三階柯西差分方程在幾類群上的解

楊林曉,趙侯宇

(重慶師范大學數學學院,重慶401331)

三階柯西差分方程在幾類群上的解

楊林曉,趙侯宇

(重慶師范大學數學學院,重慶401331)

在幾類群上討論了三階柯西差分方程解的存在性問題，將二階柯西差分方程的已有結論進一步推廣到三階的情況,并給出在不同群上的一般解.

函數方程;群;柯西差分

1 引言與預備知識

設(G,…)是一個群,(H,+)是一個交換群,e∈G和0∈H分別表示群G和群H上的單位元.若映射f:G→H,則f的柯西差分為C(m)f定義為:

其中一階柯西差分C(1)f簡寫為Cf.

關于柯西差分方程的討論已有許多結果[1-7],文獻[7]中,作者討論了二階柯西差分方程在群上的解,本文在此基礎上進一步考慮方程:

在幾類群上的解.其中xi∈G,i=1,2,3,4.事實上,此方程等價于f的三階柯西差分方程,即C(3)f=0.(2)式的一般解可用下式表示:

且有

類似于文獻[7],有如下兩個引理,此處省略其證明過程.

引理1.1設(G,…)是一個群,(H,+)是一個交換群,且f:G→H.若f滿足(2)式,則有以下結論成立:

其中?x,y,z,μ,ν∈G,n,n1,n2∈

注1.1方程(4)來源于C(3)f=0,由(1)式可知C(2)f(…,y,z)是一個態射,C(2)f對于它的第二個元素和第三個元素同樣也是一個態射,即從C(2)f的定義中也可推出(3)式.

下面等式?f:G→H均成立:

引理1.2如果f∈Ker C(3)(G,H),則

其中xi∈G和ni∈,i=1,2,………,l.該引理的證明類似于文獻[2],故省略此處證明.

注1.2上述引理是(4)式的推廣,如果在(5)式中令l=2,x1=x2=x,則由(5)式可得到(4)式,此時n=n1+n2.事實上,

其中?n1,n2∈.

2 方程(2)在n階對稱群Sn上的解

考慮方程(2)在G=Sn時的情況.此時,當n=1和n=2的情形是平凡的,不妨設n≥3.若f∈Ker C(3)(G,H),由(3)式知C(2)f是三態射,且H是一個交換群,因此

其中?x,y,zi∈Sn,π是任意一個n級排列.類似地有,

其中?x,y,z,xi,yi∈Sn,π是任意一個n級排列.

設σ是任意的一個n階對稱群Sn上的2-循環(即一個對換).由Cf的定義并利用σ2=e和引理1.1可得,

而且,利用σ4=e,σ3=σ,及(1)式得

由于C(3)f=0,得

對于2-循環σ,?z∈Sn使得σ和2-循環(1 2)滿足:σ=z(1 2)z?1.?x,y∈Sn,由(6)式有

類似地,利用(7)式和(8)式,?2-循環τ,π和?x,y,z∈Sn,可得,

結合(10)-(12)式,得

其中?2-循環σ,τ,π∈Sn.而

其中?x,2-循環σi∈Sn,π是任意的n級排列.

類似地,可得

其中?y,2-循環τi∈Sn,π是任意的n級排列.?2-循環σ,τ∈Sn,由(14),(15)式有

因此可得,

其中2-循環σi∈Sn,π是任意的n級排列.

引理2.1[7]對任意的x,y,β∈Sn,其中β是一個2-循環,則

特別地,在(16)式中令x=y=e,有f(β)=f((1 2)),其中2-循環β∈Sn.

下面求(2)式在群Sn上的解.

定理2.1f∈Ker C(3)(Sn,H)當且僅當f滿足下式:

其中h0∈H是一個常數且滿足8h0=0.

證明設f∈Ker C(3)(Sn,H).設x∈Sn,則存在2-循環αi∈Sn,i=1,………,p,使得x=α1α2………αp.故

由(9)式,得8f((1 2))=0.因此由(18)式可推出

令h0:=f((1 2)),這就證明了f一定滿足(17)式.相反的,設f:Sn→H,滿足(17)式,其中h0∈H是一個常數且滿足8h0=0.易證f滿足(2)式.證畢.

