Gorenstein fp-平坦和強Gorenstein fp-平坦模

陳文靜

(西北師范大學數學與統計學院,甘肅蘭州730070)

Gorenstein fp-平坦和強Gorenstein fp-平坦模

陳文靜

(西北師范大學數學與統計學院,甘肅蘭州730070)

引入了Gorenstein fp-平坦模和強Gorenstein fp-平坦模的概念,討論了這兩類模的一些性質、聯系以及穩定性.

Gorenstein fp-平坦模;強Gorenstein fp-平坦模;投射可解類

1 引言及準備

1969年,文獻[1]對雙邊Noether環上的有限生成模定義了G-維數為零的模.隨后,文獻[2-3]引入Gorenstein投射模、Gorenstein內射模和Gorenstein平坦模的概念.2004年,文獻[4]引入了投射可解類和內射可解類的概念.近年來,眾多學者對這些模類進行了研究[5-7].

2000年,文獻[8]引入了fp-投射模、fp-內射模和fp-平坦模的概念.實際上,fp-投射模、fp-內射模和fp-平坦模分別是投射模、FP-內射模和平坦模的推廣.2011年,文獻[9]研究了這三種模,并得到了這些模與一些環的等價刻畫.

本文研究了Gorenstein fp-平坦和強Gorenstein fp-平坦模的一些性質、聯系及穩定性.

除非特別申明,環R是具有單位元的結合環,所有涉及的模均是左酉模.對任意的模M,用M+表示模M的示性模HomZ(M,/).對未作解釋的事實和概念,請參見文獻[10].

稱左R-模M是Gorenstein平坦模[3],如果存在一個平坦左R-模的正合列

稱左R-模M是弱Gorenstein內射模[7],如果存在一個內射左R-模的正合列

稱左R-模M是強Gorenstein平坦模[6],如果存在一個投射左R-模的正合列

稱左R-模N是fp-平坦模[8],如果對任意有限表示右R-模的單同態K→L, K?RN→L?RN是單同態.稱左R-模M是fp-內射模[8],如果對任意有限表示左R-模的單同態K→L,HomR(L,M)→HomR(K,M)是滿同態.對偶地可定義fp-投射模.

稱左R-模M是FP-內射模[11],如果對任意有限表示左R-模

稱R是左IF環[12],如果每個內射左R-模是平坦模.

2 Gorenstein fp-平坦模

定義2.1稱M是Gorenstein fp-平坦左R-模,如果存在一個平坦左R-模的正合列

注2.1(1)每個Gorenstein fp-平坦模是Gorenstein平坦模.

(2)Gorenstein fp-平坦模類關于直和封閉.

(3)若L=………→L1→L0→L0→L1→………滿足定義2.1,則由對稱性可知,L的所有核、像和上核都是Gorenstein fp-平坦模.

(4)如果M是Gorenstein fp-平坦左R-模,那么對任意的fp-內射右R-模Q及正整數

(5)平坦模是Gorenstein fp-平坦模.

定義2.2稱左R-模M是Gorenstein fp-內射模,如果存在一個內射左R-模的正合列

定理2.1如果M是Gorenstein fp-平坦左R-模,那么M+是Gorenstein fp-內射右R-模.

證明因為M是Gorenstein fp-平坦左R-模,所以存在平坦左R-模的正合列

是正合的,并且

是內射右R-模的正合列,使得M+Im((F0)+→(F1)+).由伴隨同構可得,

是正合的.因此,M+是Gorenstein fp-內射右R-模.

定理2.2在凝聚環上Gorenstein fp-平坦模類是投射可解類,并且關于直和項封閉.

證明類似于文獻[4]中定理3.7的證明.

命題2.1設R是左Noether環.則M是Gorenstein fp-平坦右R-模當且僅

當M是Gorenstein平坦的.

證明?)由注2.1,結論顯然.

?)設M是Gorenstein平坦右R-模.因為R是左Noether環,所以R是左凝聚環.故由文獻[9]中定理2.4,每個fp-內射左R-模是FP-內射的.在左Noether環上FP-內射左R-模是內射的,于是在左Noether環上fp-內射左R-模是內射的.因此,M是Gorenstein fp-平坦的.

