不確定系統魯棒穩態白噪聲反卷積平滑器

劉文強，王雪梅，鄧自立

（1.黑龍江大學電子工程學院，黑龍江哈爾濱150080；

2.黑龍江科技大學計算機與信息工程學院，黑龍江哈爾濱150022）

不確定系統魯棒穩態白噪聲反卷積平滑器

劉文強1，2，王雪梅1，鄧自立1

（1.黑龍江大學電子工程學院，黑龍江哈爾濱150080；

2.黑龍江科技大學計算機與信息工程學院，黑龍江哈爾濱150022）

對于帶不確定噪聲方差的線性離散時不變隨機系統，根據極大極小魯棒估計原理，基于帶噪聲方差保守上界的最壞情形保守系統，應用Kalman濾波和最優白噪聲估計理論，提出了一種魯棒穩態白噪聲反卷積平滑器。對于所有容許的不確定噪聲方差，保證它的實際平滑誤差方差陣有一個最小上界。基于Lyapunov方程方法證明了它的魯棒性和魯棒精度關系。一個數值仿真例子驗證了所提出結果的正確性和有效性。

不確定噪聲方差；白噪聲反卷積；魯棒性；Lyapunov方程方法

0 引 言

反卷積是信號處理中的一類基本問題，是指通過測量輸出重構未知輸入的過程。隨機系統的輸入白噪聲估計問題稱為白噪聲反卷積。這類問題出現在許多領域中，例如通信和信號處理［13］，且在近年來受到廣泛關注。目前，已經提出的反卷積方法包括Kalman濾波方法［13］、現代時間序列分析方法［4］和多項式方法［5］。

在文獻［1- 3］中，基于Kalman濾波方法，提出了以石油地震勘探為應用背景的固定滯后最優白噪聲反卷積平滑器。在文獻［4］中，基于現代時間序列分析方法，提出了統一的白噪聲估計理論，不僅包含輸入白噪聲估值器，而且還包含了觀測白噪聲估值器。基于Kalman濾波方法的最優白噪聲估計理論已經推廣到信息融合白噪聲最優反卷積估值器［67］中。_________

基于Kalman濾波方法的最優白噪聲估計理論有一個關鍵的假設，即系統的模型參數和噪聲方差是精確已知的。然而，在實際應用中，由于建模誤差或未建模動態等原因，這個假設并不總是滿足。這推動了針對不確定系統的魯棒Kalman濾波的許多研究。對于帶不確定模型參數的系統，設計魯棒Kalman濾波器主要有兩種方法，即Riccati方程方法［89］和線性矩陣不等式方法［10］。這兩種方法的缺點是僅僅假定了系統的模型參數是不確定的，而噪聲方差則假定是已知的。魯棒濾波器的性能指標是保證對所有容許的不確定性，相應的實際濾波誤差方差有一個最小上界。

最近，對于帶不確定噪聲方差的多傳感器系統，基于極大極小魯棒估計準則［11］，在文獻［12- 14］中分別提出了魯棒局部和加權融合時變與穩態Kalman濾波器、預報器和平滑器，并提出了證明魯棒性的Lyapunov方程方法。然而，到目前為止，針對不確定系統的魯棒反卷積問題報道很少［11］，特別是魯棒白噪聲反卷積估計問題尚未見報道。

