圓錐曲線定義在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

常云

對圓錐曲線應(yīng)用的考查歷來是高考中的重難點，在掌握圓錐曲線定義的基礎(chǔ)上做到結(jié)合定義巧妙應(yīng)用進而解題，有助于學(xué)生在考試過程中把握分?jǐn)?shù)，還能夠結(jié)合幾何元素與軌跡等考查學(xué)生應(yīng)用性思維和發(fā)散性思維，培養(yǎng)其舉一反三的數(shù)學(xué)能力.下面我們針對圓錐曲線定義在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用做簡單分析探討.

圓錐曲線定義中主要以橢圓定義、雙曲線定義為主，圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關(guān)系是解題分析的關(guān)鍵，二者的關(guān)系決定了某點的運動軌跡是拋物線、橢圓或者雙曲線，所以在解題過程中，必須對三者定義有深入了解.假使圓錐曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的是三角形，通常會使用第一定義結(jié)合正余弦定理來進行解題，涉及焦點或者準(zhǔn)線時，解題可參考常用的統(tǒng)一定義.應(yīng)用過程中的重難點在于讓學(xué)生養(yǎng)成巧妙運用定義深入剖析題目并解題的意識，所以，需要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和運用的過程中樹立等價轉(zhuǎn)換的思想，尤其注意數(shù)形結(jié)合，在解題中將圓錐曲線的各自定義和解題難點、切入點進行有效區(qū)別和聯(lián)系.

1.利用定義求軌跡

圓錐曲線定義的應(yīng)用是解題中常用方法，也是求軌跡的典型方法.比如已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別為a和b，且|O1O2|=c，動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.

這個題目的解決很明顯可以利用圓錐曲線的定義來解決，解題過程也并不復(fù)雜，以O(shè)1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到O1與O2坐標(biāo).然后我們假設(shè)動圓的半徑為r，由動圓M與圓O1內(nèi)切、與圓O2內(nèi)切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之間的關(guān)系來得到M點的軌跡，確定其以O(shè)1、O2為焦點，是雙曲線的坐支（x<0），根據(jù)半徑之間關(guān)系得到軌跡方程.

比如典型例題應(yīng)用：F１、F２是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點（見圖1），P是橢圓上任一點, 從任一焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡.

解延長垂線F1Q交F2P的延長線于點A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

從而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

確定垂足為Q的軌跡為圓.這是圓錐曲線定義較為常見的考點應(yīng)用題目.

2.利用定義和正余弦定理求焦點三角形

比如常見的求解焦點三角形面積問題.如下題：

已知雙曲線 （a＞０，b＞０），Ｐ為雙曲線上任一點，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面積.

這個題目的解答需要在結(jié)合定義分析的基礎(chǔ)上熟知并巧用正余弦定理.利用面積公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

結(jié)合圓錐曲線中雙曲線定義得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通過②與③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面積ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，從而完成題目的解答.

在焦點三角形題目解答中，還有一類常見題目，即求某點的坐標(biāo).比如下題：

已知A(112，３)為一定點，Ｆ為雙曲線x29-y227=1的右焦點，Ｍ在雙曲線右支上移動，當(dāng)|AM|＋12|MF|最小時，求Ｍ點的坐標(biāo).這種是常見的考察距離和最差值的問題，通常需要考慮三角形兩邊和與差同第三條邊之間的關(guān)系，其中利用定義來轉(zhuǎn)換12數(shù)量關(guān)系來解題是常見手法，這在本題目中也較為典型.

解過M作MP垂直準(zhǔn)線于點Ｐ，則12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.當(dāng)A、M、P三點共線時，|AM|＋12|MF|最小.

我們以下面這道題為例，假設(shè)Ｐ（x,y）是橢圓x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一點，Ｆ１、Ｆ２為橢圓的兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.這道題可結(jié)合橢圓的第二定義得到|PF1|與|PF2|的表達式，根據(jù)0≤x2≤a2得到最大值與最小值.

3.利用定義解求證題

高考常見題目中，解求證類題目中經(jīng)常會遇到需要應(yīng)用第二定義證明的求證拋物線焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切或以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準(zhǔn)線相離、以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交等題目.比如過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m,交這拋物線于P1、P2兩點，求證以P1P2為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切.這道題目就是運用拋物線的定義和平面幾何知識來證的典型題目.我們假設(shè)P1P2中點為P0，過P1、P2、P0分別向準(zhǔn)線引垂線P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，則|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，從而確定P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，證實圓與準(zhǔn)線相切.