命題2.2設R是雙邊IF環.則每個弱Gorenstein內射模是Gorenstein fp-平坦模.

證明設M是弱Gorenstein內射模,于是存在內射模的正合列

3 強Gorenstein fp-平坦模

定義3.1稱M是強Gorenstein fp-平坦左R-模,如果存在一個投射左R-模的正合列

注3.1(1)強Gorenstein fp-平坦模是強Gorenstein平坦模.

(2)強Gorenstein fp-平坦模類關于直和封閉.

(3)若L=………→L1→L0→L0→L1→………滿足定義3.1,則由對稱性可知,L的所有核、像和上核都是強Gorenstein fp-平坦模.

(4)投射模是強Gorenstein fp-平坦模.

引理3.1M是強Gorenstein fp-平坦模當且僅當存在一個投射R-模的正合列

引理3.2設M是強Gorenstein fp-平坦模,Q是fp-平坦模.則有,對于i≥1,

引理3.3設M是R-模,Q是fp-平坦R-模.如果對任意正整數i有那么對于M的任意投射分解P,HomR(P,Q)是正合的.

命題3.1M是強Gorenstein fp-平坦模當且僅當存在R-模的短正合列

其中P是投射模,N是強Gorenstein fp-平坦模.

證明?)由定義3.1,結論顯然.

?)因為N是強Gorenstein fp-平坦模,所以存在投射R-模的正合列

使得N～=Im(P0→P0),并且對任意fp-平坦模Q,HomR(P?,Q)是正合的.于是存在正合列

且HomR(X,Q)是正合的.由引理3.1,

是正合的.于是可得R-模的正合列

且HomR(Y,Q)是正合的.由引理3.2和引理3.3,對于M的任意投射分解Z,HomR(Z,Q)是正合的.不妨設

將Y和Z接起來可得投射R-模的正合列

使得M～=Im(P0→P),并且HomR(W,Q)是正合的.因此,M是強Gorenstein fp-平坦模.

引理3.4設0→M′→M→M′→0是R-模的短正合列.如果M′和M′是強Gorenstein fp-平坦模,那么M也是強Gorenstein fp-平坦模.

證明類似于文獻[5]中引理3.1的證明.

定理3.1強Gorenstein fp-平坦模類是投射可解類.

證明由注3.1,投射模是強Gorenstein fp-平坦模.考慮正合列

其中M′是強Gorenstein fp-平坦模.若M′是強Gorenstein fp-平坦模,則M是強Gorenstein fp-平坦模.設M是強Gorenstein fp-平坦模.則存在R-模的短正合列

其中P是投射模,N是強Gorenstein fp-平坦模.考慮M→P和M→M′的推出:

因為N和M′′是強Gorenstein fp-平坦模,所以由引理3.4,A是強Gorenstein fp-平坦模.因為P是投射模,A是強Gorenstein fp-平坦模,所以由命題3.1,M′是強Gorenstein fp-平坦模.

推論3.1每個強Gorenstein fp-平坦右R-模是Gorenstein fp-平坦右R-模.

證明由注3.1和定理3.1知,類似于文獻[4]中命題1.4的證明.

定理3.2設0→M→N→L→0是R-模的短正合列.如果M和N是強Gorenstein fp-平坦模,那么L是強Gorenstein fp-平坦模當且僅當對任意fp-平坦模

證明?)由引理3.2,結論顯然.

?)因為M是強Gorenstein fp-平坦模,所以存在R-模的短正合列

其中P是投射模,A是強Gorenstein fp-平坦模.考慮M→P和M→N的推出:

B是強Gorenstein fp-平坦模.于是存在R-模的短正合列0→B→H→C→0,其中H是投射模,C是強Gorenstein fp-平坦模.考慮B→L和B→H的推出:

證明?)由定義3.1和注3.1易得.