本文對帶不確定噪聲方差的系統，應用極大極小魯棒估計準則，提出了一種固定滯后魯棒穩態白噪聲反卷積平滑器。

1 魯棒穩態白噪聲反卷積平滑器

考慮帶不確定噪聲方差的線性離散時不變系統

式中，t是離散時間；x（t）∈Rn是狀態；y（t）∈Rm是觀測；w（t）∈Rr是輸入噪聲；v（t）∈Rm是觀測噪聲；Φ，Γ和H是帶適當維數的已知常陣。

假設1w（t）和v（t）是帶零均值，且未知不確定實際（真實）方差分別為ˉQ和ˉR的不相關白噪聲。Q＞0和R＞0分別是ˉQ和ˉR的已知保守上界，且滿足

假設2線性離散時不變系統（見式（1）和式（2））是完全可控和完全可觀的［15］。

問題是針對不確定系統式（1）和式（2），基于實際觀測（y（t＋N），y（t＋N－1），…），設計輸入白噪聲w（t）的魯棒反卷積平滑器^w（t｜t＋N）（N＞0為固定滯后且N為整數），使得對于所有容許的不確定噪聲方差，保證它的實際平滑誤差方差陣ˉPw（N）有一個最小上界Pw（N），即ˉPw（N）≤Pw（N）。這種性質也叫魯棒性。

注1文獻［3］指出，石油數據處理中的白噪聲反卷積估計問題通常是離線進行的，不僅應用過去和現在的觀測數據，還包括將來的觀測數據。因此，本文給出的結果是用于事后平滑處理系統。由于當N≤0時，在假設1和假設2條件下，穩態最優白噪聲濾波器（N＝0）和預報器（N＜0）為零［13］，故本文僅考慮固定滯后的白噪聲平滑問題。

1.1 魯棒穩態Kalman預報器

考慮帶噪聲方差保守上界Q和R的最壞情形保守系統式（1）和式（2），保守最優穩態Kalman預報器［16］為

式中，上標T為轉置號；狀態轉移陣Ψp是穩定的；Kp為預報器增益；ε（t）為保守新息過程；Qε為保守新息過程方差；保守預報誤差方差陣Σ滿足Riccati方程

并且也滿足如下Lyapunov方程

注2［13］在保守Kalman預報器式（4）中，保守觀測y（t）是不可利用的，它由帶噪聲方差的保守上界Q和R的最壞保守系統式（1）和式（2）生成。只有實際觀測y（t）是可利用（已知）的，它由帶真實噪聲方差ˉQ和ˉR的真實系統式（1）和式（2）生成。在式（4）中，用實際觀測y（t）來代替保守觀測y（t）可得到實際Kalman預報器。

實際預報誤差x～（t＋1｜t）＝x（t＋1）－^x（t＋1｜t），這里x（t＋1）是實際狀態，^x（t＋1｜t）是帶實際觀測y（t）的實際Kalman預報器。式（1）減式（4）得

應用式（10）得實際預報誤差方差陣滿足Lyapunov方程

引理1［13］對于帶假設1和假設2的不確定系統式（1）和式（2），實際Kalman預報器式（4）是魯棒的，即對于所有容許的滿足式（3）的不確定噪聲方差ˉQ和ˉR，有

且Σ是ˉΣ的最小上界。實際Kalman預報器式（4）被稱之為魯棒Kalman預報器。

1.2 魯棒穩態白噪聲反卷積平滑器

對于帶噪聲方差保守上界Q和R的最壞情形保守系統式（1）和式（2），保守最優穩態白噪聲反卷積平滑器［7］為

由射影理論［16］可得

式中，ε（t）是由式（6）給出的保守新息過程；Qε是由式（7）給出的保守新息過程方差。

保守白噪聲平滑誤差方差陣為

根據文獻［7］，保守白噪聲平滑誤差方差陣Pw（N）同樣滿足

其中，定義

注3在保守白噪聲平滑器式（13）中，保守新息過程ε（t）是不可利用的，它由保守觀測y（t）和保守預報器^x（t｜t－1）生成。僅僅實際新息過程ε（t）是可利用（已知）的，它由實際觀測y（t）和實際Kalman預報器^x（t｜t－1）生成。在保守白噪聲平滑器式（13）中，用實際新息過程ε（t）來代替保守新息過程ε（t），可得實際白噪聲反卷積平滑器。

實際白噪聲平滑誤差為

根據文獻［7］，實際白噪聲平滑誤差~w（t｜t＋N）滿足

由于x～（t｜t－1）與w（t＋ρ）和v（t＋ρ）都是不相關的，故由式（22）得實際白噪聲平滑誤差方差陣滿足

定理1對于不確定系統式（1）和式（2），在假設1和假設2條件下，實際白噪聲平滑器式（13）是魯棒的，即對于所有容許的滿足式（3）的不確定實際噪聲方差ˉQ和ˉR，有

