一類單調算子的新不動點定理

王維娜,薛西鋒

(西北大學數學學院,陜西西安710127)

一類單調算子的新不動點定理

王維娜,薛西鋒

(西北大學數學學院,陜西西安710127)

利用單調迭代法、數學歸納法以及序差距的性質,在半序Banach空間中探究不具有緊性、連續性以及任何凹凸性的單調算子不動點存在以及惟一性問題,得出其新不動點定理,這些結果對相關結論進行了推廣,使其適用范圍更廣,同時將該結論應用于求解Volterra型積分方程組問題中.

單調算子;正規錐;不動點;序差對;序差距

1 引言及預備知識

對于單調算子不動點的研究,現已有許多的結果[1-8].有些文獻在研究單調算子不動點時,要求單調算子具有某種緊性或連續性或凹凸性,文獻[1]利用序差的性質及數學歸納法,文獻[2-7]運用錐理論知識和單調迭代技巧,文獻[8]采用與以往大不相同的假設和迭代格式均研究了不具有以上條件而滿足其他某些條件的單調算子的不動點存在惟一性問題.本文在半序Banach空間中引入序差對和序差距的概念,利用單調迭代法、數學歸納法以及序差距的性質,去掉單調算子的緊性、連續性以及凹凸性,在更廣泛的條件下,得到半序Banach空間中單調算子的新不動點定理,同時將其結論應用于求解Volterra型積分方程組的問題中,使其求解更加簡便.

設E是Banach空間,P是E中的一個錐[3].

定義1.1錐P是正規的,若存在常數N>0,使得θ≤x≤y?∥x∥≤N∥y∥,且稱滿足條件的最小正數N為P的正規常數.

定義1.2P是E中的錐,θ≤u≤v,對于h∈P,若?M>0,使得v≤Mh,則令

稱a?b為u和v的h-序差,并且記dh(u,v)=a?b.

定義1.3設a?b,c?d分別為u和v,r和s的h-序差,即dh(u,v)=a?b,dh(r,s)=c?d,則(dh(u,v),dh(r,s))為序差對.

定義1.4稱序差對(dh(u,v),dh(r,s))到(0,0)點的距離為序差距,并且記為

定義1.5設E是半序空間[3],在E×E中定義新的半序關系:若x1≤x2,y1≥y2,則記(x1,y1)≤(x2,y2).

引理1.1設E是Banach空間,P為E中一個錐,則E×E在定義1.5的半序下是半序空間.

證明(i)?(x1,y1)∈E×E,都有x1≤x1,y1≥y1,即(x1,y1)≤(x1,y1).

(ii)若(x1,y1)≤(x2,y2),且(x2,y2)≤(x3,y3),則有

故有x1≤x3,y1≥y3,即(x1,y1)≤(x3,y3).

(iii)若(x1,y1)≤(x2,y2),且(x2,y2)≤(x1,y1),則有

故有x1=x2,y1=y2,即(x1,y1)=(x2,y2).

由(i),(ii),(iii)可知E×E在定義1.5的半序下是半序空間.

引理1.2設B,C:[u0,v0]→E均為增算子,令A(x,y)=(Bx,Cy),則A在≤下是增算子;若B,C:[u0,v0]→E均為減算子,則A(x,y)=(Bx,Cy)在≤是減算子.

證明對任意x1,x2,y1,y2∈[u0,v0],若(x1,y1)≤(x2,y2),即x1≤x2,y1≥y2,又因為B,C為增算子,所以Bx1≤Bx2,Cy1≥Cy2,故有

則A為增算子.

若B,C均為減算子,當(x1,y1)≤(x2,y2)時,有Bx2≤Bx1,Cy2≥Cy1,即

則A為減算子.

2 主要結果

定理2.1設P是E中的錐,θ≤u≤v,θ≤r≤s,h∈P,且?M,L>0,使得v≤Mh, s≤Lh,那么,

(i)

(ii)d(dh(u,v),dh(r,s))=0,則u=v,r=s.