總之，利用圓錐曲線定義解決題目，對定義的了解和應(yīng)用是根本，結(jié)合定義、正余弦定理等解決焦點、三角形、準(zhǔn)線、圓錐曲線上的點等題目，可謂事半功倍.

endprint

對圓錐曲線應(yīng)用的考查歷來是高考中的重難點，在掌握圓錐曲線定義的基礎(chǔ)上做到結(jié)合定義巧妙應(yīng)用進而解題，有助于學(xué)生在考試過程中把握分?jǐn)?shù)，還能夠結(jié)合幾何元素與軌跡等考查學(xué)生應(yīng)用性思維和發(fā)散性思維，培養(yǎng)其舉一反三的數(shù)學(xué)能力.下面我們針對圓錐曲線定義在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用做簡單分析探討.

圓錐曲線定義中主要以橢圓定義、雙曲線定義為主，圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關(guān)系是解題分析的關(guān)鍵，二者的關(guān)系決定了某點的運動軌跡是拋物線、橢圓或者雙曲線，所以在解題過程中，必須對三者定義有深入了解.假使圓錐曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的是三角形，通常會使用第一定義結(jié)合正余弦定理來進行解題，涉及焦點或者準(zhǔn)線時，解題可參考常用的統(tǒng)一定義.應(yīng)用過程中的重難點在于讓學(xué)生養(yǎng)成巧妙運用定義深入剖析題目并解題的意識，所以，需要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和運用的過程中樹立等價轉(zhuǎn)換的思想，尤其注意數(shù)形結(jié)合，在解題中將圓錐曲線的各自定義和解題難點、切入點進行有效區(qū)別和聯(lián)系.

1.利用定義求軌跡

圓錐曲線定義的應(yīng)用是解題中常用方法，也是求軌跡的典型方法.比如已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別為a和b，且|O1O2|=c，動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.

這個題目的解決很明顯可以利用圓錐曲線的定義來解決，解題過程也并不復(fù)雜，以O(shè)1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到O1與O2坐標(biāo).然后我們假設(shè)動圓的半徑為r，由動圓M與圓O1內(nèi)切、與圓O2內(nèi)切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之間的關(guān)系來得到M點的軌跡，確定其以O(shè)1、O2為焦點，是雙曲線的坐支（x<0），根據(jù)半徑之間關(guān)系得到軌跡方程.

比如典型例題應(yīng)用：F１、F２是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點（見圖1），P是橢圓上任一點, 從任一焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡.

解延長垂線F1Q交F2P的延長線于點A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

從而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

確定垂足為Q的軌跡為圓.這是圓錐曲線定義較為常見的考點應(yīng)用題目.

2.利用定義和正余弦定理求焦點三角形

比如常見的求解焦點三角形面積問題.如下題：

已知雙曲線 （a＞０，b＞０），Ｐ為雙曲線上任一點，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面積.

這個題目的解答需要在結(jié)合定義分析的基礎(chǔ)上熟知并巧用正余弦定理.利用面積公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

結(jié)合圓錐曲線中雙曲線定義得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通過②與③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面積ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，從而完成題目的解答.

在焦點三角形題目解答中，還有一類常見題目，即求某點的坐標(biāo).比如下題：

已知A(112，３)為一定點，Ｆ為雙曲線x29-y227=1的右焦點，Ｍ在雙曲線右支上移動，當(dāng)|AM|＋12|MF|最小時，求Ｍ點的坐標(biāo).這種是常見的考察距離和最差值的問題，通常需要考慮三角形兩邊和與差同第三條邊之間的關(guān)系，其中利用定義來轉(zhuǎn)換12數(shù)量關(guān)系來解題是常見手法，這在本題目中也較為典型.

解過M作MP垂直準(zhǔn)線于點Ｐ，則12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.當(dāng)A、M、P三點共線時，|AM|＋12|MF|最小.

我們以下面這道題為例，假設(shè)Ｐ（x,y）是橢圓x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一點，Ｆ１、Ｆ２為橢圓的兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.這道題可結(jié)合橢圓的第二定義得到|PF1|與|PF2|的表達式，根據(jù)0≤x2≤a2得到最大值與最小值.

3.利用定義解求證題

高考常見題目中，解求證類題目中經(jīng)常會遇到需要應(yīng)用第二定義證明的求證拋物線焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切或以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準(zhǔn)線相離、以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交等題目.比如過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m,交這拋物線于P1、P2兩點，求證以P1P2為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切.這道題目就是運用拋物線的定義和平面幾何知識來證的典型題目.我們假設(shè)P1P2中點為P0，過P1、P2、P0分別向準(zhǔn)線引垂線P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，則|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，從而確定P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，證實圓與準(zhǔn)線相切.

總之，利用圓錐曲線定義解決題目，對定義的了解和應(yīng)用是根本，結(jié)合定義、正余弦定理等解決焦點、三角形、準(zhǔn)線、圓錐曲線上的點等題目，可謂事半功倍.

