概率度量空間中廣義β-可容許映射的二元重合點定理及其應用

徐文清,朱傳喜

(南昌大學數(shù)學系,江西南昌330031)

概率度量空間中廣義β-可容許映射的二元重合點定理及其應用

徐文清,朱傳喜

(南昌大學數(shù)學系,江西南昌330031)

在Menger PM-空間中,引入廣義β-可容許映射的概念.在不要求兩映射可交換的情況下,利用迭代法,建立了廣義β-可容許映射的二元重合點定理.獲得了一些新的結果,推廣和改進了相關文獻中的不動點定理和二元重合點定理.最后,給出了主要結果的一個應用.

Menger PM-空間;二元重合點;β-可容許映射;相容映射

1 引言與預備知識

1942年,文獻[1]中首次提出概率度量空間,其中概率度量空間中的不動點理論已成為概率分析的重要內容之一,也是數(shù)學研究領域比較活躍的一部分.許多作者已經得到了概率度量空間中不同壓縮條件下的不動點定理[2-10].

近年來,有關序度量空間、概率度量空間中映射的二元重合點理論的研究也比較活躍.例如,2009年,文獻[11]獲得序度量空間中g-混合單調映射的二元重合點定理.2011年,文獻[12]得到了半序概率度量空間中可交換映射在壓縮條件下的二元重合點定理.2013年,文獻[13]在半序概率度量空間中定義了相容映射,同時建立了該映射在不滿足可交換條件下的二元重合點定理,從而推廣了文獻[12]中的相關定理.度量空間中的重合點定理或不動點定理可參考文獻[14-15].

最近,文獻[16]在概率度量空間中定義了β-可容許映射,并得到了該空間中β-可容許映射的不動點定理.本文在Menger PM-空間中,引入廣義β-可容許映射的概念.在不要求兩映射可交換的情況下,建立了廣義β-可容許映射的二元重合點定理.所得結果推廣了文獻[12-13,16]中的不動點定理和二元重合點定理.最后,給出了主要結果的一個應用.

為方便起見,首先回顧一些基本概念和引理[2].

用D表示一切分布函數(shù)的集合,D+={F:F∈D,F(t)=0,?t≤0},并用H(t)表示一特殊分布函數(shù),其定義如下:

映像?:[0,1]2→[0,1]稱為三角范數(shù)(簡稱為t-范數(shù)),如果它滿足如下條件:對任意a,b,c,d∈[0,1],有

(?1)?(a,1)=a,?(0,0)=0;(?2)?(a,b)=?(b,a);

(?3)?(a,b)≤?(c,d),?c≥a,d≥b;(?4)?(?(a,b),c)=?(a,?(b,c)).

設?M(a,b)=min{a,b},?p(a,b)=ab,?m(a,b)={a+b?1,0},顯然它們?yōu)閠-范數(shù).

(X,F,?)稱為Menger PM-空間,如果X是一抽象集,?為t-范數(shù),F是X×X到D+的映象(記分布函數(shù)F(x,y)為Fx,y,而Fx,y(t)表示Fx,y在t∈R的值),滿足下面的條件:

(PM1)Fx,y(0)=0;

(PM2)Fx,y(t)=H(t),?t∈當且僅當x=y;

(PM3)Fx,y(t)=Fy,x(t);

(PM4)(Menger三角不等式)對任意x,y,z∈X,t1,t2∈,有

定義1.1[4]設Φ={?:[0,1]→[0,1]}為一個函數(shù)類,其中函數(shù)?滿足如下條件:

(i)?(t)=0當且僅當t=0;(ii)?是嚴格增的且當t→∞時,?(t)→∞;

(iii)?在(0,∞)上是左連續(xù)的;(iv)?在t=0處連續(xù).

定義1.2[11]設X為一非空集合,G:X×X→X和g:X→X是X上的兩自映射,元素(x,y)∈X×X稱為G的二元不動點,如果G(x,y)=x和G(y,x)=y.元素(x,y)∈X×X稱為G和g的二元重合點,如果G(x,y)=g(x)和G(y,x)=g(y).

定義1.3[16]設(X,F,?)是一Menger PM-空間,β:X×X×(0,∞)→(0,∞)是一函數(shù)且g:X→X是X上的自映射,稱g是β-可容許的,如果存在x,y∈X,使得對任意t>0, β(x,y,t)≤1,則β(g(x),g(y),t)≤1,?t>0.

注1.1β-可容許映射不一定是單調映射;反之,單調映射也不一定是β-可容許映射.另外,β函數(shù)不一定可傳遞(稱β是傳遞的,如果x,y,z∈X對任意t>0,β(x,y,t)≤1, β(y,z,t)≤1,則β(x,z,t)≤1).

