Diestel-Faires定理在局部凸空間中的推廣

烏仁其其格,楊梅榮

(內蒙古赤峰學院數學與統計學院,內蒙古赤峰024000)

Diestel-Faires定理在局部凸空間中的推廣

烏仁其其格,楊梅榮

(內蒙古赤峰學院數學與統計學院,內蒙古赤峰024000)

通過Banach空間與局部凸空間的對比,將Banach空間上的Diestel-Faires定理在局部凸空間上進行推廣.進一步給出了局部凸空間上的Orlicz-Pettis定理與推論.

局部凸空間;lcs空間;Diestel-Faires定理;Orlicz-Pettis定理

1 預備知識

設X是實數域或復數域K上的向量空間,P是X上一族半范數,滿足其中p?1(0)={x∈X:p(x)=0},這樣的半范數族P常稱為分離的[1-4].令σP是半范數族P生成的X上的局部凸拓撲[5],則它是局部凸分離向量空間,簡記為lcs[6].

用X?≡(X,σP)?表示(X,σP)的拓撲對偶空間,并對每個p∈P考慮X?的向量子空間

對任意的x?∈X?(p),定義∥x?∥p=|X?(x)|,則∥·∥p是X?(p)上的范數,并用B(X?(p))表示X?(p)中的單位閉球,實際上(X?(p),∥·∥)正是半范空間(X,p)的拓撲對偶空間(X,p)?.

設?是某個取定的集,有時也稱為基∪本空間.以?的某些子集為元素作成的集如果滿足?∈,且對任何E1,E2∈都有E1E2∈E1E2∈,則稱為?上的域.進一步,如果對任何一列{Ei}?都有就稱域F是?上的σ-域.

2 主要結論

定理2.1(Diestel-Faires)[7]設X是Banach空間,F是由?的子集作成的域,G:→X是有界向量測度,若G不是強可加的,則存在(在內)拓撲同構T:c0→X和互不相交集列En?,使對任意自然數n,T(en)=G(En),從而c0中每一個0,1值序列的T-象是包含在G()中.若F是一個σ-域,將c0換成l∞結論仍成立.其中en表示第n項為1,其它項為0的數列.

以下是Diestel-Faires定理2.1在lcs空間中的推廣.

定理2.2設(X,σP)是p-完備的lcs空間,是由?的子集作成的域,G:→X是有界向量測度:

(1)若G不是強可加的,則存在p0∈P(在內)拓撲同構T:c0→(X,p0)和互不相交集列{En}?,使得對每個自然數n,p0[T(en)?G(En)]=0成立,從而c0中每一個0,1值序列的T-像包含在G(F)+中.

(2)若F是σ-域,將(1)中的c0換成l∞結論仍成立.

證明(1)設F是域,因為G有界但不是強可加的,所以存在互不相交集列{An}?F,使得G(An)?0(依σP拓撲),這樣存在p0∈P,使得當n→∞時,p0[G(An)]?0.如前, π表示從半范空間(X,p0)到商空間(∥·∥p0)的商映射,由于π是連續線性映射,從而πG:?→,∥·∥p0)是有界向量測度.

再由商映射π是等半范的,進一步可知πG不是強可加的向量測度,因(X,σP)是p-完備的lcs空間,知(X,p0)是完備的半范空間,故∥·∥p0)是Banach空間,根據Diestel-Faires定理2.1,存在(在內)拓撲同構S:c0→和互不相交集列{En}?,使得對每個自然數n,S(en)=πG(En).

取定X關于半范數p0的零空間的代數補線性子空間Y,則商映射π在Y上的限制π|Y:Y→是在上等距同構映射,其逆映射(π|Y)?1:Y也是在上等距同構映射.令T=(π|Y)?1·S,則T是從c0到(X,p0)的(在內)拓撲同構映射,且對任意的自然數n,有

即

則

從而

(2)將(1)中的域F換為σ域,c0換為l∞,類似可證.

推論2.1設(X,σP)是p-完備的lcs空間,是由?的子集作成的域,是有界向量測度,則G是強可加的當且僅當對任意的p∈P和任意漸張集列在(X,p)中弱收斂.

證明必要性:若G是強可加的,任意的漸張集列極限在拓撲σP下存在,所以對任意的在中收斂,進而在(X,p)中弱收斂.

充分性:用反證法證明.假設G不強可加,由于(X,σP)是p-完備的,據定理2.2知,存在p0∈P,在內拓撲同構和互不相交集列使得對任意的有如前所設π是半范空間(X,p0)關于零子空間的商映射,令S =πT,則是在內拓撲同構,且對任意的有

若不然存在x0∈X,使得{G(Em)}在(X,p0)中弱收斂于x0.因為π是弱-弱連續的,所以依的弱拓撲收斂于對任意的

所以a0=(1,1,···,1,···)∈c0,矛盾.

定理2.3 (Orlicz-pettis)[7]設是Banach空間X中一個形式級數,且任何一個子級數都是弱收斂的,則按范數無條件收斂.

以下是Orlicz-Pettis定理2.3在lcs空間中的推廣.

定理2.4設(X,σP)是p-完備的lcs空間,是X中一個形式級數,對任意的p∈P,在半范空間(X,p)中任何子級數都弱收斂,則依拓撲σP無條件收斂.

證明設X中的級數對任意的p∈P在(X,p)中任何子級數弱收斂,可知對任意的x?∈(X,p)?都有定義

由閉圖定理[8]可證T是有界線性算子,從而

所以G是有界向量測度.任意的p∈P,{G(En)}在(X,p)中弱收斂.

設{En}是中漸張集列,若是最終非常集列,則每個En是有限的,此時{G(En)}是重排后的某個子級數部分和序列,因為數域K中任何無窮級數,子級數收斂,所以對

若{En}是最終常集列,顯然{G(En)}在(X,p)中是收斂的.這樣,對任意的p∈P,對中任意漸張集列中是弱收斂的.由(X,σP)是p-完備,據推論2.1得G是強可加的,故依拓撲σP無條件收斂.

[1] 孫立民.取值于局部凸空間矢值測度的幾個性質[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,1996,12:16-19.

[2] 武立中,孫立民.局部凸空間上矢值測度某些有界變差的等價性[J].哈爾濱工業大學自然科學學報,1995,27:5-7.

[3] 施慧華.向量值測度的泛函表示[J].廈門大學學報:自然科學版,2013,3:306-308.

[4] 滕巖梅.某種局部凸空間上的Bishop-phelps定理[J].數學學報,2005,4:781-784.

[5] 陳利國.關于局部凸空間的中點局部一致凸性[J].純粹數學與應用數學,2011,6:749-755.

[6] Halmos P R.Measure Theorey[M].New York:Springer-verlag,1974.

[7] Joseph.Diestl,John Jerry Uhl.Vector Measures[M].Providence:Math.Surveys,Am.Math.Soc.,1977.

[8] Taylor A E.Introduction to Functional Analysis[M].NewYork:John Wileysons,1958.

Generalization of Diestel-Faires theorem on locally convex spaces

Wurenqiqige,Yang Meirong
(College of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

By contrasting Banach space and locally convex spaces,we promote Diestel-Faires theorem to locally convex space,and put up with Orlicz-Pettis theorem of locally convex spaces and the deduction of the Diestel-Faires theorem.

locally convex space,lcs space,Diestel-Faires theorem,Orlicz-Pettis theorem

O177.99

A

1008-5513(2014)05-0503-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.011

2014-01-21.

烏仁其其格(1979-),碩士,講師,研究方向：泛函分析.

2010 MSC:47A62