強(qiáng)化幾何直觀，提高解決問題的能力

徐慧婭

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”借助幾何直觀能溝通知識內(nèi)部的聯(lián)系，讓學(xué)生直觀地理解與把握數(shù)學(xué)，激發(fā)解題靈感，提高解決問題的能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)遵循學(xué)生的思維特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、操作、數(shù)形結(jié)合、圖表推理等方法，把抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化。

一、直觀感知，理解數(shù)學(xué)算理

小學(xué)生受到知識經(jīng)驗(yàn)和思維水平的影響，在學(xué)習(xí)過程中有時(shí)用語言很難清楚地表述概念和算理，這時(shí)直觀的圖形往往就會成為有效的表達(dá)工具。教學(xué)“九加幾”時(shí)，9+4的教學(xué)，通常是通過實(shí)物操作后填圖思考，通過反復(fù)練習(xí)達(dá)到記憶的目的：把4分成1和3，9和1湊成10，10+3=13。這樣的教學(xué)，會使學(xué)生的思維滯后，也不容易記憶。于是教師改變教法，利用點(diǎn)子圖來展開教學(xué)：左右兩邊都是雙排點(diǎn)子圖，左邊是9個(gè)，右邊是4個(gè)（圖略）。學(xué)生不用動手操作，通過看圖，發(fā)現(xiàn)右側(cè)的4個(gè)移動1個(gè)到左側(cè)，左側(cè)就湊成10，右側(cè)剩3個(gè)，一眼就可以看出結(jié)果是13。這樣在學(xué)生頭腦中形成了清晰的表象，同時(shí)也強(qiáng)化了學(xué)生的記憶。

二、操作體驗(yàn)，重構(gòu)數(shù)學(xué)公式

學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜抽象的過程，教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)物抽象出幾何圖形的過程。教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，通常先讓學(xué)生動手操作，把一個(gè)平行四邊形變成一個(gè)長方形，再思考長方形與平行四邊形在面積、底、高三方面上的聯(lián)系，最后推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。這種教學(xué)方法比較程序化，忽視了學(xué)生思維的差異性，可改變教法：1.先給學(xué)生準(zhǔn)備許多形狀各異的平行四邊形（帶有格子的），讓學(xué)生剪后得出平行四邊形的面積。2.出示一個(gè)平行四邊形，不能剪，想辦法求出面積。有了剛才大量的操作，這時(shí)學(xué)生自然會想到平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，從而測量后求出了面積。3.在此操作的基礎(chǔ)上，師生共同得出平行四邊形的面積計(jì)算公式。

平行四邊形的面積公式在學(xué)生的觀察、動手操作的過程中水到渠成地生成了，學(xué)生的思維能力、水平也隨之發(fā)生了變化。

三、數(shù)形結(jié)合，理解數(shù)學(xué)性質(zhì)

數(shù)學(xué)研究的基本對象是數(shù)與形，研究數(shù)的問題可以借助形的知識，這樣問題變得更形象直觀，學(xué)生也更容易發(fā)現(xiàn)解決問題的多樣性。教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，先出示4，在整數(shù)的末尾添上0或者去掉0，然后出示0.4，讓學(xué)生猜想在小數(shù)的末尾添上0或者去掉0，小數(shù)的大小發(fā)生變化嗎？學(xué)生在交流中指出可以借助方格圖來證明：0.4是4長條，0.40是40小格，也是4長條，所以0.4=0.40，從而驗(yàn)證猜想正確。

把數(shù)與形有效結(jié)合起來，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化、生動化，有利于學(xué)生把握與理解數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)象與本質(zhì)。

四、圖表推理，提升思維能力

數(shù)學(xué)的基本思維方式是推理，學(xué)生可以借助直觀來培養(yǎng)推理能力，在數(shù)量的轉(zhuǎn)化與變化中使推理能力得到進(jìn)一步發(fā)展。教學(xué)“假設(shè)與替換”時(shí)，先出示題目“有五元、二元人民幣共10張，共32元，兩種錢各幾張？”教學(xué)時(shí)借助圖表，引導(dǎo)學(xué)生逐步推理。先假設(shè)10張全是2元的，用5元幣逐步去替換；也可以假設(shè)10張全是5元的，通過用2元幣逐步去替換。得出結(jié)果后，把題中數(shù)字變大：“有5元、2元人民幣共100張，一共365元，問5元、2元各幾張？”學(xué)生有兩種解題思路：（1）先假設(shè)100張全是2元的再替換；（2）先假設(shè)100張全是5元的再替換?！毕燃僭O(shè)100張全是2元的再替換：