例1.1設X=[0,∞),f:X→X,g:X→X,β:X×X×(0,∞)→(0,∞)定義如下:

事實上,函數(shù)f在X上是不減的,若β(x,y,t)≤1,則x+y≥1.但x2+y2不一定大于1,因此,f不是β-可容許的.若β(x,y,t)≤1,則故g是β-可容許的,但很顯然g在X上不是單調的.由β的定義可知,由均值不等式可知,但因此,β不是可傳遞的.

定義1.4[13]設(X,F,?)是一完備的Menger PM-空間,G:X×X→X和g:X→X是X上的兩自映射,G和g稱為相容的,如果存在{xn}和{yn}為X中兩個序列,x,y∈X,

則對任意t>0,有

引理1.1[5]設(X,F,?)是一完備的Menger PM-空間,函數(shù)?∈Φ,如果存在c∈(0,1),

2 主要結果

定義2.1設(X,F,?)是Menger PM-空間,G:X×X→X和g:X→X是X上的兩自映射且β:X×X×(0,∞)→(0,∞)是一函數(shù),稱G和g是廣義β-可容許的,如果存在x,y,u,v∈X,使得對任意t>0,β(g(x),g(u),t)≤1和β(g(y),g(v),t)≤1,則

例2.1設X=[0,∞),g:X→X,G:X×X→X,β:X×X×(0,∞)→(0,∞)定義:

則G和g是廣義β-可容許的.

若β(g(x),g(u),t)≤1,β(g(y),g(v),t)≤1,則

引理2.1設F∈D+,G1,G2,···,Gn:R→[0,1]都為不減函數(shù),其中n∈Z+,如果存在?∈Φ和c∈(0,1),使得對任意t>0,

則

證明設G(t)=min{G1(?(t)),G2(?(t)),·(··,(Gn)()?(t))}.

利用反證法證明.假設存在t0>0,使得G?t0>F(?(t0)).由(1)式可知

矛盾.因此假設不成立,結論成立.

引理2.2設(X,F,?)是一Menger PM-空間,且?∈Φ,如果存在c∈(0,1),x,y,u,v∈X,使得對任意t>0,有

證明要證x=y和u=v,即證對任意t>0,min{Fx,y(t),Fu,v(t)}=1.利用反證法證明,假設存在t0>0,使得min{Fx,y(t0),Fu,v(t0)}<1.

由?的性質可知,當t→∞時,?(t)→∞.再由(X,F,?)是一Menger PM-空間可得,當t→∞時,min{Fx,y(?(t)),Fu,v(?(t))}→1.因此存在t1>0,使得?(t1)>t0且

根據(jù)?的性質,對t0>0,存在r>0使得t0>?(r).由c∈(0,1),存在n∈N,使得r≥cnt1.由?是嚴格增的可得t0>?(cnt1).由已知條件可知:

這與(3)式矛盾.因此假設不成立,則x=y和u=v.

定理2.1設(X,F,?)是完備的Menger PM-空間,?為一連續(xù)的t-范數(shù)且?(a,a)≥a,?a∈[0,1].設β:X×X×(0,∞)→(0,∞)是一函數(shù),函數(shù)?∈,G:X×X→X和g:X→X是X上的兩自映射且G和g是廣義β-可容許的.如果存在c∈(0,1),對任意x,y,u,v∈X和t>0,有

設G(X,X)?g(X),g是連續(xù)的,G和g是相容的,且滿足下列條件之一:

(a)G是連續(xù)的;

(b)g是β-可容許的,如果序列{xn}?X使得對任意t>0,n∈N,β(xn,xn+1,t)≤1且xn→x,則對任意t>0,n∈N,β(xn,x,t)≤1.

存在x0,y0∈X使得對任意t>0,有

則存在x,y∈X使得G(x,y)=g(x)和G(y,x)=g(y),即(x,y)∈X×X為G和g的二元重合點.

證明由?是連續(xù)的且對任意a∈[0,1],?(a,a)≥a可知,?(a,b)≥min{a,b}.因此由Menger三角不等式可知,對任意x,y∈X和t>0,有Fx,y(2t)≥min{Fx,z(t),Fz,y(t)}.

