廣義Pell方程Ax2?By2=4的通解公式

史保懷,李小雪

(1.陜西學前師范學院數學系,陜西西安710100;2.西北大學數學學院,陜西西安710127)

廣義Pell方程Ax2?By2=4的通解公式

史保懷1,李小雪2

(1.陜西學前師范學院數學系,陜西西安710100;2.西北大學數學學院,陜西西安710127)

主要運用Lucas數的奇偶性,討論了當A,B是適合A>1,2-AB且AB非平方數的正整數時,廣義Pell方程的整數解(x,y),即給出了方程Ax2?By2=4適合gcd(x,y)=1的整數解(x,y)的通解公式.

二元二次Diophantine方程;通解公式;Lucas數的奇偶性

1 引言

的二元二次Diophantine方程統稱為廣義Pell方程,其性質是數論中的一個基本而又重要的研究課題[1-11].

本文將對A>1,2-AB且C=4的情況討論方程(1)滿足gcd(x,y)=1的解(x,y)的通解公式.此時,方程(1)可表成:

由文獻[3]第1.3節可知:如果方程(2)有解(x,y),則它必有唯一的正整數解(x1,y1)滿足:

這里的(x,y)過該方程的所有正整數解.如此的(x1,y1)稱為方程(2)的最小解.方程(2)的任何一組解(x,y)都可表成:

然而,方程(2)的通解公式(3)是錯的.例如,當A=7且B=3時,方程(2)有解(x,y),而且它的最小解是(x1,y1)=(1,1).此時,(x,y)=(19,29)是方程(2)的一組解,但是由于

所以該解不能表成(3)式.

本文運用Lucas數的奇偶性給出了方程(2)正確的通解公式,即證明:

定理1.1當A,B是適合A>1,2-AB且AB非平方數時,如果方程(2)有解(x,y),則它的任何一組解(x,y)都可表成

其中(x1,y1)是方程(2)的最小解.

2 若干引理

引理2.1對于正整數t以及復數α和β,

其中[t/2]是t/2的整數部分,

都是正整數.

證明參見文獻[12]的(1.76)式.

引理2.2對于正整數t,設Lt是第t個Lucas數.

(ii)如果3|t,則Lt是偶數;如果3-t,則Lt是奇數.

證明參見文獻[1]的第4.2節.

引理2.3對于正整數t,設

證明由引理2.1可知(i=0,···,[t/2])都是正整數,所以由(5)式可知f(t)都是整數.

由引理2.2的結論(i)可知,

因為由(7)式可知α+β=3且αβ=1,所以根據引理2.1,由(6)式可得,

又因3≡1(mod 2),故由(5)式和(8)式可得,

于是,根據引理2.2的結論(ii),由(9)式即得本引理.

設A,B是適合A>1,2-AB,gcd(A,B)=1且AB非平方數的正整數.

引理2.4方程

有適合v?=0的解(u,v),而且有唯一的正整數解(u,v)滿足這里的(u,v)過該方程所有的正整數解.如此的(u1,v1)稱為方程(10)的最小解.

證明參見文獻[3]的定理1.1.1.

引理2.5方程

必有適合V?=0的解(U,V),而且有唯一的正整數解(U,V)滿足U+V這里的(U,V)

1111過該方程的所有正整數解.如此的(U1,V1)稱為方程(11)的最小解.

(i)方程(10)的最小解(u1,v1)滿足

(ii)方程(11)的任何一組解(U,V)都可表成

證明參見文獻[3]的定理1.1.6.

引理2.6方程(11)有適合gcd(U,V)=1的解(U,V)的充要條件是該方程的最小解(U1,V1)適合gcd(U1,V1)=1.

證明充分性易證.以下證明其必要性.當方程(11)有適合gcd(U,V)=1的解(U,V)時, U和V必定都是奇數.此時,如果gcd(U1,V1)?=1,則gcd(U1,V1)=2,并且由引理1.5的結論(i)和結論(ii)可得:

其中(u1,v1)是方程(10)的最小解,u和v都是整數.然而,由(12)式可知U=2u且V=2v,故有gcd(U,V)>1這一矛盾.由此可知,此時gcd(U1,V1)=1.

引理2.7如果方程(11)有適合gcd(U,V)=1的解(U,V),則該方程的任何一組適合此條件的解(U,V)都可表示成:

其中(U1,V1)是方程(11)的最小解.

證明由于當(U,V)是方程(11)的解時,(|U|,|V|)也是它的解;而且該方程的最小解(U1,V1)滿足

所以只需討論該方程的正整數解即可.

設(U,V)是方程(11)的一組適合gcd(U,V)=1的正整數解.此時,U和V都是奇數,由引理2.6可知此時gcd(U1,V1)=1,所以U1和V1也是奇數.

根據引理2.5可知:

設

根據引理2.1,由(14)式和(15)式可得,

因為U1是奇數,U1≡1(mod 2),所以由(15)和(16)式可得,

由于U是奇數,所以根據引理1.3,由(17)式可知3-m.于是,由(14)式可知引理成立.

引理2.8如果方程(2)有解(x,y),則方程(10)的最小解(u1,v1)滿足:

其中(x1,y1)是方程(2)的最小解.

證明參見文獻[3]的定理1.3.3.

3 定理1.1的證明

顯然,若能證明方程(2)的任何一組正整數解(x,y)都可表成

則定理1.1成立.

設(x,y)是方程(2)的一組正整數解,又設

因為由(2)式和(20)式可知

X和Y都是正奇數,所以(U,V)=(X,Y)是方程(11)的一組適合gcd(U,V)=1的正整數解.因此,根據引理2.7,由(20)式可得

其中(U1,V1)是方程(11)的最小解.

此時方程(11)有適合gcd(U,V)=1的解(U,V),則由引理2.6可知,

另外,由引理2.8可知(u1,v1)滿足(19)式,故由(19)和(23)式可得,

于是,將(24)式代入(22)式即得,

又因A>1,所以由(24)式可知(25)式中m不能是偶數,故由(25)式可得(19)式.

又由引理2.5可知,方程(10)的最小解(u1,v1)滿足

參考文獻

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[12] Lidl R,Niederreiter H.Finite Fields[M].MA:Addison-Wesley,1983.

The general solution formula of the generalized Pell equation
Ax2?By2=4

Shi Baohuai1,Li Xiaoxue2
(1.Department of Mathematics,Shaanxi Xuqian Normal University,Xi′an710100,China; 2.School of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

The main purpose of this paper is using the parity of Lucas numbers,to discuss the integer solutions (x,y)of the equation when A,B be positive integers such that A>1,2-AB,and AB is not a complete square,which gives a general solution formula of integer solutions(x,y)of the equation Ax2?By2=4 with gcd(x,y)=1.

binary quadratic diophantine equation,general solution formula,parity of Lucas number

O156.7

A

1008-5513(2014)05-0441-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.001

2014-06-01.

國家自然科學基金(11371291);陜西學前師范學院科研基金(11KJ003).

史保懷(1963-),教授,研究方向：數論.

2010 MSC:O156.7