力學功與能的區別聯系研究

施小群

摘要：在力學中，“能”是反映物體狀態（運動狀態、形態、空間位置）的物理量，“功”是描述物體狀態改變過程的物理量，做功是能量變化的原因之一，能量的變化反映了做功的效果。本文將分別從功與能的定義、功與能和參照系的關系、動能定理、功能原理、能量守恒和轉化定律等方面討論功與能的區別聯系。

關鍵詞：功；能；機械能；動能定理；功能原理；能量守恒和轉化定律

中圖分類號：G633.7 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）27-0094-03

能量是物理學中最普遍具有深遠意義的概念。力學中引入功和能并揭示其有關規律，不但為解決力學問題別開生面，而且架通了連接機械運動與其他運動形態的橋梁。功與能之間怎樣進行區別聯系，關系到對功能關系的認識是否正確，為此，先從“求功”談起。

1 功

1.1 功的定義

“在力學中，凡是作用在質點上的力，使質點沿力的方向產生一段位移，我們就說力對質點作了功。一般地講，功等于力乘以質點在力的方向所產生的位移。”[1]

1.1.1 元功

若受力F作用的質點有元位移dr，則我們定義Fdr為力F對質點所做的元功，用dA表示元功，有

dA=Fdr=Fdscosθ （1）

其中θ為F與位移dr之間的夾角，ds=|dr|.上式用語言可表述為：力的元功等于力與受力質點的元位移之標量積。功是標量，有大小而無方向，但有正負，即當時0≤θ<■，dA>0，力對質點作正功；當θ=■時，dA=0，力對質點不作功；當■<θ≤π時，dA<0，力對質點作負功。

1.1.2 變力的功

如果質點沿曲線運動，或作用在它上面的力是一個變量，那么，我們只能先算力F在一微小位移dr中所作的元功，因此，當質點在變力F作用下沿曲線自點A運動到點B時，變力F所做的總功為

A=■Fdr=■Fdscosθ （2）

式中ds=|dr|，θ為F與位移dr之間的夾角。在數學上，這種積分稱為力F沿路徑L從A到B的曲線積分。

顯然，功是描述力的空間累積效應的物理量[2]，只有確定了運動軌跡后，才能確定功的數值，故功為過程的特性，它是泛函。

在元功定義中的dr是質點相對于所選取的參照系的元位移，因此力所做元功的值Fdr也是相對于所選取的參照系而確定的。如果選取的參照系不同，位移是不相同的，因而力所做的功也就不同。

2 能

能量是物理學中最基本的概念之一，也是力學中的基本概念。能量是物質運動的一種量度，各種運動形式互相轉化的過程，就是各種形式能量互相轉化的過程。能量的變化可以用功的大小來量度，因此可以說，物體所具有的能量就是它所具有的做功的本領。

在力學中，一般只考慮機械能，即動能和勢能。具有動能或勢能的物體就具有一定的做功的本領。

2.1 動能

早在經典力學初創時期（17世紀，惠更斯）就已經發現兩個彈性球相碰撞時，各球的質量與速度平方之積的和在碰前和碰后相等，在以后很長一段時間內（直到19世紀中），人們才把■mv2稱為“活力”。[4]當時的一些著名學者對“活力”的意義進行了長時間的探討。現在，人們放棄了“活力”這個名稱，把質量與速度平方之積的一半稱為質點的動能，記為Ek=■mv2。