由已知條件可知,存在x0,y0∈X,使得

由G(X,X)?g(X)可知,存在x1,y1∈X,使得

再由G(X,X)?g(X)可知,存在x2,y2∈X,使得

依此類推可知存在點列{xn}和{yn},使得

由G和g是廣義β-可容許的,且β(g(x0),G(x0,y0),t)=β(g(x0),g(x1),t)≤1和β(g(y0),G(y0,x0),t)=β(g(y0),g(y1),t)≤1,則

依此類推可知,對任意n∈N,t>0,

根據(jù)?的性質,對任意t>0,存在r>0使得t>?(r).由(4)式和(5)式可知

同理

設Qn(t)=min{Fg(xn),g(xn+1)(t),Fg(yn),g(yn+1)(t)}.則Qn∈D+.結合(6)式和(7)式可得,

由引理2.1可知,

設m,n∈N,且m>n,由(8)式和?≥?M可知,

由?是嚴增的,以及t→∞時,?(t)→∞可知,對任給的ε∈(0,1),存在n0∈N,使得對任意n>n0,有

由ε>0和t>0的任意性可知,序列{g(xn)}和{g(yn)}是(X,F,?)中的柯西列.由X的完備性,存在x,y∈X,使得

由g的連續(xù)性和(10)式可知,

由G和g的相容性和(10)式可知,對任意t>0,

利用Menger三角不等式和?≥?M得,

利用(11)式和(12)式,在(13)式中令n→∞可得,

下證,G(x,y)=g(x)和G(y,x)=g(y).分兩種情況證明:

(i)假設條件(a)成立,即G是連續(xù)的.由G的連續(xù)性和(10)式得

根據(jù)?的性質,對任意t>0,存在r>0使得t>?(r)>0.由Menger三角不等式和?≥?M可知,

利用(14)-(15)式,在(16)式中左右兩端取下極限可知,對任意的t>0,Fg(x),G(x,y)(t)≥1.則G(x,y)=g(x).同理,G(y,x)=g(y).

(ii)假設條件(b)成立.由?嚴增性可知,對任意λ∈(0,1)和r>0,有?(r)>?(λr).由Menger三角不等式和?≥?M可知,

由(5)式,g(xn)→x和g(yn)→y可知,β(g(xn),x,t)≤1和β(g(yn),y,t)≤1.又由g是β-可容許的,則

由(4)式和?≥?M可知,

由Menger三角不等式和?≥?M可得,

結合(17)-(19)式,可知

利用(11)式和(14)式,在(20)式中左右兩端取下極限可知,對任意的r>0,有

由?是嚴格增且左連續(xù)的,F也是左連續(xù)的,在(21)式中令λ→1,可得

由引理1.1可知,G(x,y)=g(x).同理可證G(y,x)=g(y).

綜上可知,存在x,y∈X,使得

即(x,y)∈X×X為G和g的二元重合點.

定理2.2假設在定理2.1中增加條件:(i)g是單射,(ii)對任意(x,y),(u,v)∈X×X,存在(z,w)∈X×X,使得對任意t>0,

則G與g有唯一二元重合點.

證明由定理2.1可知,G與g存在二元重合點.下證重合點的唯一性,假設存在(x,y),(u,v)∈X×X,使得

根據(jù)新增條件(ii),存在(z,w)∈X×X,使得對任意t>0,

β(g(x),g(z),t)≤1,β(g(u),g(z),t)≤1,β(g(y),g(w),t)≤1,

β(g(v),g(w),t)≤1,β(g(z),G(z,w),t)≤1和β(g(w),G(w,z),t)≤1.設z0=z和w0=w,由G(X×X)?g(X)可知,存在z1,w1∈X,使得

依次類推可知,存在X中兩序列{g(zn)}和{g(wn)},使得

由β(g(x),g(z0),t)≤1,β(g(y),g(w0),t)≤1.再根據(jù)G和g是廣義β-可容許的可得, β(G(x,y),G(z0,w0),t)=β(g(x),g(z1),t)≤1,β(G(y,x),G(w0,z0),t)=β(g(y),g(w1),t)≤1.依次類推可得,

同理

利用

和

再根據(jù)G和g是廣義β-可容許的,可得

根據(jù)?的性質,對任意t>0,存在r>0使得t>?(r).由(4)式和(22)式可知,

同理

設

結合(25)式和(26)式,可得

對(27)式分兩種情況討論:

證明可得,

相應的也可得

由(4)式可知,

同理

因此,

由引理2.2可知g(x)=g(u)和g(y)=g(v).

另一方面,若

則由(28)式得

在上式中令n→∞得

這表明g(zn)→g(x)和g(wn)→g(y).

2)假設

則由(27)式得

在上式中令n→∞得

這也表明g(zn)→g(x)和g(wn)→g(y).

同理可得g(zn)→g(u)和g(wn)→g(v).由序列收斂的唯一性可知g(x)=g(u)和g(y)=g(v).再由g是單射可知x=u和y=v.因此唯一性得證.

3 應用

例3.1設x,y∈X,t>0,則(X,F,?M)是完備的Menger PM-空間.

