有效促進學生理解掌握數學思想方法例談

黃美建

數學思想是數學的靈魂。日本著名數學家米山國藏曾經說過：在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益。這說明數學思想方法對人的發展起奠基作用。課程標準明確提出：“要使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗?！蹦敲矗绾斡行Т龠M學生理解和掌握數學思想和方法呢？

一、在教學設計時，有意識地挖掘數學思想方法

老師在使用教材時，要認真分析教材。不但要分析知識之間的邏輯關系、教材的編排體系，還要理清教材中隱性的數學思想方法，明確每一章節中隱含的數學思想方法，每一種數學思想方法在小學數學教材中的分布情況。這樣，教師在教學設計時就能高屋建瓴，有效地挖掘數學思想方法。如教學《園的面積》，在備課時，教師要有意識地挖掘圓的面積公式中蘊含的數學思想——整體思想。在S=πr2中，知道了哪一個條件就能求出圓的面積？大部分學生自然而然地會想到知道r就能求出面積，成績較好的學生會想到知道直徑、周長就能求出半徑，然后可以求出面積。很少有學生會想到知道半徑的平方也可以求出圓的面積。如果教學到此為止，就會失去滲透數學思想、有效落實數學思想的契機。在圓的面積公式S=πr2中，π是一個固定不變的常數，如果知道r2，也能求出圓的面積，這實際上是數學上的整體思想。整體思想并非在圓的面積公式中第一次出現，在三角形的面積公式中已經出現過。S=ah÷2中，知道ah的積也可以求出三角形的面積。如，在面積是10平方分米的平行四邊形中畫一個最大的三角形，三角形的面積是（ ）平方分米。因此在教學設計時要深刻領悟每一種數學思想在小學數學教材中的分布情況，做到心中有數，才能落實有效。

二、在探究新知時，有意識地引導學生發現數學思想方法

在學習過程中，教師要善于引導學生積極主動地經歷知識的形成過程，結合具體的情境，引導學生發現問題、提出問題，探究解決問題的策略，讓學生在觀察、實驗、分析、歸納、抽象、概括的過程中，發現潛藏其中的思想方法，自覺地理清解題思路。同時，教師要有意識地加以指導，提煉蘊含其中的數學思想方法，實現知識的正遷移。如對應思想在“找規律”（植樹問題）中的運用，教師先出示嘗試題：有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放幾盆花？（1）操作——先讓學生自主探索，學生通過畫圖和數數得出“8盆”，滲透數形結合思想。（2）探索——如果有500棵樹排成一行，還這樣擺，一共要放幾盆花？設置懸念，尋找規律。學生可能會用以下方法解答：A.化歸法。數字較大時從簡單的數字想起，用不完全歸納法得出：兩頭都不放花，花的盆數比樹的棵數少1棵，所以有499盆花。B.對應法。 ■

一棵樹對應一盆花，最后一棵樹沒有花對應，所以花的盆數比樹的棵數少1，花的盆數算式是500-1=499。這時學生得到的是個體的探索經驗，是零散的經驗，沒有上升到基本的數學思想。（3）領悟提升——剛才我們是怎么解決500棵樹中擺了幾盆花的？A.采用復雜問題簡單化，也就是化歸法解決的。B.對應法?？赡軐W生說不出具體的方法名稱，這時教師要明示，適當強化數學思想。（4）應用提高——有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共要放幾盆花？變式深化：有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放幾盆花？教師不斷地進行變式訓練，但萬變不離其宗——對應思想。學生依據表象，靈活地運用這一思想方法，舉一反三，體驗它的價值。在不斷的運用中，“對應”思想逐步“植入”學生的頭腦，最終內化為學生的數學素養。這樣建立的對應思想真實、扎實，學生感受真切，印象深刻。