學(xué)生感覺到209和365差得太遠(yuǎn)拉，要換很多次，如果這樣一張一張換下去會很麻煩，從而引出計(jì)算的必要性。因此在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生在觀察和操作、比較和分析、抽象和概括等活動中解決問題，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力。

五、列表解題，拓展解題思路

幾何直觀在解決問題的過程中有預(yù)示解題過程、預(yù)測解題結(jié)果的作用，在學(xué)習(xí)過程中要讓學(xué)生經(jīng)歷把繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的過程。如教學(xué)較難的應(yīng)用題時(shí)，可以通過列表來理清數(shù)量之間的關(guān)系。如“從甲到乙的路程中有1/3為山路，其余為平地。小王在平地上行駛的速度是小張?jiān)谄降厣闲旭偹俣鹊?倍。在山路上行駛時(shí)，小王的速度是在平地上行駛的1 / 4，小張的速度是在平地上行駛時(shí)的1/3，求小王、小張所用時(shí)間比是多少？”這道題目涉及的人物關(guān)系比較復(fù)雜，行走路線也較繁雜，而速度之間的關(guān)系更為錯綜復(fù)雜。如何來理清這些關(guān)系呢？不妨通過以下表格來梳理。

■

如果讓學(xué)生自己一味地去探究、去發(fā)現(xiàn)，很難解決問題，但利用幾何直觀，通過列表來理清數(shù)量之間的關(guān)系，就達(dá)到了化解為易的效果。

總之，培養(yǎng)幾何直觀能力能讓學(xué)生更好地理解、把握數(shù)學(xué)，提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題?！苯柚鷰缀沃庇^能溝通知識內(nèi)部的聯(lián)系，讓學(xué)生直觀地理解與把握數(shù)學(xué)，激發(fā)解題靈感，提高解決問題的能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)遵循學(xué)生的思維特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、操作、數(shù)形結(jié)合、圖表推理等方法，把抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化。

一、直觀感知，理解數(shù)學(xué)算理

小學(xué)生受到知識經(jīng)驗(yàn)和思維水平的影響，在學(xué)習(xí)過程中有時(shí)用語言很難清楚地表述概念和算理，這時(shí)直觀的圖形往往就會成為有效的表達(dá)工具。教學(xué)“九加幾”時(shí)，9+4的教學(xué)，通常是通過實(shí)物操作后填圖思考，通過反復(fù)練習(xí)達(dá)到記憶的目的：把4分成1和3，9和1湊成10，10+3=13。這樣的教學(xué)，會使學(xué)生的思維滯后，也不容易記憶。于是教師改變教法，利用點(diǎn)子圖來展開教學(xué)：左右兩邊都是雙排點(diǎn)子圖，左邊是9個(gè)，右邊是4個(gè)（圖略）。學(xué)生不用動手操作，通過看圖，發(fā)現(xiàn)右側(cè)的4個(gè)移動1個(gè)到左側(cè)，左側(cè)就湊成10，右側(cè)剩3個(gè)，一眼就可以看出結(jié)果是13。這樣在學(xué)生頭腦中形成了清晰的表象，同時(shí)也強(qiáng)化了學(xué)生的記憶。

二、操作體驗(yàn)，重構(gòu)數(shù)學(xué)公式

學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜抽象的過程，教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)物抽象出幾何圖形的過程。教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，通常先讓學(xué)生動手操作，把一個(gè)平行四邊形變成一個(gè)長方形，再思考長方形與平行四邊形在面積、底、高三方面上的聯(lián)系，最后推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。這種教學(xué)方法比較程序化，忽視了學(xué)生思維的差異性，可改變教法：1.先給學(xué)生準(zhǔn)備許多形狀各異的平行四邊形（帶有格子的），讓學(xué)生剪后得出平行四邊形的面積。2.出示一個(gè)平行四邊形，不能剪，想辦法求出面積。有了剛才大量的操作，這時(shí)學(xué)生自然會想到平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，從而測量后求出了面積。3.在此操作的基礎(chǔ)上，師生共同得出平行四邊形的面積計(jì)算公式。

平行四邊形的面積公式在學(xué)生的觀察、動手操作的過程中水到渠成地生成了，學(xué)生的思維能力、水平也隨之發(fā)生了變化。

三、數(shù)形結(jié)合，理解數(shù)學(xué)性質(zhì)

數(shù)學(xué)研究的基本對象是數(shù)與形，研究數(shù)的問題可以借助形的知識，這樣問題變得更形象直觀，學(xué)生也更容易發(fā)現(xiàn)解決問題的多樣性。教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，先出示4，在整數(shù)的末尾添上0或者去掉0，然后出示0.4，讓學(xué)生猜想在小數(shù)的末尾添上0或者去掉0，小數(shù)的大小發(fā)生變化嗎？學(xué)生在交流中指出可以借助方格圖來證明：0.4是4長條，0.40是40小格，也是4長條，所以0.4=0.40，從而驗(yàn)證猜想正確。

