活用學習材料 培養數學思維

王利

“數學是思維的體操”，而要讓數學課堂最大限度地開發學生的思維，筆者以為很大程度上取決于學習材料的合理選擇與有效使用。我們選用的學習材料，要有利于學生主動地進行思維、猜測、探索、驗證和推理等數學活動，讓學生經歷觀察、分類、統計、抽象、概括等數學思維環節，發現數學問題，真正體驗“數學地思維”。以下是本人在實際教學中，從研究不同類型的學習材料入手，提升學生數學地思維的一些做法。

一、活用實物圖片類的學習材料，培養兒童直觀性的數學思維

剛進入小學的兒童對數已有一定的基礎，兒童在這一階段能理解加法，但這并不表示必須通過一定的訓練讓學生鞏固加法計算的方法，并一直到能快速說出得數為止。最應該做的是要想辦法讓孩子保持主動探索的精神，在數學啟蒙的課堂上，不應只重視結果，而忽略了計算結果如何獲得的過程。

如：在第一冊教學加法“3+2”時，老師可以事先準備好有數量“3”和“2”的兩部分東西，或者提供相應的圖片，也可以讓孩子自己事先準備，給他們足夠多的時間，足夠豐富的學習材料，充分思考“3+2”如何得到“5”。

對于這些學習材料的運用，可以不僅僅停留在看的基礎上，還可以進一步發展為擺擺、移移、甚至畫畫。或者有的孩子會先記得數量3，然后接著往下數2個。這些方法其實都是一種直觀地思維，是數學學習里經常會用到稱之為“構造事實”的過程，也就是直觀形象地思維。但是更多的時候，老師采用的是提取事實，即“提取記憶”的方法來進行的，結果直接憑記憶獲得。這樣兒童在學習加法的課堂上，由于沒有足夠的形象支撐，或是實物演示，或是憑借手指，對加法的意義、符號的理解就不會深刻，長此以往不利于學生數學思維的培養和提升。

二、活用游戲活動類的學習材料，讓兒童充分感受抽象性的數學思維

對于剛入學的兒童來說，其思維具有從具體到抽象的過程。老師在面對教學一些較為簡單的知識點時，要學會對教材進行更深地挖掘拓展。同時可以通過有趣的游戲活動設計讓兒童在不知不覺中，充分感受數學的抽象思維。

例如，在第一冊教學“10的認識”時，其實一些知識點，如10以內數的順序及大小、10的基數和序數意義、讀寫10，對孩子們來說難度并不大，挑戰性不高。對此我進行了如下的設計：

課堂開始，我讓孩子相互匯報了事先搜集的關于10的一些資料，經過一番交流后，讓孩子們感受到數學就在身邊，和孩子們情感交融。緊接著：

師：同學們，老師這里有一把神奇的尺子，想不想看呢？

生：想！

師：好，看仔細哦，變變變，尺子沒有了，變成了什么呢？（展示課件）

生：是箭頭。老師，我還發現這個箭頭上的數是從小到大排起來的，空格里應該填4、8、9、10。

師：你觀察得真仔細，我們一起來填一填空格中的數。

■

師：讓我們從10開始往左倒著數一數。10、9、8……你有什么發現嗎？

生：越往左數越小了。

師：是呀，從左往右看，數越來越大；反方向，從右往左看，數變得越來越小了。

那這個10>（ ）；反之，10<（ ）。

（生答略）

將孩子手中的普通尺子抽象為數軸，讓孩子在數軸中初步體會越往右數字越大，越往左數字越小的特點。同樣，在教學10的組成這一環節時，可以借助小紅花進行分一分，但是孩子的匯報一定是零亂的。這時老師就要引導孩子，每次往一邊多移一朵，就不會遺漏且有順序地將分法思考完畢。然后再讓孩子通過抽象記憶，熟記10的分法。

“挖掘教材”，不是把知識加深加難，而是讓學生對知識的理解加深，使學生對數學的思維活動加深。對這個年齡段的孩子來說，數學抽象性的過程是一個逐步要滲透的過程，對他們來說也是富有挑戰性的過程。對兒童抽象性數學思維中的一些有序思維、完整思維等品質培養，都要在一定的環節中設計出來，盡量達到“潤物細無聲”的效果。