動能是反映物體本身運動狀態的物理量，物體的運動狀態一旦確定，動能就唯一確定了。

能量的概念起初是作為量■mv2而引入的。它是狀態單值函，是做功的本領。是由于物體運動而具有做功的本領，故可把動能定義為質點在完全靜止前做的功。

就一般情況而言，除了勻速運動的物體外，動能在不斷地隨著物體運動的速度而變化。一個物體相對于不同的參照系，運動的速度不同，它的動能也就不同。

2.2 勢能

勢能的概念是在保守力的基礎上提出的，對于保守力，受力質點始末位置一定，力的功便確定了。

用Ep0和Ep分別表示質點在始末位置的勢能，用A保表示自始位置到末位置保守力做的功，則

Ep-Ep0=-A保 （10）

表明與一定保守力相對應的勢能的增量等于保守力所做功的負值，此即勢能定義。

若規定計算保守力做功的起始位置為勢能零點，Ep0=0，那末終止位置的勢能為

Ep=-A保

一個物體系統的勢能的變化量，與研究對象的位置變化有關，與參考系的選擇無關。

3 功與能的區別與聯系

從功和能的定義可知，功是和質點受力并經歷位移這個過程相聯系的，“過程”意味著“狀態的變化”，所以功是過程的函數，而能是狀態量，是狀態的函數。不能說某過程具有多少能量。反過來，不能說系統處于某一狀態時力做了多少功，只能說某個過程中力做了多少功。

雖然功和能是不同的概念，但是功和能的變化總是相互聯系的。

3.1 動能定理[2，3]

3.1.1 單一質點的動能定理

設一質量為m的質點受到沿x軸方向的合力F作用，質點沿x軸方向從x0移動到x，合外力做功

A=■Fdx

因為

F=ma=m■

所以

A=■m■dx=■m■dv=■mv2-■mv02=Ek-Ek0 （11）

上式表明，合外力對質點所做的功大小等于質點動能的增量，這個結果稱為單一質點的動能定理。

3.1.2 質點組的動能定理

所謂質點組是由互相作用的若干質點組成的系統。設質點組由n個質點組成，在運動過程中，作用于各個質點的合力的功為A1、A2……Ai……An，對每個質點運用動能定理，由于功是標量，可用代數和，得endprint

∑Ai=∑Eki-∑Eki0 （12）

式中：∑Ai為合力功，∑Eki為質點組的末動能，∑Eki0為質點組的初動能。公式（12）表明質點組動能的增量在數值上等于所有合力做功的代數和，稱為質點組的動能定理。

對于質點組的所有力，可以分為外力和內力，則有

∑ΔA=∑ΔA外+∑ΔA內

式中，∑ΔA外為外力功的代數和，∑ΔA內為內力功的代數和。則質點組動能定理可寫為

∑ΔA外+∑ΔA內=∑■mv2-∑■mv02 （13）

動能定理揭示了功與能的關系。當外力對物體做正功時，物體的動能增加，而該物體動能的增加量與施力者能量的減少量是相等的。能量從一個物體傳給另一個物體是通過做功過程來實現的。功是能量變化的量度，但它并不是能量。一個力做功的數量等于在做功過程中能量傳遞或轉化的數量，■Fdr=■mv2-■mv02表示了功的數量與能量變化的數量相等，并不意味著功與能是一回事。

由以上分析可見，功與能是有區別的，功與物體的運動過程有關，而能是與物體所處的狀態有關。

3.2 功和能之間的關系舉例

例1：人用手將球拋出，在拋球的過程中，球獲得了動能，同時人的化學能減小，而且球增加的動能和人減少的化學能在數值上是相等的。

（1）對皮球來說，人對球做的是正功|ΔE|，其能量增加|ΔE|。

（2）對人來講，人做的是負功|ΔE|，所以其能量減少|ΔE|。

（3）對于相互作用的人和球來講，其總能量是守恒的。

例2：如圖所示，一個質量為m的物體放在光滑的水平桌面上，其初速度為v1，受到一恒力F的作用，力的方向與物體位移的方向成θ角。物體在此力作用下沿水平面作勻加速直線運動。如果物體發生的位移為s時速度為v2，則由勻加速直線運動的公式可知。物體的加速度是：

a=（v22-v12）/2S

如果把這個式子代入牛頓第二運動定律表示式中，就可以得到：

Fcosθ=ma=m（v22-v12）/2S

兩邊乘以位移大小s，就得到：

Fscosθ=■mv22-■mv12.