三、在解決問題時，有意識地引導學生運用數學思想方法

要將已學的數學思想方法轉化為自己頭腦中穩定的認知結構，應用是實現目標的有效途徑。只有在循環反復中應用，數學思想才能在不斷的歸屬同化中深化，思維能力才能得以發展。所以，教師在教學中要鼓勵學生運用已學的數學思想方法去發現、分析和解決生活中的實際問題，引導學生加以抽象、概括，建立數學模型，探求解決問題的一般方法。如化歸思想的應用：化歸思想是把一個實際問題通過某種轉化，歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個較簡單的問題或者把一個新問題轉化為一個舊問題。例如：一項工程，甲、乙兩隊合作要60天完成，現在由甲隊先單獨做80天，乙隊接著再做20天，正好完成任務。甲隊單獨完成這項工程要幾天？如果用常規思路，就會覺得此題很難，不知從何下手。如果通過化歸，把條件“甲隊先單獨做80天，乙隊接著再做20天”轉化成“甲、乙兩隊再合作20天，甲隊再單獨做60天正好完成任務”，很容易求出合作20天的工作量是■，把總的工作量減去合作20天的工作量，就得到甲隊60天的工作量是1-■=■。甲隊一天完成■÷60=■，甲單獨做的時間是1÷■=90天。通過這樣的轉化達到化難為易、化繁為簡的效果。又如類比思想的應用：類比思想方法就是通過對條件和問題的相同點、不同點的對比，全面而深刻地認識問題的本質。小學數學習題中，可以對題中的條件或問題進行比較，找出它們之間存在的差異，分析存在差異的原因，從而找到解決問題的方法。下圖中BC=1.5AB，乙的面積是30平方厘米，甲的面積是（ ）平方厘米。

如果用常規思路，就會覺得此題缺少條件，無法解答。仔細分析比較，甲三角形和乙三角形有共同之處——它們的高相等，不同之處是底不同。運用類比思想，高相同的兩個三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面積就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面積是30÷1.5=20平方厘米。當學生解決了這道題目后，教師不能到此為止，要及時引導學生反思：這道題我們是用什么方法解決的？——比較法。適時明示并強化數學思想，讓隱形的數學思想顯性化，促使數學思想植根于學生的大腦中。

四、在總結反思時，有意識地引導學生領悟數學思想方法

在總結反思某一思想方法的時候，教師要有意識地引導學生自覺地反思自己的思維過程，使獲得的數學思想方法更明晰、更深刻，讓學生反思自己是怎樣發現問題、分析解決問題的。在這一思維過程中，又是怎樣應用數學思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，積累了哪些有益的成功經驗，怎樣去拓展和延伸的。只有這樣的反思，才能使學生的思維得到良好的培養與發展，才能使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質和內在規律，逐步體會數學思想方法的精神實質，提高學生自覺的應用意識。

要有效促進小學生理解掌握數學思想方法，先要滲透感悟，當學生積累了一定量的數學思想方法后，教師要有意識地明示，經常引導學生事后反思：“我是通過什么方法、手段解決這個問題的？”通過滲透、感悟、明示、反思，學生頭腦中建立的數學思想方法是現實的、真實的，印象是深刻的。數學思想方法在學生頭腦中的建立要經歷一個循環往復、螺旋上升的過程，有時往往是幾種思想方法交織在一起，教師在教學過程中要依據具體情況，有主有次，在某一段時間內重點滲透一兩種數學思想方法，這樣效果會好得多。

（責編 羅 艷）endprint

數學思想是數學的靈魂。日本著名數學家米山國藏曾經說過：在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益。這說明數學思想方法對人的發展起奠基作用。課程標準明確提出：“要使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗?！蹦敲?，如何有效促進學生理解和掌握數學思想和方法呢？

一、在教學設計時，有意識地挖掘數學思想方法

老師在使用教材時，要認真分析教材。不但要分析知識之間的邏輯關系、教材的編排體系，還要理清教材中隱性的數學思想方法，明確每一章節中隱含的數學思想方法，每一種數學思想方法在小學數學教材中的分布情況。這樣，教師在教學設計時就能高屋建瓴，有效地挖掘數學思想方法。如教學《園的面積》，在備課時，教師要有意識地挖掘圓的面積公式中蘊含的數學思想——整體思想。在S=πr2中，知道了哪一個條件就能求出圓的面積？大部分學生自然而然地會想到知道r就能求出面積，成績較好的學生會想到知道直徑、周長就能求出半徑，然后可以求出面積。很少有學生會想到知道半徑的平方也可以求出圓的面積。如果教學到此為止，就會失去滲透數學思想、有效落實數學思想的契機。在圓的面積公式S=πr2中，π是一個固定不變的常數，如果知道r2，也能求出圓的面積，這實際上是數學上的整體思想。整體思想并非在圓的面積公式中第一次出現，在三角形的面積公式中已經出現過。S=ah÷2中，知道ah的積也可以求出三角形的面積。如，在面積是10平方分米的平行四邊形中畫一個最大的三角形，三角形的面積是（ ）平方分米。因此在教學設計時要深刻領悟每一種數學思想在小學數學教材中的分布情況，做到心中有數，才能落實有效。