三、活用問題類學習材料，引導兒童對數學問題研究從現象到本質的“數學地思維”

在孩子入小學前，學前測試里一般會有類似這樣的考題：有兩杯一樣多的水，現將其中一杯水倒在一個更長的杯子里，請問現在哪杯水多？這道題在大孩子眼里也許覺得非常簡單，但是對一個學前兒童，由于他對問題的思考往往受表象干擾，對問題實質的思考能力弱，所以他往往會以直觀的結果作為判斷結果，同時“哪杯多”的提問也會讓他產生一定是其中某一杯多的思維定式。

又如，在第四冊第六單元《千克和克》的教學中，有這樣一個問題：讓孩子們判斷1千克的鐵和1千克的棉花，誰重？看似非常簡單的數學問題，可孩子們的錯誤率卻非常高。在問題開始時，大部分孩子會認為鐵重。這樣的錯誤也說明孩子在考慮問題時，是非常膚淺的，會受一些與問題無關的因素干擾。

我認為在數學啟蒙課堂里，要引導孩子去除問題表象的東西，真正培養孩子能透過現象看本質的數學性思維。

四、活用習題類學習材料，幫助學生獲得多元性“數學地思維”

1.通過主題圖培養善于發現和提問的數學思維

發現問題和提出問題也是一種數學思維活動，它要求學生嘗試在面對不同的現象（包括數學的和非數學的）時“從數學的角度提出問題”，換言之，初步具有一種數學的眼光，能夠識別存在于數學現象或者日常的、非數學的現象與問題中的數學問題或者數學關系，并將他們提出來，這是重要的數學思維過程。

如：第六冊《解決問題》中，教學乘法兩步計算解決問題時，可以設計這樣三個練習：

■

（1）一個方陣有多少人？ （2）三個方陣一行有多少人？（3）三個方陣共有多少人？這些不同的數學問題的提出，可以讓學生經歷數學關系提煉的過程，可以培養學生的思維。

2.構建解題模型，培養學生模型化的數學思維endprint

在以往的教學中，我們時常能聽到家長這樣說：“我的孩子只要遇到稍有變化的題，就無從下手，一點辦法也沒有。”我們也時常能從同事那里聽到諸如“這個孩子什么時候才能開竅”的話，這個“開竅”過程真的那么難嗎？其實深究原因，完全是孩子還沒有真正掌握這些不同類型題的基本模型所至。如果學會構建解題模型，就能很好地幫助學生提高解題水平。

如教學第八冊《數學廣角》的“植樹問題”時，我們在學生初步得出三種植樹方案（兩頭都種、只種一端、兩端都不種）的最基本的模型后，老師可以引導學生進行題組變式訓練，目的就是要鞏固三種類型題的解題策略。

（1）同學們在全長100米的小路兩旁植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？

（2）同學們沿著直跑道一側植樹，每隔5米種一棵，一共種了21棵。從第1棵到最后一棵的距離有多遠？

（3）同學們在教學樓和科技樓兩樓之間全長100米的小路一旁植樹，兩頭都不栽共栽了19棵（每兩棵樹之間距離相等），每兩棵樹之間距離幾米？

解題前可以和學生一起探討三題分別屬于哪種模型，引導學生說一說從哪些字眼可以分析出來，可以通過紅色字體凸顯。后又通過題組對比，去發現每道題是否都可以直接運用模型中的數量關系進行解決，從而又對模型中的數量關系進行完善，即可以求總長和棵距。緊接著通過三題之間存在的共同點，即得到全長相同、棵距相同這兩個關鍵元素，讓學生真正理解植樹問題每種模型的內在聯系與區別。那么，學生以后碰到相關聯的數學問題時，自然就會進行構建聯系，從而順利解題，提高數學解題思維水平。

3.在問題解決中體驗解決問題策略的多樣性，發展創新的數學思維

《數學標準》提出：“要鼓勵學生解決問題策略的多樣化，不同的學生有不同的思維方式、不同的興趣愛好以及不同的發展潛能。”在問題解決的教學中，我們要鼓勵學生選擇多樣化的思維方式來解決問題。

例如，在《小學數學整體實驗教材》第六冊學習完長方形和正方形的面積后有這樣一道思考題：一個正方形花壇（如右下圖所示），四周是用小石子鋪成的小路，計算小路的面積。想一想有幾種計算方法？