?)由引理3.2和引理3.3得,對于M的任意投射分解X,HomR(X,Q)是正合的.不妨設

另一方面,令Ai=Im(Gi→Gi+1).因為G0是強Gorenstein fp-平坦模,所以由命題3.1,存在R-模的短正合列

其中P0是投射模,B是強Gorenstein fp-平坦模.考慮G0→A0和G0→P0的推出:

且HomR(G?,Q)是正合的.繼續同樣的方法.于是可得R-模的正合列

其中每個Pi是投射模,并且HomR(Y,Q)是正合的.將X和Y接起來,可得投射模的正合列

命題3.2每個強Gorenstein fp-平坦右R-模是Gorenstein fp-平坦右R-模.

證明由定義2.1,定義3.1,文獻[9]中引理2.1,類似于本文定理2.1的證明.

命題3.3設R是左凝聚環.則M是強Gorenstein fp-平坦右R-模當且僅當M是強Gorenstein平坦右R-模.

證明?)由注3.1,M是強Gorenstein平坦右R-模.

?)設M是強Gorenstein平坦右R-模.因為R是左凝聚環,所以由文獻[9]中定理2.4得,每個fp-平坦右R-模是平坦模.因此M是強Gorenstein fp-平坦右R-模.

[1]Auslander M,Bridger M.Stable Module Theory[M].American Mathematical Society:Providence Rbode Island,1969.

[2]Enochs E E,Jenda O M G.Gorenstein injective and projective modules[J].Math.Zeit.,1995,220:611-633.

[3]Enochs E E,Jenda O M G,Torrecillas B.Gorenstein fl at modules[J].Nanjing Daxue Xuebao Bannian Kan, 1993,10:1-9.

[4]Holm H.Gorenstein homological dimensions[J].J.Pure Appl.Algebra,2004,189(1):167-193.

[5]Enochs E E,Iacob A,Jenda O M G.Closure under trans fi nite extensions[J].Illinois J.Math.,2007,51:561-569.

[6]Ding N,Li Y,Mao L.Strongly Gorenstein fl at modules[J].J.Aust.Math.Soc.,2009,86(3):323-338.

[7]Gao Z.Weak Gorenstein projective,injective and fl at modules[J].J.Algebra Appl.,2013,12(2):3841-3858.

[8]Garkusha G A,Generalov A I.Duality for categories of fi nitely persented modules[J].St.Pet.Math.J., 2000,11:1051-1061.

[9]Mao L.Remark on fp-injective and fp- fl at modules[J].Arab.J.Sci.Eng.,2011,36:1013-1022.

[10]Rotman J J.An Introduction to Homological Algebra[M].New York:Academic Press,1979.

[11]Stenstr¨om B.Coherent rings and FP-injective modules[J].J.Lond.Math.Soc.,1970,2:323-329.

[12]Colby R R.Rings which have fl at injective modules[J].J.Algebra,1975,35:239-252.

[13]Ding N,Chen J.The fl at dimension of injective modules[J].Manu.Math.,1993,78:165-177.

2010 MSC:16D40

《純粹數學與應用數學》稿約

1 本刊是經國家科委、新聞出版署批準公開發行的數學及其應用的綜合性學術刊物,主要刊登數學學科中有創造性的研究論文和具有重要經濟價值的應用性論文,以繁榮數學理論,推進應用數學研究.本刊2000年榮獲《CAJ-CD規范》執行優秀獎,2004年入選全國中文核心期刊,2006年獲陜西省出版編輯良好獎.2012年11月獲陜西省科技期刊編輯學會2011-2012年度優秀科技期刊獎.

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Gorenstein fp-flat and strongly Gorenstein fp- fl at modules

Chen Wenjing
(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou730070,China)

The notions of Gorenstein fp- fl at and strongly Gorenstein fp- fl at modules are introduced,and the properties,connections as well as stability of two classes of these modules are discussed.

Gorenstein fp- fl at module,strongly Gorenstein fp- fl at module,projectively resolving

O153.3

A

1008-5513(2014)03-0323-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.015

2013-11-17.

國家自然科學基金(11261050).

陳文靜(1989-),碩士生,研究方向：同調代數.