數學物理方程中的分離變量法

王晶

分離變量法是數學物理方程中求解有限域上的初邊值問題的主要方法。本文首先給出了分離變量法的思想，進一步討論了不同類型的初邊值問題的求解。通過舉例說明加深了我們對分離變量法的理解。

分離變量法數學物理方程初邊值問題一、引言

數學物理方程是研究物理學以及其他自然科學、技術科學中所產生的偏微分方程的學科，它是具有廣泛應用背景的一門數學基礎理論課程，不論從事基礎研究，還是工程技術開發工作都離不開它。客觀世界的復雜性，導致描述關系的數學方程的復雜性，使這些偏微分方程都含有較多的自變量，其求解相當復雜。如何簡化求解方法，成為求解數理方程的一個重要方面。分離變量法就是一種求解偏微分方程的普遍的重要方法。該方法可將偏微分方程分離為常微分方程使得一些偏微分方程變得可解。先求數學物理方程通解的辦法只適用于極少數的某些定解問題，而分離變量法是定解問題的一種基本解法，適用于大量的有限域上的初邊值問題[1-2]。文中所用記號和術語均來自[3].

二、分離變量法求解數學物理方程的思想

分離變量法的提出是受“駐波”問題的啟示，“駐波”是振動現象中的一種常見形式。描述“駐波”的偏微分方程，可表示為變量分離狀態的形式。雖然我們是從駐波引出解題的線索，其實整個求解過程跟駐波并沒有特殊的關系。簡單說來，分離變量法就是利用方程與邊界條件的線性性質和齊次性質，首先把偏微分方程分離為常微分方程，找到滿足方程和邊界條件的特解，然后將這些特解線性疊加，使其滿足初始條件，方程則解出。

三、分離變量法求解數學物理方程的應用

（一）求解帶有齊次邊界條件的齊次方程的初邊值問題(舉例說明)

研究兩端固定的均勻弦的自由振動，即定解問題：

（二）分離變量法求解帶有齊次邊界條件的非齊次方程的初邊值問題

首先根據疊加原理將初邊值問題分解為兩個初邊值問題，一個是帶有非齊次初始條件的齊次方程的初邊值問題，求解方法見3.1。另外一個是帶有齊次初始條件的非齊次方程的初邊值問題，該初邊值問題的求解利用齊次化原理，同樣可以轉化為帶有非齊次初始條件的齊次方程的初邊值問題。

（三）求解帶有非齊次邊界條件的初邊值問題

如果邊界條件是非齊次的，首先將邊界條件齊次化。就是選取一個與未知函數ｕ具有相同邊界條件的已知函數U，一般情況下我們取最簡單的線性函數。再作變換V=ｕ-U，帶入關于ｕ的初邊值問題，導出新的關于V的初邊值問題，這是V所滿足的邊界條件就是齊次的了。V的求解見3.1和3.2。

四、結論

分離變量法就是把偏微分方程轉化為常微分方程進行求解。首先根據所給的初邊值問題看是否需要邊界條件齊次化，再者看是否需要方程齊次化。最主要的環節就是求解特征值問題。該法是否有效，主要是看特征值是否存在，特征函數族是否正交，所給的已知函數能否按特征函數族展開。如果是三角函數族的情況，我們可以用傅里葉級數解決。

參考文獻：

[1]張健.數學物理方程的分離變量法[J].青海師范大學學報，2011，(3)：17-19.

[2]智麗麗.分離變量法在數學物理方程中的應用[J].昌吉學院學報，2013，(1)：68-72

[3]谷超豪，李大潛.數學物理方程［M］.高等教育出版社，2012.

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