生1：最簡單的思考就是用大正方形的面積減去小正方形的面積，即8×8-6×6=28（平方米）。

生2：我把小路分成4塊長方形，它的長和寬分別是8米和1米，4塊面積和是8×1×4=32（平方米），然后再算出4個角上的面積1×1×4=4（平方米），最后用32減去4，就算出了小路的面積也是28平方米。

生3：我把小路分成了4塊長方形和4個小正方形，它們的面積和是：6×1×4+1×1×4=28（平方米）。

生4：我會梯形面積的計算，所以我是把小路分成了4個梯形，所以小路的面積是：（6+8）×1÷2×4=28（平方米）。

……

學生的能力是不容低估的，這道題解決問題的難度不大，主要是要訓練學生策略選擇的多樣化，充分挖掘學生創造性的解題思維水平。

“數學地思維”內涵非常廣泛，數學課堂對“數學地思維”培養可謂任重道遠。當代科學證明人類的潛在能力是巨大的，在正常情況下工作的人，一般只使用了其思維能力的很小一部分。同樣的，我們對于學生“數學地思維”的開發和引領也僅僅是一個開始，有待于進一步深入地研究，不斷補充和獲得新的認識。

（責編 羅 艷）endprint

在以往的教學中，我們時常能聽到家長這樣說：“我的孩子只要遇到稍有變化的題，就無從下手，一點辦法也沒有。”我們也時常能從同事那里聽到諸如“這個孩子什么時候才能開竅”的話，這個“開竅”過程真的那么難嗎？其實深究原因，完全是孩子還沒有真正掌握這些不同類型題的基本模型所至。如果學會構建解題模型，就能很好地幫助學生提高解題水平。

如教學第八冊《數學廣角》的“植樹問題”時，我們在學生初步得出三種植樹方案（兩頭都種、只種一端、兩端都不種）的最基本的模型后，老師可以引導學生進行題組變式訓練，目的就是要鞏固三種類型題的解題策略。

（1）同學們在全長100米的小路兩旁植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？

（2）同學們沿著直跑道一側植樹，每隔5米種一棵，一共種了21棵。從第1棵到最后一棵的距離有多遠？

（3）同學們在教學樓和科技樓兩樓之間全長100米的小路一旁植樹，兩頭都不栽共栽了19棵（每兩棵樹之間距離相等），每兩棵樹之間距離幾米？

解題前可以和學生一起探討三題分別屬于哪種模型，引導學生說一說從哪些字眼可以分析出來，可以通過紅色字體凸顯。后又通過題組對比，去發現每道題是否都可以直接運用模型中的數量關系進行解決，從而又對模型中的數量關系進行完善，即可以求總長和棵距。緊接著通過三題之間存在的共同點，即得到全長相同、棵距相同這兩個關鍵元素，讓學生真正理解植樹問題每種模型的內在聯系與區別。那么，學生以后碰到相關聯的數學問題時，自然就會進行構建聯系，從而順利解題，提高數學解題思維水平。

3.在問題解決中體驗解決問題策略的多樣性，發展創新的數學思維

《數學標準》提出：“要鼓勵學生解決問題策略的多樣化，不同的學生有不同的思維方式、不同的興趣愛好以及不同的發展潛能。”在問題解決的教學中，我們要鼓勵學生選擇多樣化的思維方式來解決問題。

例如，在《小學數學整體實驗教材》第六冊學習完長方形和正方形的面積后有這樣一道思考題：一個正方形花壇（如右下圖所示），四周是用小石子鋪成的小路，計算小路的面積。想一想有幾種計算方法？

生1：最簡單的思考就是用大正方形的面積減去小正方形的面積，即8×8-6×6=28（平方米）。

生2：我把小路分成4塊長方形，它的長和寬分別是8米和1米，4塊面積和是8×1×4=32（平方米），然后再算出4個角上的面積1×1×4=4（平方米），最后用32減去4，就算出了小路的面積也是28平方米。