且Pw（N）是ˉPw（N）的最小上界。此外，對于任意的兩個正整數0＜N1＜N2，有

證明用式（17）減式（23）得

式中，定義ΔQ＝Q－ˉQ；ΔR＝R－ˉR。由式（12）可得Σ－ˉΣ≥0，應用式（3）得ΔQ≥0，ΔR≥0。因此，由式（26）得Pw（N）－ˉPw（N）≥0，即式（24）成立。取ˉQ＝Q，ˉR＝R則約束條件（3）滿足，比較式（9）和式（11），可得Σ＝ˉΣ。因此由式（26），可得Pw（N）＝ˉPw（N）。對任意的其他上界P*w（N），有Pw（N）＝ˉPw（N）≤P*w（N），因此Pw（N）是ˉPw（N）的最小上界。由式（16）有

由式（27）和Qε＞0引出式（25）成立。 證畢

稱式（13）給出的實際白噪聲反卷積平滑器為魯棒白噪聲反卷積平滑器。關系式（24）稱為魯棒白噪聲反卷積平滑器的魯棒性。

注4對式（24）取矩陣跡運算有

式中，tr表示矩陣的跡。由式（25）有

式中，tr Pw（N）為魯棒白噪聲反卷積平滑器的魯棒精度或全局精度；trˉPw（N）為魯棒白噪聲反卷積平滑器的實際精度［12］。這意味著具有較小的tr Pw（N）或trˉPw（N）的平滑器具有較高的魯棒或實際精度。

注5式（28）表明魯棒白噪聲反卷積平滑器的實際精度高于它的魯棒精度，魯棒精度是最低的（最壞的）實際精度。式（29）表明帶較大固定滯后平滑器的魯棒精度高于擁有較小固定滯后平滑器的魯棒精度。即隨著滯后步數N的增大，將提高魯棒白噪聲反卷積平滑器的魯棒精度。

注6對于帶不確定噪聲方差的系統，就作者所知，本文給出的魯棒白噪聲反卷積平滑器為首次提出。這將文獻［1］中給出的最優白噪聲反卷積平滑器拓展到了帶不確定噪聲方差的系統。

2 仿真例子

隨著滯后步數N的變化，表1給出了魯棒白噪聲反卷積平滑器的魯棒和實際精度比較。

表1 魯棒白噪聲反卷積平滑器的魯棒和實際精度比較

從表1可看出，無論滯后步數N在閉區間［1，9］內取何整數值，相應的魯棒白噪聲反卷積平滑器的實際精度都高于它的魯棒精度，這驗證了精度關系式（28）。此外，從表1還可看出，隨著滯后步數N的增大，魯棒白噪聲反卷積平滑器的魯棒精度在提高，這驗證了精度關系式（29），但是當N增大到一定值時，其魯棒精度趨于穩定值，這一點已在文獻［17］中證明。

反應魯棒白噪聲反卷積平滑器的實際精度和魯棒精度隨著N變化的一個仿真圖形如圖1所示，同樣驗證了精度關系式（28）和式（29）。此外，可明顯看出，魯棒白噪聲反卷積平滑器的魯棒精度與N之間是一個非線性關系。

為了給出矩陣精度關系式（24）和式（25）的幾何解釋，方差陣P的協方差橢圓定義為點的軌跡｛x∶xTP－1x＝c｝，這里，P是n×n的方差矩陣，x∈Rn且c是一個常數。不失一般性，通常選擇c＝1。在文獻［18］中已經證明，方差陣P1≤P2等價于P1的協方差橢圓被包含在P2的協方差橢圓中。以N＝1，2，3為例，圖2給出了魯棒穩態白噪聲反卷積平滑誤差方差陣的協方差橢圓。從圖2可看出，P－w（N）的協方差橢圓均被包含在它們的最小上界Pw（N）的協方差橢圓內，這驗證了魯棒性（24）。此外，從圖2還可看出，Pw（3）的協方差橢圓被包含在Pw（2）的協方差橢圓內，而Pw（2）的協方差橢圓被包含在Pw（1）的協方差橢圓內，這驗證了精度關系式（25）。