把數(shù)與形有效結(jié)合起來，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化、生動化，有利于學(xué)生把握與理解數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)象與本質(zhì)。

四、圖表推理，提升思維能力

數(shù)學(xué)的基本思維方式是推理，學(xué)生可以借助直觀來培養(yǎng)推理能力，在數(shù)量的轉(zhuǎn)化與變化中使推理能力得到進(jìn)一步發(fā)展。教學(xué)“假設(shè)與替換”時(shí)，先出示題目“有五元、二元人民幣共10張，共32元，兩種錢各幾張？”教學(xué)時(shí)借助圖表，引導(dǎo)學(xué)生逐步推理。先假設(shè)10張全是2元的，用5元幣逐步去替換；也可以假設(shè)10張全是5元的，通過用2元幣逐步去替換。得出結(jié)果后，把題中數(shù)字變大：“有5元、2元人民幣共100張，一共365元，問5元、2元各幾張？”學(xué)生有兩種解題思路：（1）先假設(shè)100張全是2元的再替換；（2）先假設(shè)100張全是5元的再替換?！毕燃僭O(shè)100張全是2元的再替換：

學(xué)生感覺到209和365差得太遠(yuǎn)拉，要換很多次，如果這樣一張一張換下去會很麻煩，從而引出計(jì)算的必要性。因此在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生在觀察和操作、比較和分析、抽象和概括等活動中解決問題，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力。

五、列表解題，拓展解題思路

幾何直觀在解決問題的過程中有預(yù)示解題過程、預(yù)測解題結(jié)果的作用，在學(xué)習(xí)過程中要讓學(xué)生經(jīng)歷把繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的過程。如教學(xué)較難的應(yīng)用題時(shí)，可以通過列表來理清數(shù)量之間的關(guān)系。如“從甲到乙的路程中有1/3為山路，其余為平地。小王在平地上行駛的速度是小張?jiān)谄降厣闲旭偹俣鹊?倍。在山路上行駛時(shí)，小王的速度是在平地上行駛的1 / 4，小張的速度是在平地上行駛時(shí)的1/3，求小王、小張所用時(shí)間比是多少？”這道題目涉及的人物關(guān)系比較復(fù)雜，行走路線也較繁雜，而速度之間的關(guān)系更為錯綜復(fù)雜。如何來理清這些關(guān)系呢？不妨通過以下表格來梳理。

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如果讓學(xué)生自己一味地去探究、去發(fā)現(xiàn)，很難解決問題，但利用幾何直觀，通過列表來理清數(shù)量之間的關(guān)系，就達(dá)到了化解為易的效果。

總之，培養(yǎng)幾何直觀能力能讓學(xué)生更好地理解、把握數(shù)學(xué)，提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”借助幾何直觀能溝通知識內(nèi)部的聯(lián)系，讓學(xué)生直觀地理解與把握數(shù)學(xué)，激發(fā)解題靈感，提高解決問題的能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)遵循學(xué)生的思維特點(diǎn)和學(xué)習(xí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、操作、數(shù)形結(jié)合、圖表推理等方法，把抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化。

一、直觀感知，理解數(shù)學(xué)算理

小學(xué)生受到知識經(jīng)驗(yàn)和思維水平的影響，在學(xué)習(xí)過程中有時(shí)用語言很難清楚地表述概念和算理，這時(shí)直觀的圖形往往就會成為有效的表達(dá)工具。教學(xué)“九加幾”時(shí)，9+4的教學(xué)，通常是通過實(shí)物操作后填圖思考，通過反復(fù)練習(xí)達(dá)到記憶的目的：把4分成1和3，9和1湊成10，10+3=13。這樣的教學(xué)，會使學(xué)生的思維滯后，也不容易記憶。于是教師改變教法，利用點(diǎn)子圖來展開教學(xué)：左右兩邊都是雙排點(diǎn)子圖，左邊是9個(gè)，右邊是4個(gè)（圖略）。學(xué)生不用動手操作，通過看圖，發(fā)現(xiàn)右側(cè)的4個(gè)移動1個(gè)到左側(cè)，左側(cè)就湊成10，右側(cè)剩3個(gè)，一眼就可以看出結(jié)果是13。這樣在學(xué)生頭腦中形成了清晰的表象，同時(shí)也強(qiáng)化了學(xué)生的記憶。