生3：我把小路分成了4塊長方形和4個小正方形，它們的面積和是：6×1×4+1×1×4=28（平方米）。

生4：我會梯形面積的計算，所以我是把小路分成了4個梯形，所以小路的面積是：（6+8）×1÷2×4=28（平方米）。

……

學生的能力是不容低估的，這道題解決問題的難度不大，主要是要訓練學生策略選擇的多樣化，充分挖掘學生創造性的解題思維水平。

“數學地思維”內涵非常廣泛，數學課堂對“數學地思維”培養可謂任重道遠。當代科學證明人類的潛在能力是巨大的，在正常情況下工作的人，一般只使用了其思維能力的很小一部分。同樣的，我們對于學生“數學地思維”的開發和引領也僅僅是一個開始，有待于進一步深入地研究，不斷補充和獲得新的認識。

（責編 羅 艷）endprint

在以往的教學中，我們時常能聽到家長這樣說：“我的孩子只要遇到稍有變化的題，就無從下手，一點辦法也沒有。”我們也時常能從同事那里聽到諸如“這個孩子什么時候才能開竅”的話，這個“開竅”過程真的那么難嗎？其實深究原因，完全是孩子還沒有真正掌握這些不同類型題的基本模型所至。如果學會構建解題模型，就能很好地幫助學生提高解題水平。

如教學第八冊《數學廣角》的“植樹問題”時，我們在學生初步得出三種植樹方案（兩頭都種、只種一端、兩端都不種）的最基本的模型后，老師可以引導學生進行題組變式訓練，目的就是要鞏固三種類型題的解題策略。

（1）同學們在全長100米的小路兩旁植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？

（2）同學們沿著直跑道一側植樹，每隔5米種一棵，一共種了21棵。從第1棵到最后一棵的距離有多遠？

（3）同學們在教學樓和科技樓兩樓之間全長100米的小路一旁植樹，兩頭都不栽共栽了19棵（每兩棵樹之間距離相等），每兩棵樹之間距離幾米？

解題前可以和學生一起探討三題分別屬于哪種模型，引導學生說一說從哪些字眼可以分析出來，可以通過紅色字體凸顯。后又通過題組對比，去發現每道題是否都可以直接運用模型中的數量關系進行解決，從而又對模型中的數量關系進行完善，即可以求總長和棵距。緊接著通過三題之間存在的共同點，即得到全長相同、棵距相同這兩個關鍵元素，讓學生真正理解植樹問題每種模型的內在聯系與區別。那么，學生以后碰到相關聯的數學問題時，自然就會進行構建聯系，從而順利解題，提高數學解題思維水平。

3.在問題解決中體驗解決問題策略的多樣性，發展創新的數學思維

《數學標準》提出：“要鼓勵學生解決問題策略的多樣化，不同的學生有不同的思維方式、不同的興趣愛好以及不同的發展潛能。”在問題解決的教學中，我們要鼓勵學生選擇多樣化的思維方式來解決問題。

例如，在《小學數學整體實驗教材》第六冊學習完長方形和正方形的面積后有這樣一道思考題：一個正方形花壇（如右下圖所示），四周是用小石子鋪成的小路，計算小路的面積。想一想有幾種計算方法？

生1：最簡單的思考就是用大正方形的面積減去小正方形的面積，即8×8-6×6=28（平方米）。

生2：我把小路分成4塊長方形，它的長和寬分別是8米和1米，4塊面積和是8×1×4=32（平方米），然后再算出4個角上的面積1×1×4=4（平方米），最后用32減去4，就算出了小路的面積也是28平方米。

生3：我把小路分成了4塊長方形和4個小正方形，它們的面積和是：6×1×4+1×1×4=28（平方米）。

生4：我會梯形面積的計算，所以我是把小路分成了4個梯形，所以小路的面積是：（6+8）×1÷2×4=28（平方米）。

……

學生的能力是不容低估的，這道題解決問題的難度不大，主要是要訓練學生策略選擇的多樣化，充分挖掘學生創造性的解題思維水平。

“數學地思維”內涵非常廣泛，數學課堂對“數學地思維”培養可謂任重道遠。當代科學證明人類的潛在能力是巨大的，在正常情況下工作的人，一般只使用了其思維能力的很小一部分。同樣的，我們對于學生“數學地思維”的開發和引領也僅僅是一個開始，有待于進一步深入地研究，不斷補充和獲得新的認識。

（責編 羅 艷）endprint