令g:X→X,G:X×X→X,?:[0,1]→[0,1],β:X×X×(0,∞)→(0,∞)定義如下:

容易驗證:G和g是連續(xù)的,G和g是β-可容許的,G(X×X)?g(X),?∈Φ.設x0=1和y0=1,則

由β的定義可知,β(g(x0),G(x0,y0),t)≤1和β(g(y0),G(y0,x0),t)≤1,?t>0.下證G和g是相容的.設{xn}和{yn}是X中的兩序列,使得

由G和g的連續(xù)性,可知

由Menger三角不等式和?=?M,可得

在上式中令n→∞,可得

同理

因此,G和g是相容的.

再由β的定義和(29)式可知,定理2.1的(4)成立.綜上可知G,g,?和β滿足定理2.1的所有條件,所以G和g在X中存在二元重合點,由G(2,2)=g(2)=2,則x=2為G和g的二元不動點.

[1] Menger K.Statistical metrics[J].Proc.Nat.Acad.Sci.USA,1942,28:535-537.

[2] Chang S S,Cho Y J,Kang S M.Probabilistic Metric Spaces and Nonlinear Operator Theory[M].Chengdu: Sichuan University Press,1994.

[3] ′Ciri′c L.Solving the Banach fi xed point principle for nonlinear contractions in probabilistic metric spaces[J]. Nonlinear Anal.,2010,72:2009-2018.

[4]Choudhury B S,Das K P.A new contraction principle in Menger spaces[J].Acta.Math.Sin.(Engl.Ser)., 2012,6:257-264.

[5] Baba?cev N A.Nonlinear generalized contraction on Menger PM-spaces[J].Appl.Anal.Discrete Math., 2008,23:1379-1386.

[6] Jachymski J.On probabilistic φ-contractions on Menger spaces[J].Nonlinear Anal.,2010,73:2199-2203.

[7] ′Ciri′c L,Mihet D,Saadati R.Monotone generalized contractions in partially ordered probabilistic metric spaces[J].Topology Appl.,2009,156:2838-2848.

[8] Fang J X,Gao Y.Common fi xed point theorems under strict contractive conditions in Menger spaces[J]. Nonlinear Anal.,2009,70:184-193.

[9] Fang J X.Common fi xed point theorems of compatible and weakly compatible maps in Menger spaces[J]. Nonlinear Anal.,2009,71:1833-1843.

[10] Xiao J Z,Zhu X H,Gao Y F.Common coupled fi xed point results for probabilistic φ-contractions in Menger spaces[J].Nonlinear Anal.,2011,74:4589-4600.

[11] Lakshmikantham V,′Ciri′c L.Coupled fi xed point theorems nonlinear contractions in partially ordered metric spaces[J].Nonlinear Anal.,2009,70:4341-4349.

[12] Hu X Q,Ma X Y.Coupled coincidence point theorems under contractive conditions in partially ordered probabilistic metric spaces[J].Nomlinear Anal.,2011,74:6451-6458.

[13] Dori′c D.Nonlinear coupled coincidence and coupled fi xed point theorems for not necessary commutative mappings in partially ordered probabilistic metric spaces[J].Appl.Math.Comput.,2013,219:5926-5935.

[14] 顏蘇芊,劉加平,黃翔.一類新型混合單調算子的不動點定理及在工程科技中的應用[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學, 2010,20(3):403-408.

[15] 卜香娟.Banach空間中一類序壓縮映射的不動點定理[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2012,28(3):334-341.

[16] Gopal D,Abbas M,Vetro C.Some new fi xed point theorems in Menger PM-spaces with application to Volterra type integral equation[J].Appl.Math.Comput.,2014,232:955-967.

Coupled coincidence point theorems for generalized β-admissible mappings in probabilistic metric spaces and its applications

Xu Wenqing,Zhu Chuanxi
(Department of Mathematics,Nanchang University,Nanchang330031,China)

In this paper,the new notion of generalized β-admissible mappings in Menger probabilistic metric spaces is introduced.We use the iterative method to establish some coupled coincidence point theorems for generalized β-admissible mappings in complete probabilistic metric spaces,where two mappings do not need to be commutative.Some new results are obtained,which generalize some fi xed point theorems and coupled coincidence point theorems in the recent corresponding literatures.Finally,an application is given to support our main results.

Menger probabilistic metric spaces,coupled coincidence point,β-admissible mappings, compatible mappings

O177.92

A

1008-5513(2014)05-0520-14

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.014

2014-05-02.

國家自然科學基金(11361042,11071108,11461045);江西省自然科學基金(20132BAB201001,2010GZS0147).

徐文清(1989-),碩士生,研究方向:應用泛函分析.

2010 MSC:47H10