根據前述功的定義可知，上式左邊就是恒力F對物體所做的功，即：

W=Fs=Fscosθ

上式右邊的兩項均有相同的形式，即■mv2.顯然，它是描述物體運動狀態的一個物理量，即能，而■mv22-■mv12便是物體由初始狀態變到終止狀態時的能量之差（這里不考慮相對論效應）。由此得出結論：恒力F對物體所作的功等于物體動能的增量。這就是所謂動能定理，它是被大量實驗所證實的客觀規律。

概括地說，能是描述物體運動狀態的物理量，它是物體運動狀態的單值函數（簡稱態函數）。而功則是在物體與外界相互作用的情況下，物體運動狀態改變的量度，或可直接說功是物體能量變化的量度。功與物體狀態的具體變化過程有關，是一個過程量，并不是狀態函數。所以，只能說物體具有多少能量，而決不能說物體具有多少功。

4 怎樣學好功與能

功與能既有區別又存在著密切的關系，究竟怎么學好它們呢？要注意以下幾點：

必須搞清基本事實，透徹理解每一個基本概念、定義、原理、定理的內容和意義。

要把抽象與具體結合起來，無論是概念、定義或原理、定理都有其數學的抽象方面與形象的直觀方面，如果要透徹地理解它們，就有必要把這兩個方面結合起來。

對物理學來說，數學既是描述自然界的語言，又是進行定量推算的工具。在計算功與能時都要借助于數學，尤其是高等數學。學好數學，對學好功與能打下了堅實的基礎。

學好功與能，關鍵是勤于思考。勤于思考，就要對功與能的定義、公式中的符號和公式本身的含義，用自己的語言陳述出來。對于動能定理、功能原理等的證明及推導，最好在了解了基本思路后，自己能夠把它們演算出來。這樣才能對它們成立的條件、關鍵的步驟、推演的技巧等有深刻的理解。

勤奮地做習題，不求數量，求質量。適當做些高難度的題目。

綜上所述，功是和一定狀態的變化過程相聯系的，只有當物體系的狀態變化時，才談得到做功的問題。能量卻反映了物體系在一定狀態下所具有的特性。物體在一定狀態下，就有一定的、確定的能量，所以說能量是物體系的狀態單值函數。功是能量傳遞或變化的量度。

參考文獻：

[1]周衍柏.理論力學教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，1986：45-50.

[2]梁紹榮等.普通物理學（第一分冊力學）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1995：153-173.

[3]許鐘城.非慣性系力學概論[M].桂林：廣西師范大學出版社，1998：24-44.endprint

∑Ai=∑Eki-∑Eki0 （12）

式中：∑Ai為合力功，∑Eki為質點組的末動能，∑Eki0為質點組的初動能。公式（12）表明質點組動能的增量在數值上等于所有合力做功的代數和，稱為質點組的動能定理。

對于質點組的所有力，可以分為外力和內力，則有

∑ΔA=∑ΔA外+∑ΔA內

式中，∑ΔA外為外力功的代數和，∑ΔA內為內力功的代數和。則質點組動能定理可寫為

∑ΔA外+∑ΔA內=∑■mv2-∑■mv02 （13）

動能定理揭示了功與能的關系。當外力對物體做正功時，物體的動能增加，而該物體動能的增加量與施力者能量的減少量是相等的。能量從一個物體傳給另一個物體是通過做功過程來實現的。功是能量變化的量度，但它并不是能量。一個力做功的數量等于在做功過程中能量傳遞或轉化的數量，■Fdr=■mv2-■mv02表示了功的數量與能量變化的數量相等，并不意味著功與能是一回事。

