聲條件；同時，單位根檢驗結(jié)果表明，ADF統(tǒng)計量值明顯大于臨界值的絕對值。顯然，該序列為隨機平穩(wěn)時間序列。

圖3 擬合殘差點線圖Fig.3 Dot chart of fitting residual error

圖4 擬合殘差白噪聲/單位根檢驗圖Fig.4 White noise and unite root of fitting residual error

由該殘差序列的相關(guān)性函數(shù)值可知，該殘差序列除了延遲2階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外，其他階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷該序列具有短期相關(guān)性，進一步確定序列平穩(wěn)。綜上所述，該殘差序列為隨機平穩(wěn)時間序列。

2.4 殘差序列的識別及模型擬合

通過分析該殘差序列的相關(guān)系數(shù)圖(圖5)，一方面，由于序列除了延遲2階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外，其他階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動，可以認(rèn)為該序列自相關(guān)系數(shù)2階截尾，且由于偏自相關(guān)系數(shù)顯示出一定的拖尾性，綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可以嘗試使用MA(2)模型擬合該序列；另一方面，由于序列的自相關(guān)系數(shù)在延遲1，2，4階等處均不顯著為0，表現(xiàn)出一定的拖尾性，偏自相關(guān)系數(shù)在延遲2，4，6，13階不顯著為0，也表現(xiàn)出一定的拖尾性質(zhì)，可以嘗試使用ARMA模型擬合該序列。根據(jù)殘差序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)中不顯著為0的各個延遲階數(shù)，構(gòu)造相應(yīng)的ARMA(p，d，q)模型，并對模型擬合結(jié)果進行整理，選擇MA(2)模型來擬合該殘差序列。

圖5 擬合殘差序列相關(guān)系數(shù)圖Fig.5 Correlation coefficient chart of fitting residual error

在此基礎(chǔ)上，首先對MA(2)模型進行模型檢驗。由擬合后的殘差序列白噪聲和單位根檢驗結(jié)果可知，殘差序列白噪聲檢驗中沒有顯著不為0的點，殘差序列為白噪聲序列，單位根檢驗結(jié)果表明，ADF統(tǒng)計量的絕對值明顯大于臨界值的絕對值，殘差序列是平穩(wěn)的?？梢奙A(2)模型對原殘差序列的擬合較好。其次對MA(2)模型進行參數(shù)檢驗。由MA(2)模型的參數(shù)估計和檢驗結(jié)果值可知，lbθ2參數(shù)估計值顯著不為0，而lgθ1參數(shù)參數(shù)估計值明顯小于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，T檢驗結(jié)果同時表明lgθ1不顯著。因此，需要對模型進行優(yōu)化。

由于MA(2)模型中不顯著參數(shù)不是最高階參數(shù)，需要計算θ1,θ2之間的相關(guān)系數(shù)。通過計算得θ1,θ2之間相關(guān)系數(shù)為0.003 5，表明參數(shù)之間的相關(guān)性很弱，因此可將MA(2)中的不顯著參數(shù)θ1刪去。優(yōu)化后的MA(2)模型如下：

et=-0.499 29et-2.

(2)

對擬合模型后的殘差序列進行進一步的分析，發(fā)現(xiàn)殘差序列為白噪聲隨機序列，說明模型et=-0.499 29et-2比較合適。

2.5 組合模型

通過以上分析，得到組合模型為

μt=28.485 69+0.035t-0.499 29et-2.

(3)

組合模型擬合后的殘差白噪聲和單位根檢驗結(jié)果如圖6所示。

圖6 組合模型擬合殘差白噪聲/單位根檢驗圖Fig.6 White noise and unite root of fitting residual error of model

3 模型預(yù)測

利用組合模型對后5個數(shù)據(jù)進行預(yù)測，并與實際值比較。模型預(yù)測值與實際值對照表如表1所示。

從表1可看出，實際值與預(yù)測值相差很小，經(jīng)檢驗2組的差值與0沒有顯著性差異?？梢哉J(rèn)為，該模型預(yù)測效果較好。

表1 模型預(yù)測值與實際值對照表Table 1 Contrast of forecast and factual value

以上使用的是點預(yù)測方法，在實際應(yīng)用中，其預(yù)測結(jié)果的實用性和可靠性較差，因為未來發(fā)生的實際值幾乎絕不可能等于點預(yù)測值，有時甚至偏差很大，這種不確定性有礙于對點預(yù)測結(jié)果的信任和使用。雖然沒有一種預(yù)測方法能使預(yù)測結(jié)果同實際真值每次吻合，但是可以通過區(qū)間預(yù)測方法來劃定一個預(yù)測范圍，使它可能包含實際真值，并能預(yù)先確定包含真值的可能性大小。區(qū)間預(yù)測法的計算非常復(fù)雜，通常都采用統(tǒng)計軟件來完成。運用組合模型和SAS軟件對該序列進行置信水平為95%的區(qū)間預(yù)測。點線圖如圖7所示。

圖7 區(qū)間預(yù)測點線圖Fig.7 Dot chart of interzone prediction

由圖7中可以看出，幅值為31.5的水平線表示參數(shù)的合格上限，用點估計的方法進行預(yù)測時，第85個時刻點的估計值超出了合格范圍，而實測值正是在第85個時刻點出現(xiàn)了不合格數(shù)據(jù)，可見點預(yù)測的精度較高。在用區(qū)間估計的方法進行預(yù)測時，第81個時刻點后的預(yù)測值上限都超出了參數(shù)的合格上限值，說明參數(shù)已經(jīng)具有了超標(biāo)的可能。在對導(dǎo)彈性能狀況進行實際預(yù)測研究時，如果某參數(shù)指標(biāo)的預(yù)測區(qū)間超出或者非常接近合格上下限，則需進行因果分析和故障排查，必要時可更換零部件等，把故障消滅在萌芽狀態(tài)，避免導(dǎo)致嚴(yán)重后果的發(fā)生。

4 結(jié)束語

運用成熟的統(tǒng)計分析理論以及數(shù)據(jù)處理軟件，對導(dǎo)彈測試過程中收集到的大量歷史數(shù)據(jù)進行分析處理和數(shù)學(xué)建模，實現(xiàn)導(dǎo)彈的故障預(yù)測，對降低、消除故障危害，提高導(dǎo)彈使用可靠性、安全性等方面都有重要的意義[11]。時間序列趨勢預(yù)測主要揭示導(dǎo)彈性能指標(biāo)的變化規(guī)律，對未來值的預(yù)測通常是給出一個明確的估計值，不能給出精度和范圍，預(yù)測結(jié)果的實用性和可靠性較差，實際運用存在一定的局限性[12]，而統(tǒng)計預(yù)測區(qū)間技術(shù)能夠以一定置信度給出數(shù)據(jù)發(fā)展的預(yù)測區(qū)間范圍，解決了時間序列趨勢預(yù)測技術(shù)無精度和范圍的缺陷。

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