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對圓錐曲線應(yīng)用的考查歷來是高考中的重難點，在掌握圓錐曲線定義的基礎(chǔ)上做到結(jié)合定義巧妙應(yīng)用進而解題，有助于學(xué)生在考試過程中把握分?jǐn)?shù)，還能夠結(jié)合幾何元素與軌跡等考查學(xué)生應(yīng)用性思維和發(fā)散性思維，培養(yǎng)其舉一反三的數(shù)學(xué)能力.下面我們針對圓錐曲線定義在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用做簡單分析探討.

圓錐曲線定義中主要以橢圓定義、雙曲線定義為主，圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關(guān)系是解題分析的關(guān)鍵，二者的關(guān)系決定了某點的運動軌跡是拋物線、橢圓或者雙曲線，所以在解題過程中，必須對三者定義有深入了解.假使圓錐曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的是三角形，通常會使用第一定義結(jié)合正余弦定理來進行解題，涉及焦點或者準(zhǔn)線時，解題可參考常用的統(tǒng)一定義.應(yīng)用過程中的重難點在于讓學(xué)生養(yǎng)成巧妙運用定義深入剖析題目并解題的意識，所以，需要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和運用的過程中樹立等價轉(zhuǎn)換的思想，尤其注意數(shù)形結(jié)合，在解題中將圓錐曲線的各自定義和解題難點、切入點進行有效區(qū)別和聯(lián)系.

1.利用定義求軌跡

圓錐曲線定義的應(yīng)用是解題中常用方法，也是求軌跡的典型方法.比如已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別為a和b，且|O1O2|=c，動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.

這個題目的解決很明顯可以利用圓錐曲線的定義來解決，解題過程也并不復(fù)雜，以O(shè)1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到O1與O2坐標(biāo).然后我們假設(shè)動圓的半徑為r，由動圓M與圓O1內(nèi)切、與圓O2內(nèi)切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之間的關(guān)系來得到M點的軌跡，確定其以O(shè)1、O2為焦點，是雙曲線的坐支（x<0），根據(jù)半徑之間關(guān)系得到軌跡方程.

比如典型例題應(yīng)用：F１、F２是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩焦點（見圖1），P是橢圓上任一點, 從任一焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡.

解延長垂線F1Q交F2P的延長線于點A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

從而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

確定垂足為Q的軌跡為圓.這是圓錐曲線定義較為常見的考點應(yīng)用題目.

2.利用定義和正余弦定理求焦點三角形

比如常見的求解焦點三角形面積問題.如下題：

已知雙曲線 （a＞０，b＞０），Ｐ為雙曲線上任一點，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面積.

這個題目的解答需要在結(jié)合定義分析的基礎(chǔ)上熟知并巧用正余弦定理.利用面積公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

結(jié)合圓錐曲線中雙曲線定義得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通過②與③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面積ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，從而完成題目的解答.

在焦點三角形題目解答中，還有一類常見題目，即求某點的坐標(biāo).比如下題：

已知A(112，３)為一定點，Ｆ為雙曲線x29-y227=1的右焦點，Ｍ在雙曲線右支上移動，當(dāng)|AM|＋12|MF|最小時，求Ｍ點的坐標(biāo).這種是常見的考察距離和最差值的問題，通常需要考慮三角形兩邊和與差同第三條邊之間的關(guān)系，其中利用定義來轉(zhuǎn)換12數(shù)量關(guān)系來解題是常見手法，這在本題目中也較為典型.

解過M作MP垂直準(zhǔn)線于點Ｐ，則12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.當(dāng)A、M、P三點共線時，|AM|＋12|MF|最小.

我們以下面這道題為例，假設(shè)Ｐ（x,y）是橢圓x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一點，Ｆ１、Ｆ２為橢圓的兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.這道題可結(jié)合橢圓的第二定義得到|PF1|與|PF2|的表達式，根據(jù)0≤x2≤a2得到最大值與最小值.

3.利用定義解求證題

高考常見題目中，解求證類題目中經(jīng)常會遇到需要應(yīng)用第二定義證明的求證拋物線焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切或以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準(zhǔn)線相離、以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交等題目.比如過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m,交這拋物線于P1、P2兩點，求證以P1P2為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切.這道題目就是運用拋物線的定義和平面幾何知識來證的典型題目.我們假設(shè)P1P2中點為P0，過P1、P2、P0分別向準(zhǔn)線引垂線P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，則|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，從而確定P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，證實圓與準(zhǔn)線相切.

總之，利用圓錐曲線定義解決題目，對定義的了解和應(yīng)用是根本，結(jié)合定義、正余弦定理等解決焦點、三角形、準(zhǔn)線、圓錐曲線上的點等題目，可謂事半功倍.

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