(iii)若θ≤u1≤u≤v,θ≤r1≤r≤s,則

(iv)

證明(i)因為dh(u,v)≥0,dh(r,s)≥0,所以

又因為dv(u,v)≤1,ds(r,s)≤1,所以

(ii)因為

要使等式成立,需滿足dh(u,v)=0,且dh(r,s)=0.又因為dh(u,v)=0,則u=v;dh(r,s)=0,則r=s,故有u=v,r=s.

(iii)因為當θ≤u1≤u≤v,θ≤r1≤r≤s時,有

所以

得證.

所以

又因為?k∈[0,1],有dv(kv,v)=1?k,ds(ks,s)=1?k,所以

得證.

定理2.2設P是E中的正規錐,

為增算子,其中B,C:[u0,v0]→E均為增算子,且滿足下列條件:

則A在[u0,v0]×[u0,v0]中有惟一不動點(x?,y?),且對任意的初值x0,y0∈[u0,v0],迭代序列xn=Bxn?1,yn=Cyn?1(n=1,2,………),必有xn→x?,yn→y?.

證明令

由條件(i),以及B,C是增算子可知,

由條件(ii),取k∈(0,1),可得

所以,當n→∞時,

即?ε>0,?N>0,使得當n>N時,有:

令

由(3)式可得:

由P的正規性,以及(4)式可得:

所以

由(1)和(2)式可得:

由(2)和(6)式可知,

由P的正規性,以及(5)式得

故{xn},{yn}都是Cauchy列.故存在(x?,y?)∈[u0,v0]×[u0,v0],使得

由(2)和(7)式可知,

則

定理2.3設P是E中的正規錐,θ≤u0≤v0,A(x,y)=(Bx,Cy):[u0,v0]×[u0,v0]→E×E為減算子,其中B,C:[u0,v0]→E均為減算子,且滿足下列條件:

(i)u0≤Bu0,Bv0≤v0,u0≤Cu0,Cv0≤v0;

(ii)?x,y,z,w∈[u0,v0],若x≤y,z≤w,則

則A在[u0,v0]×[u0,v0]中有惟一不動點(x?,y?),且對任意的初值x0,y0∈[u0,v0],迭代序列xn=Bxn?1,yn=Cyn?1(n=1,2,………),必有xn→x?,yn→y?.

證明令H(x,y)=A2(x,y)=(B2x,C2y),易驗證H:[u0,v0]×[u0,v0]→E×E為增算子,且

?x,y,z,w∈[u0,v0],若x≤y,z≤w,由條件(ii)可知:

故定理2.2的條件(i),(ii)均滿足,所以定理2.3的結論成立.

3 應用

研究Volterra型積分方程組解的問題:

其中,k(t,s)在[0,1]×[0,1]上非負連續,f1(t,u),f2(t,v)在[0,1]×R上非負且分別關于u,v單調遞增.設

定理3.1在以上條件下,方程組解的問題(9)有惟一的恒正解:

并且若(x0,y0)為初始點作迭代序列:

則(un(t),vn(t))在P×P上一致收斂于(u?(t),v?(t)).

證明?(u,v)∈P×P,令

設A(u,v)(t)=(Bu(t),Cv(t)).由假設條件易知:P×P→E×E滿足定理2.3的條件(i),(ii).則該定理的結論成立.

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New fi xed point theorems of the monotone operator and its application

Wang Weina,Xue Xifeng
(School of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

In order to explore the existence and uniqueness of monotone operator without compactness,continuity,and any convex conditions fi xed points in partially ordered Banach space,the paper uses the monotone iterative method and mathematical induction as well as the properties of the sequence gaps.Then we obtained the new fi xed point theorems of it.The results obtained generalize the related conclusion,so that it can be widely applicable scope,Meanwhile the conclusion is applied to solve the problem for Volterra integral equation group.

monotone operator,normal cone, fi xed point,order di ff erence pair,sequence gaps

O177.91

A

1008-5513(2014)03-0292-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.011

2014-01-09.

陜西省自然科學基金(2012JM1017).

王維娜(1988-),碩士生,研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:47H10