圖1 實際精度和魯棒精度隨著N的變化情況

圖2 魯棒白噪聲平滑誤差方差陣的協方差橢圓比較

魯棒白噪聲反卷積平滑器的第一個分量的值與實際白噪聲第一個分量的值之間的比較如圖3所示。在圖3中，直線端點的縱坐標值代表真實值，圓點的縱坐標值代表平滑估計。從圖3中同樣可看出，帶較大固定滯后的平滑器的精度高于帶較小固定滯后的平滑器的精度。

為了驗證上述理論精度關系，進行ρ＝500次蒙特卡羅仿真實驗。在時刻t時的均方誤差值（mean square error，MSE）定義為

式中，N＝1，2，3，w（j）（t）或^w（j）（t｜t＋N）表示w（t）或^w（t｜t＋N）的第j個實現。魯棒穩態白噪聲反卷積平滑器的MSE曲線如圖4所示，其中，直線代表相應的實際平滑誤差方差陣ˉPw（N）的跡，曲線代表MSE（N）（t）的值。根據采樣方差的一致性，有按概率收斂性

圖3 w1（t）和^w1（t｜t＋N）（N＝1，3）的關系曲線

圖4 魯棒穩態白噪聲反卷積平滑器的MSE曲線

從圖4可以看出，當ρ和t充分大時，MSE（N）（t）的值接近于相應的實際平滑誤差方差陣的跡值，這驗證了一致性關系式（31）。

圖5給出了N＝1，2，3時的累積平滑誤差平方曲線比較。從圖5可看出，帶較大固定滯后平滑器的精度高于帶較小固定滯后平滑器的精度，這與圖3給出的結果是一致的。

注7Bernoulli-Gaussian白噪聲可直觀上看成取非零值稀疏化的Gaussian白噪聲，它在石油地震勘探領域有重要的應用背景［1］。可用它來模擬油層反射系數序列，而估計反射系數序列，對尋找、發現油田和確定油田的幾何形狀有重要作用。在仿真實驗中針對Bernoulli-Gaussian白噪聲設計了魯棒反卷積平滑器，仿真結果顯示了其良好的性能。因而，本文提出的魯棒白噪聲反卷積平滑器可應用于石油地震勘探數據處理，具有重要實際意義。

圖5 累積平滑誤差平方曲線比較

3 結 論

對于噪聲方差不確定的線性離散時不變系統，根據極大極小魯棒估計原理，基于帶噪聲方差保守上界的最壞情形系統，提出了魯棒白噪聲反卷積平滑器。應用Lyapunov方程方法證明了它的魯棒性，并給出了魯棒精度關系。推廣到處理魯棒信息融合白噪聲反卷積問題正在研究中。

［1］Mendel J M.White noise estimators for seismic data processing in oil exploration［J］.IEEE Trans.on Automatic Control，1977，22（5）：694- 706.

［2］Mendel J M，Kormylo J.New fast optimal white-noise estimators for deconvolution［J］.IEEE Trans.on Geoscience Electronics，1977，15（1）：32- 41.

［3］Mendel J M.Optimal seismic deconvolution-an estimation-based approach［M］.New York：Academic Press，1983.

［4］Deng Z L，Zhang H S，Liu S J，et al.Optimal and self-tuning white noise estimators with approach to deconvolution and filtering problem［J］.Automatica，1996，32（2）：199- 216.

［5］Ahlen A，Sterned M.Optimal deconvolution based on polynomial method［J］.IEEE Trans.on Aconstics Speech and Signal Processing，1989，37（2）：217- 226.