由以上分析可見，功與能是有區別的，功與物體的運動過程有關，而能是與物體所處的狀態有關。

3.2 功和能之間的關系舉例

例1：人用手將球拋出，在拋球的過程中，球獲得了動能，同時人的化學能減小，而且球增加的動能和人減少的化學能在數值上是相等的。

（1）對皮球來說，人對球做的是正功|ΔE|，其能量增加|ΔE|。

（2）對人來講，人做的是負功|ΔE|，所以其能量減少|ΔE|。

（3）對于相互作用的人和球來講，其總能量是守恒的。

例2：如圖所示，一個質量為m的物體放在光滑的水平桌面上，其初速度為v1，受到一恒力F的作用，力的方向與物體位移的方向成θ角。物體在此力作用下沿水平面作勻加速直線運動。如果物體發生的位移為s時速度為v2，則由勻加速直線運動的公式可知。物體的加速度是：

a=（v22-v12）/2S

如果把這個式子代入牛頓第二運動定律表示式中，就可以得到：

Fcosθ=ma=m（v22-v12）/2S

兩邊乘以位移大小s，就得到：

Fscosθ=■mv22-■mv12.

根據前述功的定義可知，上式左邊就是恒力F對物體所做的功，即：

W=Fs=Fscosθ

上式右邊的兩項均有相同的形式，即■mv2.顯然，它是描述物體運動狀態的一個物理量，即能，而■mv22-■mv12便是物體由初始狀態變到終止狀態時的能量之差（這里不考慮相對論效應）。由此得出結論：恒力F對物體所作的功等于物體動能的增量。這就是所謂動能定理，它是被大量實驗所證實的客觀規律。

概括地說，能是描述物體運動狀態的物理量，它是物體運動狀態的單值函數（簡稱態函數）。而功則是在物體與外界相互作用的情況下，物體運動狀態改變的量度，或可直接說功是物體能量變化的量度。功與物體狀態的具體變化過程有關，是一個過程量，并不是狀態函數。所以，只能說物體具有多少能量，而決不能說物體具有多少功。

4 怎樣學好功與能

功與能既有區別又存在著密切的關系，究竟怎么學好它們呢？要注意以下幾點：

必須搞清基本事實，透徹理解每一個基本概念、定義、原理、定理的內容和意義。

要把抽象與具體結合起來，無論是概念、定義或原理、定理都有其數學的抽象方面與形象的直觀方面，如果要透徹地理解它們，就有必要把這兩個方面結合起來。

對物理學來說，數學既是描述自然界的語言，又是進行定量推算的工具。在計算功與能時都要借助于數學，尤其是高等數學。學好數學，對學好功與能打下了堅實的基礎。

學好功與能，關鍵是勤于思考。勤于思考，就要對功與能的定義、公式中的符號和公式本身的含義，用自己的語言陳述出來。對于動能定理、功能原理等的證明及推導，最好在了解了基本思路后，自己能夠把它們演算出來。這樣才能對它們成立的條件、關鍵的步驟、推演的技巧等有深刻的理解。

勤奮地做習題，不求數量，求質量。適當做些高難度的題目。

綜上所述，功是和一定狀態的變化過程相聯系的，只有當物體系的狀態變化時，才談得到做功的問題。能量卻反映了物體系在一定狀態下所具有的特性。物體在一定狀態下，就有一定的、確定的能量，所以說能量是物體系的狀態單值函數。功是能量傳遞或變化的量度。

參考文獻：

[1]周衍柏.理論力學教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，1986：45-50.

[2]梁紹榮等.普通物理學（第一分冊力學）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1995：153-173.

[3]許鐘城.非慣性系力學概論[M].桂林：廣西師范大學出版社，1998：24-44.endprint

∑Ai=∑Eki-∑Eki0 （12）

式中：∑Ai為合力功，∑Eki為質點組的末動能，∑Eki0為質點組的初動能。公式（12）表明質點組動能的增量在數值上等于所有合力做功的代數和，稱為質點組的動能定理。

對于質點組的所有力，可以分為外力和內力，則有

∑ΔA=∑ΔA外+∑ΔA內

式中，∑ΔA外為外力功的代數和，∑ΔA內為內力功的代數和。則質點組動能定理可寫為

∑ΔA外+∑ΔA內=∑■mv2-∑■mv02 （13）

動能定理揭示了功與能的關系。當外力對物體做正功時，物體的動能增加，而該物體動能的增加量與施力者能量的減少量是相等的。能量從一個物體傳給另一個物體是通過做功過程來實現的。功是能量變化的量度，但它并不是能量。一個力做功的數量等于在做功過程中能量傳遞或轉化的數量，■Fdr=■mv2-■mv02表示了功的數量與能量變化的數量相等，并不意味著功與能是一回事。