二、在探究新知時，有意識地引導學生發現數學思想方法

在學習過程中，教師要善于引導學生積極主動地經歷知識的形成過程，結合具體的情境，引導學生發現問題、提出問題，探究解決問題的策略，讓學生在觀察、實驗、分析、歸納、抽象、概括的過程中，發現潛藏其中的思想方法，自覺地理清解題思路。同時，教師要有意識地加以指導，提煉蘊含其中的數學思想方法，實現知識的正遷移。如對應思想在“找規律”（植樹問題）中的運用，教師先出示嘗試題：有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放幾盆花？（1）操作——先讓學生自主探索，學生通過畫圖和數數得出“8盆”，滲透數形結合思想。（2）探索——如果有500棵樹排成一行，還這樣擺，一共要放幾盆花？設置懸念，尋找規律。學生可能會用以下方法解答：A.化歸法。數字較大時從簡單的數字想起，用不完全歸納法得出：兩頭都不放花，花的盆數比樹的棵數少1棵，所以有499盆花。B.對應法。 ■

一棵樹對應一盆花，最后一棵樹沒有花對應，所以花的盆數比樹的棵數少1，花的盆數算式是500-1=499。這時學生得到的是個體的探索經驗，是零散的經驗，沒有上升到基本的數學思想。（3）領悟提升——剛才我們是怎么解決500棵樹中擺了幾盆花的？A.采用復雜問題簡單化，也就是化歸法解決的。B.對應法?？赡軐W生說不出具體的方法名稱，這時教師要明示，適當強化數學思想。（4）應用提高——有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共要放幾盆花？變式深化：有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放幾盆花？教師不斷地進行變式訓練，但萬變不離其宗——對應思想。學生依據表象，靈活地運用這一思想方法，舉一反三，體驗它的價值。在不斷的運用中，“對應”思想逐步“植入”學生的頭腦，最終內化為學生的數學素養。這樣建立的對應思想真實、扎實，學生感受真切，印象深刻。

三、在解決問題時，有意識地引導學生運用數學思想方法

要將已學的數學思想方法轉化為自己頭腦中穩定的認知結構，應用是實現目標的有效途徑。只有在循環反復中應用，數學思想才能在不斷的歸屬同化中深化，思維能力才能得以發展。所以，教師在教學中要鼓勵學生運用已學的數學思想方法去發現、分析和解決生活中的實際問題，引導學生加以抽象、概括，建立數學模型，探求解決問題的一般方法。如化歸思想的應用：化歸思想是把一個實際問題通過某種轉化，歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個較簡單的問題或者把一個新問題轉化為一個舊問題。例如：一項工程，甲、乙兩隊合作要60天完成，現在由甲隊先單獨做80天，乙隊接著再做20天，正好完成任務。甲隊單獨完成這項工程要幾天？如果用常規思路，就會覺得此題很難，不知從何下手。如果通過化歸，把條件“甲隊先單獨做80天，乙隊接著再做20天”轉化成“甲、乙兩隊再合作20天，甲隊再單獨做60天正好完成任務”，很容易求出合作20天的工作量是■，把總的工作量減去合作20天的工作量，就得到甲隊60天的工作量是1-■=■。甲隊一天完成■÷60=■，甲單獨做的時間是1÷■=90天。通過這樣的轉化達到化難為易、化繁為簡的效果。又如類比思想的應用：類比思想方法就是通過對條件和問題的相同點、不同點的對比，全面而深刻地認識問題的本質。小學數學習題中，可以對題中的條件或問題進行比較，找出它們之間存在的差異，分析存在差異的原因，從而找到解決問題的方法。下圖中BC=1.5AB，乙的面積是30平方厘米，甲的面積是（ ）平方厘米。

如果用常規思路，就會覺得此題缺少條件，無法解答。仔細分析比較，甲三角形和乙三角形有共同之處——它們的高相等，不同之處是底不同。運用類比思想，高相同的兩個三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面積就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面積是30÷1.5=20平方厘米。當學生解決了這道題目后，教師不能到此為止，要及時引導學生反思：這道題我們是用什么方法解決的？——比較法。適時明示并強化數學思想，讓隱形的數學思想顯性化，促使數學思想植根于學生的大腦中。

