基于譜圖和約束NMF的滾動軸承特征頻譜提取算法

崔得龍,張清華,肖明,王磊

(1．廣東石油化工學院 計算機與電子信息學院，廣東 茂名 525000；2．廣東省石化裝備故障診斷重點實驗室，廣東 茂名 525000；3．太原理工大學 信息工程學院， 太原 030024)

信號的時頻分析是信號處理的一個重要領域，其研究對象主要是非平穩信號。時頻分析的任務是描述信號的頻譜如何在時間上變化，研究并了解時變頻譜在數學和物理之間的對應關系，構造合適的時頻分布并進行恰當的處理，達到不同的信號處理目的。因此，尋找合適的、性能優良的時頻分布是非平穩信號分析與處理的重要研究內容。目前，研究非平穩信號常用的方法有短時Fourier變換、Wigner-Will分布、科恩類等，不同分析方法具有不同的特點和應用范圍。

短時Fourier變換[1]通過選取適當的窗函數，可實現一定程度上的時頻分析，而且通過短時Fourier變換建立起來的頻譜圖是最簡單、最直觀的一種時頻分布，但在分析非平穩信號時，時間分辨率和頻率分辨率要受到窗函數寬度的限制，不能同時達到最優；Wigner-Will分布[2]和科恩類時頻分布雖然具有良好的時頻特性，可以準確估計信號瞬時頻率、瞬時帶寬等時頻參數，但存在交叉干擾項，影響了實際應用范圍；除此之外，非平穩信號分析與處理還包括時變譜估計技術和最優過濾技術在非平穩信號處理中的延伸和發展，以及特殊平穩信號的平穩化處理、循環平穩信號分析與處理等重要專題。

非負矩陣分解(Non-Negative Matrix Factorizations, NMF)[3]是在矩陣中所有元素均為非負數約束條件之下的矩陣分解方法，這種非負性條件符合許多實際問題的要求。NMF區別于主分量分析、線性鑒別分析、投影尋蹤、因子分析、冗余歸納、獨立分量分析等常用的信號變換方法，其使分解后的所有分量均為非負值(純加性)，并同時實現了非線性的維數約減。這種非負性的限制導致了相應描述在一定程度上的稀疏性，更能體現智能數據處理的本質。純加性和稀疏性使得對數據的描述變得方便與合理，同時還在一定程度上抑制了外界變化對特征提取造成的影響，所以NMF已逐漸成為信號處理、生物醫學工程、模式識別、計算機視覺和圖像工程等研究領域中應用廣泛的多維數據處理工具[3-7]。

為了克服傳統時頻分析中信號特征頻譜提取技術的參數敏感問題，設計了一種基于譜圖和約束NMF(CNMF)的特征頻譜提取算法。該算法首先對振動信號進行歸一化預處理和短時Fourier變換，獲得代表非平穩信號特性的瞬時參數即譜圖；然后對譜圖進行CNMF分解；最后由分解得到的基矩陣獲得原始振動信號的特征頻譜；并對其可行性和有效性進行了試驗驗證。

1 非負矩陣分解

1.1 NMF

定義：對一個M維的隨機向量v進行N次觀測，記為vj,j=1,2,…,N，取V=[V·1,V·2,…,V·N]，其中V·j=vj[6]，則要求存在非負的M×L的基矩陣W=[W·1,W·2,…,W·N]和L×N的系數矩陣H=[H·1,H·2,…,H·N]使V≈W·H[8]。

顯然，NMF是用非負約束來獲取數據表示的一種方法。由于它只允許數據是原始數據的加性組合，因此被稱為基于部分的特征提取方法。通常要求L≤min(M,N)，即當W包含隨機變量的本質特征時，才能使用較少的基數據去描述大量的樣本數據，使V≈W·H成立。

NMF的實現是一個優化求解的過程，文獻[9]證明了NMF存在唯一解的條件。基本思想是合理地構造目標函數，交替地優化W和H，從而得到NMF的一個局部最優解。算法的關鍵是目標函數的設定和迭代規則的選擇。目標函數為最小化‖V-W·H‖2，對于任意W，H，當W,H≥0時迭代規則為

1.2 CNMF

對于特征頻譜提取問題，如果除V≈W·H這一非負分解式之外，沒有其他有關源信號的先驗知識，則存在特征頻譜提取結果不唯一的問題。在實際應用中，特征頻譜提取通常要求提取的信號頻譜數量最少且獨立性最大。因此，引入約束條件[10]

(1)

式中：ε為預先設定的允許誤差最小值；L的最小值即為提取的特征頻譜數。(1) 式為典型的線性優化問題，其迭代計算公式為

(2)

(3)

(4)

式中：λ為搜索步長；dij為可行下降方向dj的元素，類似可得d′i的計算公式。

2 算法設計

基于譜圖和CNMF的特征頻譜提取算法的具體步驟如下。

(1)預處理，將采集到的振動信號進行歸一化預處理，得到歸一化振動信號

(5)