由以上分析可見，功與能是有區別的，功與物體的運動過程有關，而能是與物體所處的狀態有關。

3.2 功和能之間的關系舉例

例1：人用手將球拋出，在拋球的過程中，球獲得了動能，同時人的化學能減小，而且球增加的動能和人減少的化學能在數值上是相等的。

（1）對皮球來說，人對球做的是正功|ΔE|，其能量增加|ΔE|。

（2）對人來講，人做的是負功|ΔE|，所以其能量減少|ΔE|。

（3）對于相互作用的人和球來講，其總能量是守恒的。

例2：如圖所示，一個質量為m的物體放在光滑的水平桌面上，其初速度為v1，受到一恒力F的作用，力的方向與物體位移的方向成θ角。物體在此力作用下沿水平面作勻加速直線運動。如果物體發生的位移為s時速度為v2，則由勻加速直線運動的公式可知。物體的加速度是：

a=（v22-v12）/2S

如果把這個式子代入牛頓第二運動定律表示式中，就可以得到：

Fcosθ=ma=m（v22-v12）/2S

兩邊乘以位移大小s，就得到：

Fscosθ=■mv22-■mv12.

根據前述功的定義可知，上式左邊就是恒力F對物體所做的功，即：

W=Fs=Fscosθ

上式右邊的兩項均有相同的形式，即■mv2.顯然，它是描述物體運動狀態的一個物理量，即能，而■mv22-■mv12便是物體由初始狀態變到終止狀態時的能量之差（這里不考慮相對論效應）。由此得出結論：恒力F對物體所作的功等于物體動能的增量。這就是所謂動能定理，它是被大量實驗所證實的客觀規律。

概括地說，能是描述物體運動狀態的物理量，它是物體運動狀態的單值函數（簡稱態函數）。而功則是在物體與外界相互作用的情況下，物體運動狀態改變的量度，或可直接說功是物體能量變化的量度。功與物體狀態的具體變化過程有關，是一個過程量，并不是狀態函數。所以，只能說物體具有多少能量，而決不能說物體具有多少功。

4 怎樣學好功與能

功與能既有區別又存在著密切的關系，究竟怎么學好它們呢？要注意以下幾點：

必須搞清基本事實，透徹理解每一個基本概念、定義、原理、定理的內容和意義。

要把抽象與具體結合起來，無論是概念、定義或原理、定理都有其數學的抽象方面與形象的直觀方面，如果要透徹地理解它們，就有必要把這兩個方面結合起來。

對物理學來說，數學既是描述自然界的語言，又是進行定量推算的工具。在計算功與能時都要借助于數學，尤其是高等數學。學好數學，對學好功與能打下了堅實的基礎。

學好功與能，關鍵是勤于思考。勤于思考，就要對功與能的定義、公式中的符號和公式本身的含義，用自己的語言陳述出來。對于動能定理、功能原理等的證明及推導，最好在了解了基本思路后，自己能夠把它們演算出來。這樣才能對它們成立的條件、關鍵的步驟、推演的技巧等有深刻的理解。

勤奮地做習題，不求數量，求質量。適當做些高難度的題目。

綜上所述，功是和一定狀態的變化過程相聯系的，只有當物體系的狀態變化時，才談得到做功的問題。能量卻反映了物體系在一定狀態下所具有的特性。物體在一定狀態下，就有一定的、確定的能量，所以說能量是物體系的狀態單值函數。功是能量傳遞或變化的量度。

參考文獻：

[1]周衍柏.理論力學教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，1986：45-50.

[2]梁紹榮等.普通物理學（第一分冊力學）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1995：153-173.

[3]許鐘城.非慣性系力學概論[M].桂林：廣西師范大學出版社，1998：24-44.endprint