四、在總結反思時，有意識地引導學生領悟數學思想方法

在總結反思某一思想方法的時候，教師要有意識地引導學生自覺地反思自己的思維過程，使獲得的數學思想方法更明晰、更深刻，讓學生反思自己是怎樣發現問題、分析解決問題的。在這一思維過程中，又是怎樣應用數學思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，積累了哪些有益的成功經驗，怎樣去拓展和延伸的。只有這樣的反思，才能使學生的思維得到良好的培養與發展，才能使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質和內在規律，逐步體會數學思想方法的精神實質，提高學生自覺的應用意識。

要有效促進小學生理解掌握數學思想方法，先要滲透感悟，當學生積累了一定量的數學思想方法后，教師要有意識地明示，經常引導學生事后反思：“我是通過什么方法、手段解決這個問題的？”通過滲透、感悟、明示、反思，學生頭腦中建立的數學思想方法是現實的、真實的，印象是深刻的。數學思想方法在學生頭腦中的建立要經歷一個循環往復、螺旋上升的過程，有時往往是幾種思想方法交織在一起，教師在教學過程中要依據具體情況，有主有次，在某一段時間內重點滲透一兩種數學思想方法，這樣效果會好得多。

（責編 羅 艷）endprint

數學思想是數學的靈魂。日本著名數學家米山國藏曾經說過：在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益。這說明數學思想方法對人的發展起奠基作用。課程標準明確提出：“要使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗?！蹦敲?，如何有效促進學生理解和掌握數學思想和方法呢？

一、在教學設計時，有意識地挖掘數學思想方法

老師在使用教材時，要認真分析教材。不但要分析知識之間的邏輯關系、教材的編排體系，還要理清教材中隱性的數學思想方法，明確每一章節中隱含的數學思想方法，每一種數學思想方法在小學數學教材中的分布情況。這樣，教師在教學設計時就能高屋建瓴，有效地挖掘數學思想方法。如教學《園的面積》，在備課時，教師要有意識地挖掘圓的面積公式中蘊含的數學思想——整體思想。在S=πr2中，知道了哪一個條件就能求出圓的面積？大部分學生自然而然地會想到知道r就能求出面積，成績較好的學生會想到知道直徑、周長就能求出半徑，然后可以求出面積。很少有學生會想到知道半徑的平方也可以求出圓的面積。如果教學到此為止，就會失去滲透數學思想、有效落實數學思想的契機。在圓的面積公式S=πr2中，π是一個固定不變的常數，如果知道r2，也能求出圓的面積，這實際上是數學上的整體思想。整體思想并非在圓的面積公式中第一次出現，在三角形的面積公式中已經出現過。S=ah÷2中，知道ah的積也可以求出三角形的面積。如，在面積是10平方分米的平行四邊形中畫一個最大的三角形，三角形的面積是（ ）平方分米。因此在教學設計時要深刻領悟每一種數學思想在小學數學教材中的分布情況，做到心中有數，才能落實有效。

二、在探究新知時，有意識地引導學生發現數學思想方法

在學習過程中，教師要善于引導學生積極主動地經歷知識的形成過程，結合具體的情境，引導學生發現問題、提出問題，探究解決問題的策略，讓學生在觀察、實驗、分析、歸納、抽象、概括的過程中，發現潛藏其中的思想方法，自覺地理清解題思路。同時，教師要有意識地加以指導，提煉蘊含其中的數學思想方法，實現知識的正遷移。如對應思想在“找規律”（植樹問題）中的運用，教師先出示嘗試題：有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放幾盆花？（1）操作——先讓學生自主探索，學生通過畫圖和數數得出“8盆”，滲透數形結合思想。（2）探索——如果有500棵樹排成一行，還這樣擺，一共要放幾盆花？設置懸念，尋找規律。學生可能會用以下方法解答：A.化歸法。數字較大時從簡單的數字想起，用不完全歸納法得出：兩頭都不放花，花的盆數比樹的棵數少1棵，所以有499盆花。B.對應法。 ■

