Banach空間中線性離散時間系統的一致多項式膨脹性

雷國梁,岳田,宋曉秋

(1.湖北汽車工業學院理學院,湖北十堰442002;2.中國礦業大學理學院,江蘇徐州221008)

Banach空間中線性離散時間系統的一致多項式膨脹性

雷國梁1,岳田1,宋曉秋2

(1.湖北汽車工業學院理學院,湖北十堰442002;2.中國礦業大學理學院,江蘇徐州221008)

給出了Banach空間中線性離散時間系統一致多項式膨脹性的概念,并討論了其離散特征.借助Lyapunov函數給出了線性離散時間系統滿足一致多項式膨脹的充要條件.所得結論將一致指數穩定性、指數膨脹性及多項式穩定性中的若干經典結論推廣到了一致多項式膨脹性的情形.

線性離散時間系統;一致多項式膨脹性;Lyapunov函數

1 引言

近年來,關于有限或無限維Banach空間中演化方程解的漸近行為研究取得了突破性的進展,尤其對于演化型算子的指數型漸近行為做了大量研究,獲得了非常豐富的成果[113].如文獻[1]利用Banach函數空間及序列空間給出了Banach空間中斜積半流一致指數不穩定的充要條件;文獻[2-3]分別討論了Banach空間中演化族與斜積流的一致指數不穩定性;文獻[4]利用完全容許性給出了線性斜積流一致指數膨脹的離散和連續型特征;文獻[7-8]分別對Banach空間中演化族及斜演化半流的弱指數膨脹性進行了相關討論,給出了滿足相應概念的若干充要條件.對于線性離散時間系統解的指數型漸近行為,文獻[9-11]分別給出了其滿足指數穩定、指數二分、指數三分的若干離散特征.

自從Barreira L,Valls C[14]提出多項式漸近概念以來,關于演化方程多項式的漸近行為的研究已成為一個熱點問題,但目前大都局限于多項式穩定性方面的研究.如文獻[15]針對演化算子提出了一致多項式穩定、Barreira-Valls意義下多項式穩定、非一致多項式穩定三個概念,并分別給出了相應的積分特征,同時指出了三者之間的聯系與區別;文獻[16]重點討論了演化算子在Barreira-Valls意義下呈多項式穩定的相關特征.與多項式穩定性相比,演化方程多項式膨脹性研究相對較少,本文將在上述文獻的基礎上,給出Banach空間中線性離散時間系統一致多項式膨脹性概念,利用指數型漸近行為研究方法,給出其相應的充要條件.且作為應用,借助Lyapunov函數給出線性離散時間系統一致多項式膨脹性的特征.

2 預備知識

設X為一實或復的Banach空間,記空間X上的范數及作用其上的有界線性算子全體B(X)中的范數為||·||.記

I為X上的恒等算子.

考慮如下線性離散時間系統:

其中A:N→B(X)是B(X)中的一個序列.則系統(1)的每個解x={xn}將可表示為:

其中,定義映射:

由此可以驗證如下關系成立:

特別地,當(1)式為一個自治系統,即

則有

定義2.1稱系統(1)為一致多項式膨脹的,如果存在兩個常數N≥1及α>1,使得

注2.1顯然,系統(1)是一致多項式膨脹的當且僅當存在兩個常數N≥1及α>1,使得

但現在，我發現我錯了，卻不知錯在哪里。錯在我當初的選擇嗎？錯在我沒有教學能力嗎？錯在我的教學水平越來越低嗎？

例2.1設X=R,考慮映射:

則

進而

故在定義2.1中取N=α=2,即可得系統(1)是一致多項式膨脹的.

定義2.2稱映射L:?×X→R為系統(1)的一致多項式膨脹Lyapunov函數,如果存在常數μ>1,使得

3 主要結論

定理3.1系統(1)是一致多項式膨脹的當且僅當存在常數M≥1,ω>0,L≥1及l>0,使得?(m,n,p,x)∈T×X,有如下兩個不等式成立:

證明必要性.(a)式顯然,下證(b)式.

由此可得,

充分性.當m>2n時,則由條件可得,

進而

當2n≥m≥n時,則由(a)式可得,

綜上可知系統(1)是一致多項式膨脹的.

注3.1若線性離散時間系統(1)滿足(a)式,則稱其是多項式衰退的.

定理3.2具有多項式衰退的線性離散時間系統(1)是一致多項式膨脹的當且僅當存在一致多項式膨脹Lyapunov函數及常數K≥1,使得

證明必要性.定義

其中常數l由定義2.1給出.下證它為一致多項式膨脹Lyapunov函數.

其中(m,n,p,x)∈T×X,m>n.

由定理3.1知,存在常數L≥1,使得

充分性.當n=p時,則由已知條件及一致多項式膨脹Lyapunov函數的定義可知,存在K≥1和μ>1,使得

進而由定理3.1可得系統(1)是一致多項式膨脹的.

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On uniform polynomial expansiveness of linear discrete-time systems in Banach spaces

Lei Guoliang1,Yue Tian1,Song Xiaoqiu2
(1.School of Science,Hubei University of Automotive Technology,Shiyan442002,China; 2.College of Science,China University of Mining and Technology,Xuzhou221008,China)

In this paper we study uniform polynomial expansiveness concept for linear discrete-time systems in Banach spaces.Our main objective is to give discrete characterizations for uniform polynomial expansiveness. As for applications we obtain a necessary and sufficient condition in terms of Lyapunov functions.Well-known results for uniform exponential stability,exponential expansiveness and polynomial stability are extended to the case of uniform polynomial expansiveness.

linear discrete-time systems,uniform polynomial expansiveness,Lyapunov function

O231

A

1008-5513(2014)05-0485-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.008

2014-08-04.

國家自然科學基金(51374199);中央高?；究蒲袠I務費專項資金(2012LWB53).

雷國梁(1971-),碩士,講師,研究方向：應用數學.

2010 MSC:34D20,34D05