一類高階變系數線性非齊次微分方程的解

賈慶菊

(山西財經大學應用數學學院,山西太原030006)

一類高階變系數線性非齊次微分方程的解

賈慶菊

(山西財經大學應用數學學院,山西太原030006)

利用高階變系數之間的關系,通過適當的線性變換,得到了五階變系數線性非齊次方程常系數化的條件,給出了一類高階變系數線性非齊次微分方程的新解法.

高階;變系數線性非齊次微分方程;線性變換;常系數線性非齊次微分方程

1 引言

線性微分方程在科學研究、工程技術中有著廣泛的應用.常系數線性微分方程,利用特征方程和常數變易法,求解問題已經徹底解決.但在生產實踐以及經濟領域中,人們常會遇到二階或更高階變系數線性微分方程.因此,探討它們的解法具有重要理論意義和使用價值.這類方程雖然在理論上證明了解的存在性,但在實際求解中并不如意,尤其是高階變系數線性非齊次微分方程沒有一般的解法.為了滿足理論研究和工程實踐的需要,人們用不同的方法不斷擴大變系數線性微分方程的可積類型,取得了不少成果.文獻[1-3]討論二階變系數線性方程求解;文獻[4-5]利用首次積分或變量代換將高階微分方程化為可求解的微分方程,求解的基本原則是降階的;文獻[6-8]僅討論了二階變系數線性齊次方程常系數化問題.受著名的歐拉(Euler)方程的啟發,試圖尋找一種新的求解高階變系數線性非齊次方程方法.那么,高階變系數線性非齊次方程能否常系數化?常系數化的條件又是什么?本文借助高階變系數之間的關系,通過適當的變量替換,將一類高階變系數線性非齊次微分方程化為高階常系數線性非齊次微分方程求解.

2 主要結果及證明

定理1五階變系數線性非齊次微分方程:

當系數滿足:

其中,mi(i=1,2,3,4)為常數.可通過變換

將(1)式化為五階常系數線性非齊次微分方程求解.

證明令則

求出通解回代原來變量可得原方程通解.

定理2四階變系數線性非齊次微分方程:

當系數滿足:

其中,ki(i=1,2,3)為常數.可通過變換

將(3)式化為四階常系數線性非齊次微分求解.

證明令則

將y,y′,y′,y′′,y(4)及(4)式代入(3)式得到易求解四階常系數線性非齊次微分方程:

求出通解回代原來變量可得原方程通解.

定理3三階變系數線性非齊次微分方程:

當系數滿足:

其中,bi(i=1,2)為常數.可通過變換

將(5)式化為三階常系數線性非齊次微分方程求解.

證明令

將y,y′,y′,y′′及(6)式代入(5)式可得易求解的三階常系數線性非齊次微分方程:

求出通解回代原來變量可得原方程通解.

定理4[3]二階變系數線性非齊次微分方程

當系數滿足:

3 主要結論的應用

例1[7]求解方程xy′+2y′?xy=ex.

解x/=0原方程改寫為:

因為

所以,(9)式可通過變換:

化為二階常系數線性非齊次微分方程:

例2[8]求解方程x2y(4)+8xy′′+12y′+x2y=2ex.

解x/=0原方程改寫為:

因為

所以,(11)式可通過變換

化為四階常系數線性非齊次微分方程:

用比較系數法求得(12)式通解:

代回原來變量y,得到原方程的通解:

4 結束語

類似地,可以給出六階變系數線性非齊次微分方程常系數化的條件.順便指出,用這種方法可以得到更高階變系數線性非齊次微分方程常系數化的條件,只是計算比較復雜.

[1]彭仕章.一類可積二階變系數線性非齊次常微分方程[J].純粹數學與應用數學,1993,9(2):99-100.

[2]馮偉杰,魏光美.二階變系數線性微分方程的通解[J].高等數學研究,2012,15(3):28-30.

[3]敏志奇.一類變系數線性微分方程的可積定理及應用[J].甘肅高師學報,2010,15(2):6-7.

[4]賈慶菊.高階變系數線性微分方程的解[J].中央民族大學學報學報:自然科學版,2012,21(2):32-35.

[5]賈慶菊,馮文俊,武躍祥.某些黎卡蒂(Riccati)方程的解[J].中央民族大學學報學報:自然科學版,2013, 22(1):48-51.

[6]王高雄,周之銘,朱思銘.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006.

[7]鐘益林,彭樂群,劉炳文.常微分方程及其Maple,Matlab求解[M].北京:清華大學出版社,2007.

[8]莊萬.常微分方程習題解[M].2版.山東:山東科學技術出版社,2004.

A solution of higher-order variable coefficient nonhomogeneous linear di ff erential equation

Jia Qingju
(Faculty of Applied Mathematics of Shanxi University Finance and Economics,Taiyuan030006,China)

The paper,by using higher-order relationship between of variable coefficient,through appropriate linear transformations of variables,and won fi ve-order variable coefficients linear di ff erential equation with constant sufficient conditions,gives a new solution to the higher-order variable coefficients linear non-homogeneous di ff erential equations.

higher-order,variable coefficients linear non-homogeneous di ff erential equation, linear transformation,constants coefficients linear non-homogeneous di ff erential equation, sufficient condition

O175

A

1008-5513(2014)03-0234-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.003

2014-04-15.

國家自然科學基金(11126027);山西財經大學校級教改項目(2013132);山西財經大學校級教學團體項目.

賈慶菊(1956-),副教授,研究方向:常微分方程與應用數學.

2010 MSC:34B15