蜘蛛的水平速度至少多大才能到達蛛絲

李林茂

摘 要：蛛絲在地面與豎直墻壁之間，與水平地面之間的夾角為45°，蜘蛛從豎直墻壁上的蛛絲結點下方做平拋運動，要到達蛛絲，至少需要多大的水平速度？這是一個求臨界速度的問題，其解決的關鍵是找到臨界條件。

關鍵詞：平拋運動；水平位移；豎直位移

一、問題提出

題目：如圖1所示，蜘蛛在地面與豎直墻壁之間結網，蛛絲AB與水平地面之間的夾角為45°，A點到地面的距離為1m，已知重力加速度g取10m/s2，空氣阻力不計，若蜘蛛從豎直墻上距地面0.8m的C點以水平速度v0跳出，要到達蛛絲AB，水平速度v0至少為( )

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A.1m/s B.2m/s C.2.5m/s D.■m/s

這是一道平拋運動規律應用的題目，從學生給出的答案來看，有兩種貌似都有道理卻頗有爭議的解法，現在介紹如下。

二、問題爭鳴

解法一：蜘蛛做平拋運動，要到達蛛絲，則需在下落h=0.8m時，水平位移至少為x=OB=1m，則

v0=■=■=2.5m/s

解法二：蜘蛛做平拋運動，恰好到達蛛絲時，速度方向與AB在同一直線上，根據平拋運動的特點，如圖2，E點即為恰好抓住的位置。

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根據平拋運動的規律：

vy=gt …………①

hCP=■gt2 …………②xPE=v0t…………③

由題意知道，hAP=xPE，hAP=hCP+0.2，vy=v0

聯列以上各式解得：v0=2m/s

三、問題的探究與論證

1.從數學角度來分析，平拋運動的軌跡是拋物線方程，蛛絲AB可以看作是直線方程。若蜘蛛從C點以水平速度v0跳出，要到達蛛絲AB，則蜘蛛做平拋運動的軌跡方程應與蛛絲AB的直線方程至少有一個交點。

根據題意，以OB為x軸，OA為y軸，O為原點建立直角坐標系，則

蜘蛛做平拋運動的軌跡方程為：

y=hOC-hCP …………④x=xPE …………⑤

由②③④⑤式可得：y=hOC-■g■…………⑥

而蛛絲AB的方程為：y=hOA-x …………⑦

由⑥⑦式代入數據得：5x2-v20x+0.2v20=0

要使該方程有解，則：Δ=■≥0

解得：v0≥2m/s

所以從數學的角度來分析，應選B。

2.可以將v0=2.5m/s代入進行驗證，由平拋運動的規律及題意得：

h=■gt2，x=2.5t，x=0.2+h聯立解得：t1=0.1s或t2=0.4s

當t1=0.1s時x=0.25m，h=0.05m；當t2=0.4s時x=1m，h=0.8m。

即如果蜘蛛以v0=2.5m/s的速度跳出，水平位移達到x=0.25m就到達蛛網，根本不用運動x=1m。

由此可見，解法二是正確的，應選B。本題也是一道求極值的題目，出現解法一的原因主要是對題目的理解錯誤，沒有細加分析就認為蜘蛛要到達蛛絲，需在下落h=0.8m時，水平位移至少是x=OB=1m，但是稍微細心一些就會發現蜘蛛要到達蛛絲，下落的距離不是0.8m。當然，如果蛛絲是過B點垂直于水平地面的，解法一就正確了。