［6］Sun S L.Multi-sensor information fusion white noise filter weighted by scalars based on Kalman predictor［J］.Automatica，2004，40（8）：1447- 1453.

［7］Sun X J，Gao Y，Deng Z L，et al.Multi-model information fusion Kalman filtering and white noise deconvolution［J］.Information Fusion，2010，11（2）：163- 173.

［8］Fu M，Souza C E，Luo Z Q.Finite-horizon robust Kalman filter design［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，2001，49（9）：2103- 2112

［9］Zhu X，Soh Y C，Xie L H.Design and analysis of discrete-time robust Kalman filters［J］.Automatica，2002，38（6）：1069- 1077.

［10］Ebihara Y，Hagivara T.A dilated LMI approach to robust performance analysis of linear time-invariant uncertain systems［J］.Automatica，2005，41（11）：1933- 1941.

［11］Chen Y L，Chen B S.Minimax robust deconvolution filters under stochastic parametric and noise uncertainties［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，1994，42（1）：32- 45.

［12］Qi W J，Zhang P，Deng Z L.Robust weighted fusion Kalman filters for multisensor time-varying systems with uncertain noise variances［J］.Signal Processing，2014（99）：185- 200.

［13］Qi W J，Zhang P，Nie G H，et al.Robust weighted fusion Kalman predictors with uncertain noise variances［J］.Digital Signal Processing，2014，30（1）：37- 54.

［14］Qi W J，Zhang P，Nie G H，et al.Robust weighted fusion time-varying Kalman smoothers for multisensor system with uncertain noise variances［J］.Information Sciences，2014（282）：15- 37.

［15］Kamen E W，Su J K.Introduction to optimal estimation［M］.London Berlin Heidelberg：Springer Verlag，1999.

［16］Kailath T，Sayed A H，Hassibi B.Linear estimation［M］.New Jersey：Prentice Hall，2000.

［17］Deng Z L.Optimal estimation theory with applications-modeling，filtering，and information fusion estimation［M］.Harbin：Harbin Institute of Technology Press，2005.（鄧自立.最優估計理論及其應用 建模、濾波、信息融合估計［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2005.）

［18］Deng Z L，Zhang P，Qi W J，et al.Sequential covariance intersection fusion Kalman filter［J］.Information Sciences，2012（189）：293- 309.

Robust steady-state white noise deconvolution smoother for uncertain systems

LIU Wen-qiang1，2，WANG Xue-mei1，DENG Zi-li1
（1.Electronic Engineering College，Heilongjiang University，Harbin 150080，China；2.Computer and Information Engineering College，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China）

For the linear discrete time-invariant stochastic system with uncertain noise variances，according to the minimax robust estimation principle，based on the worst-case conservative system with the conservative upper bounds of noise variances，applying Kalman filter and the optimal white noise estimation theory，a robust steady-state white noise deconvolution smoother is presented.Its actual smoothing error variances are guaranteed to have a minimal upper bound for all admissible uncertain noise variances.Its robustness and the robust accuracy relation are proved based on the Lyapunov equation approach.A simulation example is given to verify the correctness and effectiveness of the proposed results.

uncertain noise variances；white noise deconvolution；robustness；Lyapunov equation approach

O 211.64

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.05

劉文強（1980-），男，講師，博士研究生，主要研究方向為魯棒Kalman濾波、多傳感器信息融合。

E-mail：dengzili890＠163.com

王雪梅（1978-），女，講師，博士研究生，主要研究方向為魯棒Kalman濾波、多傳感器信息融合。

E-mail：dengzili889＠163.com

鄧自立（1938-- ），通訊作者，男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為信息融合、魯棒Kalman濾波、最優和自校正濾波、現代時間序列分析。

E-mail：dzl＠hlju.edu.cn

1001-506X（2015）12-2696-05

2014- 12- 30；

2015- 06- 04；網絡優先出版日期：2015- 08- 18。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150818.1519.008.html

國家自然科學基金（60874063，60374026）資助課題