一棵樹對應一盆花，最后一棵樹沒有花對應，所以花的盆數比樹的棵數少1，花的盆數算式是500-1=499。這時學生得到的是個體的探索經驗，是零散的經驗，沒有上升到基本的數學思想。（3）領悟提升——剛才我們是怎么解決500棵樹中擺了幾盆花的？A.采用復雜問題簡單化，也就是化歸法解決的。B.對應法?？赡軐W生說不出具體的方法名稱，這時教師要明示，適當強化數學思想。（4）應用提高——有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共要放幾盆花？變式深化：有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放幾盆花？教師不斷地進行變式訓練，但萬變不離其宗——對應思想。學生依據表象，靈活地運用這一思想方法，舉一反三，體驗它的價值。在不斷的運用中，“對應”思想逐步“植入”學生的頭腦，最終內化為學生的數學素養。這樣建立的對應思想真實、扎實，學生感受真切，印象深刻。

三、在解決問題時，有意識地引導學生運用數學思想方法

要將已學的數學思想方法轉化為自己頭腦中穩定的認知結構，應用是實現目標的有效途徑。只有在循環反復中應用，數學思想才能在不斷的歸屬同化中深化，思維能力才能得以發展。所以，教師在教學中要鼓勵學生運用已學的數學思想方法去發現、分析和解決生活中的實際問題，引導學生加以抽象、概括，建立數學模型，探求解決問題的一般方法。如化歸思想的應用：化歸思想是把一個實際問題通過某種轉化，歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個較簡單的問題或者把一個新問題轉化為一個舊問題。例如：一項工程，甲、乙兩隊合作要60天完成，現在由甲隊先單獨做80天，乙隊接著再做20天，正好完成任務。甲隊單獨完成這項工程要幾天？如果用常規思路，就會覺得此題很難，不知從何下手。如果通過化歸，把條件“甲隊先單獨做80天，乙隊接著再做20天”轉化成“甲、乙兩隊再合作20天，甲隊再單獨做60天正好完成任務”，很容易求出合作20天的工作量是■，把總的工作量減去合作20天的工作量，就得到甲隊60天的工作量是1-■=■。甲隊一天完成■÷60=■，甲單獨做的時間是1÷■=90天。通過這樣的轉化達到化難為易、化繁為簡的效果。又如類比思想的應用：類比思想方法就是通過對條件和問題的相同點、不同點的對比，全面而深刻地認識問題的本質。小學數學習題中，可以對題中的條件或問題進行比較，找出它們之間存在的差異，分析存在差異的原因，從而找到解決問題的方法。下圖中BC=1.5AB，乙的面積是30平方厘米，甲的面積是（ ）平方厘米。

如果用常規思路，就會覺得此題缺少條件，無法解答。仔細分析比較，甲三角形和乙三角形有共同之處——它們的高相等，不同之處是底不同。運用類比思想，高相同的兩個三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面積就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面積是30÷1.5=20平方厘米。當學生解決了這道題目后，教師不能到此為止，要及時引導學生反思：這道題我們是用什么方法解決的？——比較法。適時明示并強化數學思想，讓隱形的數學思想顯性化，促使數學思想植根于學生的大腦中。

四、在總結反思時，有意識地引導學生領悟數學思想方法

在總結反思某一思想方法的時候，教師要有意識地引導學生自覺地反思自己的思維過程，使獲得的數學思想方法更明晰、更深刻，讓學生反思自己是怎樣發現問題、分析解決問題的。在這一思維過程中，又是怎樣應用數學思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，積累了哪些有益的成功經驗，怎樣去拓展和延伸的。只有這樣的反思，才能使學生的思維得到良好的培養與發展，才能使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質和內在規律，逐步體會數學思想方法的精神實質，提高學生自覺的應用意識。

要有效促進小學生理解掌握數學思想方法，先要滲透感悟，當學生積累了一定量的數學思想方法后，教師要有意識地明示，經常引導學生事后反思：“我是通過什么方法、手段解決這個問題的？”通過滲透、感悟、明示、反思，學生頭腦中建立的數學思想方法是現實的、真實的，印象是深刻的。數學思想方法在學生頭腦中的建立要經歷一個循環往復、螺旋上升的過程，有時往往是幾種思想方法交織在一起，教師在教學過程中要依據具體情況，有主有次，在某一段時間內重點滲透一兩種數學思想方法，這樣效果會好得多。

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