(2)歸一化振動信號時頻分析獲得代表歸一化振動信號特性的瞬時參數，即譜圖。首先對歸一化振動信號進行短時Fourier變換

(6)

式中：h(t)為窗函數。然后計算譜圖

(7)

譜圖為信號實值、非負的二次型分布，且具有時移和頻移不變性。

(3)對譜圖進行CNMF分解

SS≈W·H。

(8)

由于信號譜圖數值非負，因此可直接應用非負矩陣分解進行變換，無需進行任何額外處理。在進行信號譜圖CNMF分解時，設定允許的收斂誤差ε和初始步長λ，將分解所得的基矩陣W進行表達，即獲得原始機械振動信號的特征頻譜。由于信號譜圖具有時移和頻移不變性，分解結果的表達也包含有原始信號時間和頻率的信息。

組合式旋轉機械復合故障診斷試驗裝置如圖1所示，使用EMT490測振設備測量試驗對象的振動加速度信號。利用上述算法進行特征頻譜提取，結果如圖2所示。

圖1 組合式旋轉機械復合故障診斷試驗裝置

對比圖2b和圖2d，圖2b的提取結果包含了原始振動加速度信號的所有頻譜分量，由于原始振動加速度信號成因復雜，頻譜分量數目眾多，不易進一步頻譜分析；圖2d提取的特征頻譜包含了原始頻譜圖中的絕大部分信息，同時有效的抑制了外界噪聲的干擾。

圖2 特征頻譜提取效果圖

3 試驗結果

3.1 仿真試驗

按照表1選取不同組合的統計相關或統計無關混合源信號，利用所設計的算法進行仿真試驗，其中f1=10 Hz，f2=20 Hz，f3=30 Hz，f4=40 Hz，f5=50 Hz，f6=60 Hz，f7=70 Hz，f8=80 Hz，混合信號時長t=10 s，采樣頻率fs=200 Hz。仿真試驗計算機硬件配置為Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU(2.93GHz)，3.25GB內存，500G硬盤，操作系統為Windows XP，試驗環境為MATLAB 2010b，試驗結果如圖3所示。

表1 仿真信號

由圖3的試驗結果可見，無論源信號之間是否相關，提取的特征頻譜均包含了原始采樣信號頻譜中的絕大部分信息，同時有效地降低了外界噪聲的干擾。

圖3 仿真試驗特征頻譜提取結果

3.2 工程應用

為了進一步驗證算法的可行性和有效性，選用文獻[11]的數據進行驗證。如圖4所示，試驗平臺由感應電動機、扭矩傳感器記錄儀、測力計等組成。加速度傳感器安放于軸承端部進行數據采集，采集的軸承數據來自于電動機驅動端，外圈固定，所用軸承為SKF 6205-2RS JEM深溝球軸承，球組節圓直徑Dpw=39 mm，鋼球直徑Dw=8 mm，接觸角α=0，內徑d=25 mm，鋼球數Z=9，電動機額定轉速1 796 r/min，軸頸旋轉頻率fr=29.93 Hz。采用電火花技術在軸承上預設置單點故障，分別模擬正常、內圈故障、外圈故障和鋼球故障。試驗時，采樣頻率為12 kHz，選取的數據長度為4 096。

圖4 試驗平臺

理論計算可知,鋼球故障特征頻率為

內圈故障特征頻率為

外圈故障特征頻率為

實例分析特征頻譜提取結果如圖5所示，圖5中傳統頻譜分析提取的特征頻率分別為164.1，164.1，117.2 Hz，文中算法提取的特征頻率分別為179，63，118 Hz，其中63 Hz可看做內圈故障特征頻率的二分頻。由于軸承經常運行在復雜的工況下，傳感器采集到的振動信號除了包含軸承的故障信息以外，通常還包含其他旋轉軸的轉頻及其倍頻等諧波成分和噪聲，這些諧波成分和噪聲通常會干擾對軸承的診斷。由圖5可知，使用傳統的頻譜分析方法，故障信號特有頻率分量淹沒在背景信號之中，難以有效提取和分析。而文中設計算法提取的特征頻譜不僅有效抑制了外界噪聲的干擾，而且包含了故障信號的特有頻譜信息，為準確診斷故障類型提供了可靠依據。

圖5 實例分析特征頻譜提取結果

4 結束語

為了克服傳統時頻分析中信號特征頻譜提取中參數敏感問題，將譜圖理論和CNMF相結合，設計了一種基于譜圖和CNMF的特征頻譜提取算法。理論和試驗結果表明，本算法提取的特征頻譜不僅包含了原始頻譜圖中的絕大部分信息，而且有效抑制了外界噪聲的干擾，為準確診斷故障類型提供了有效依據。同時由于譜圖概念簡單，運算速度快，可實現故障的在線檢測。今后的工作將集中于降低收斂誤差、優化搜索步長和進一步提高參數的準確選取等方面。