二、操作體驗(yàn)，重構(gòu)數(shù)學(xué)公式

學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜抽象的過程，教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)物抽象出幾何圖形的過程。教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，通常先讓學(xué)生動手操作，把一個(gè)平行四邊形變成一個(gè)長方形，再思考長方形與平行四邊形在面積、底、高三方面上的聯(lián)系，最后推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。這種教學(xué)方法比較程序化，忽視了學(xué)生思維的差異性，可改變教法：1.先給學(xué)生準(zhǔn)備許多形狀各異的平行四邊形（帶有格子的），讓學(xué)生剪后得出平行四邊形的面積。2.出示一個(gè)平行四邊形，不能剪，想辦法求出面積。有了剛才大量的操作，這時(shí)學(xué)生自然會想到平行四邊形的面積與底和高有關(guān)，從而測量后求出了面積。3.在此操作的基礎(chǔ)上，師生共同得出平行四邊形的面積計(jì)算公式。

平行四邊形的面積公式在學(xué)生的觀察、動手操作的過程中水到渠成地生成了，學(xué)生的思維能力、水平也隨之發(fā)生了變化。

三、數(shù)形結(jié)合，理解數(shù)學(xué)性質(zhì)

數(shù)學(xué)研究的基本對象是數(shù)與形，研究數(shù)的問題可以借助形的知識，這樣問題變得更形象直觀，學(xué)生也更容易發(fā)現(xiàn)解決問題的多樣性。教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，先出示4，在整數(shù)的末尾添上0或者去掉0，然后出示0.4，讓學(xué)生猜想在小數(shù)的末尾添上0或者去掉0，小數(shù)的大小發(fā)生變化嗎？學(xué)生在交流中指出可以借助方格圖來證明：0.4是4長條，0.40是40小格，也是4長條，所以0.4=0.40，從而驗(yàn)證猜想正確。

把數(shù)與形有效結(jié)合起來，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題形象化、生動化，有利于學(xué)生把握與理解數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)象與本質(zhì)。

四、圖表推理，提升思維能力

數(shù)學(xué)的基本思維方式是推理，學(xué)生可以借助直觀來培養(yǎng)推理能力，在數(shù)量的轉(zhuǎn)化與變化中使推理能力得到進(jìn)一步發(fā)展。教學(xué)“假設(shè)與替換”時(shí)，先出示題目“有五元、二元人民幣共10張，共32元，兩種錢各幾張？”教學(xué)時(shí)借助圖表，引導(dǎo)學(xué)生逐步推理。先假設(shè)10張全是2元的，用5元幣逐步去替換；也可以假設(shè)10張全是5元的，通過用2元幣逐步去替換。得出結(jié)果后，把題中數(shù)字變大：“有5元、2元人民幣共100張，一共365元，問5元、2元各幾張？”學(xué)生有兩種解題思路：（1）先假設(shè)100張全是2元的再替換；（2）先假設(shè)100張全是5元的再替換?！毕燃僭O(shè)100張全是2元的再替換：

學(xué)生感覺到209和365差得太遠(yuǎn)拉，要換很多次，如果這樣一張一張換下去會很麻煩，從而引出計(jì)算的必要性。因此在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生在觀察和操作、比較和分析、抽象和概括等活動中解決問題，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力。

五、列表解題，拓展解題思路

幾何直觀在解決問題的過程中有預(yù)示解題過程、預(yù)測解題結(jié)果的作用，在學(xué)習(xí)過程中要讓學(xué)生經(jīng)歷把繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的過程。如教學(xué)較難的應(yīng)用題時(shí)，可以通過列表來理清數(shù)量之間的關(guān)系。如“從甲到乙的路程中有1/3為山路，其余為平地。小王在平地上行駛的速度是小張?jiān)谄降厣闲旭偹俣鹊?倍。在山路上行駛時(shí)，小王的速度是在平地上行駛的1 / 4，小張的速度是在平地上行駛時(shí)的1/3，求小王、小張所用時(shí)間比是多少？”這道題目涉及的人物關(guān)系比較復(fù)雜，行走路線也較繁雜，而速度之間的關(guān)系更為錯綜復(fù)雜。如何來理清這些關(guān)系呢？不妨通過以下表格來梳理。

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如果讓學(xué)生自己一味地去探究、去發(fā)現(xiàn)，很難解決問題，但利用幾何直觀，通過列表來理清數(shù)量之間的關(guān)系，就達(dá)到了化解為易的效果。

總之，培養(yǎng)幾何直觀能力能讓學(xué)生更好地理解、把握數(shù)學(xué)，提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（責(zé)編 金 鈴）endprint