注2.1如果p是偶數,則

如果p是奇數,則

3 方程(2)在有限循環群Gn上的解

設Gn=〈a|an=e〉是由元a生成的n階有限循環群.

定理3.1設f:Gn→H是方程(2)的一般解,則

其中?p∈Z,f(a),Cf(a,a),C(2)f(a,a,a)是群H上的常數且滿足:

證明設f:Gn→H滿足方程(2).則由(4)式得,f滿足(19)式:

又因為an=e,由引理1.1,得

及

這就證明了(20)-(22)式.

反之,設f:Gn→H由(19)式定義,其中f(a),Cf(a,a),C(2)f(a,a,a)是群H上的常數且滿足(20)-(22)式,故有f是定義在群Gn上的.由(20)-(22)式知,

即f(ap)=f(ap+n).

?x1=ak,x2=al,x3=am,x4=an∈Gn,易證

故f滿足方程(2).定理得證.

4 方程(2)在二面體群Dn上的解

設Dn=〈a,b|an=e,b2=e,abab=e〉是2n(n≥2)階二面體群.

定理4.1設f:Dn→H是方程(2)的一般解,則f滿足以下形式:

?p,q∈Z,f(a),f(b),Cf(a,a),Cf(b,b),Cf(a,b),C(2)f(a,a,a),C(2)f(b,b,b),C(2)f(a,a,b)和C(2)f(a,b,b)是群H上的常數,且滿足:

注4.1由上述等式可推出8f(a)=8f(b)=0.由(25)-(35)式,有

證明設f:Dn→H滿足(2)式.由引理1.2可知

其中xi∈{a,b}.特別地,令x1=a,x2=b，?=2,可得(24)式.

由引理1.1知,對每個群Dn中由a,b生成的滿足w=e的元有,

?x和y∈Dn.因為a,b是Dn的生成元,(37)式對于所有的x成立當且僅當x=a和x=b時(37)式也成立:

又因為C(2)f是一個三態射,a和b是Dn的生成元,(38)式對于所有的x,y成立當且僅當x=a,y=a;x=a,y=b;x=b,y=a;x=b,y=b這四種情形時(38)式也成立:

由群Dn的定義,在(36),(39)-(44)式中分別令w=an,w=b2和w=abab,可推出(25)-(35)式.

反之,設f:Dn→H由(24)式定義,其中f(a),f(b),Cf(a,a),Cf(b,b),Cf(a,b), C(2)f(a,a,a),C(2)f(b,b,b),C(2)f(a,a,b)和C(2)f(a,b,b)是群H上的常數,且滿足(25)-(35)式.可直接驗證(36)-(38)式.這就完成了證明.

注4.2在(24)式中,如果q是偶數,結合(25)-(35)式,有

如果q是奇數

[1]Aczel J,Chung J K,Ng C T.Symmetric Second Di ff erences in Product Form on Groups[M].Singapore: World Scienti fi c Publ.Co.,1989.

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[7]Ng C T,Zhao H Y.Kernel of the second order Cauchy di ff erence on groups[J].Aequationes Math., 2013,86:155-170.

Kernel of the third order Cauchy di ff erence on several groups

Yang Linxiao,Zhao Houyu
(School of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing401331,China)

In this paper,we study the existence of solutions of third order Cauchy di ff erence on several groups, extend and improve some recent results to third order Cauchy di ff erence equation,and present its general solution on these groups.

functional equation,group,Cauchy di ff erence

O151

A

1008-5513(2014)03-0314-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.014

2013-12-09.

國家自然科學基金(11326120);重慶師范大學自然科學基金(12XLZ04);重慶高校創新團隊建設計劃資助項目(KJTD201308).

楊林曉(1988-),碩士生,研究方向：微分方程與動力系統.

趙侯宇(1982-),博士,講師,研究方向：微分方程與動力系統.

2010 MSC:39B52,39A70