對中國產業資本勞動替代彈性的估計

范曉靜

（上海理工大學 管 理學院，上海 2 00093）

0 引言

在CGE模型的均衡分析中，相比較超越對數、Leontief函數、標準二次函數，CES函數更適合于CGE模型的均衡分析（Perroni等，1998）。但相對于其他函數形式，CGE模型的模擬結果對CES函數參數的取值也更為敏感（Mckitrick et al，1998），因此，采用適合的、科學的方法對模型中產業部門的彈性值的確定是非常重要的。

CES函數是常替代彈性生產函數的簡稱，其標準格式為：

其中，q為產出，xi為投入的要素，參數A為轉移參數，衡量要素投入轉化為最終產出的效率，因此也稱為全要素生產率。δi為第i種要素的份額，有參數ρ與替代彈性相關，其與替代彈性的關系為替代彈性就是指一個生產系統中，不同生產要素替代的難易程度，替代彈性越大，要素之間越容易替代，反之，越不容易替代。

可以看到，在CES函數的三個主要參數——轉移參數、份額參數以及替代彈性中，替代彈性是最為關鍵的參數，這一方面是因為轉移參數、份額參數在一定程度上由替代彈性決定，另一方面則是因為替代彈性反映了CES函數的經濟意義，決定了不同投入要素之間的相對地位關系。盡管替代彈性如此重要，但替代彈性的獲得卻較其他兩個參數更為復雜。替代彈性值的確定需要依據以往數據，采用計量方法獲得。在數據缺失的情況下，研究者們也常依靠相關文獻資料確定替代彈性的采用值。本文對CES生產函數中的要素替代彈性進行估計。

CES函數彈性估計通常采用兩種方法進行估計實驗，然后依據經濟背景確定最終值。這兩種方法是貝葉斯（Bayesian）方法和廣義最大熵（Generalized Maximum Entropy，GME）方法。簡便起見，本文在計算CES生產函數彈性值時只考慮資本和勞動力兩要素數據進行估計。

1 廣義最大熵（GME）方法對資本勞動替代彈性的估計

在信息論中，隨機變量的不確定性可以用熵來衡量。當系統處于不同狀態，每種狀態出現的概率為Pi(i=1，2，…，n)，那么該系統的熵的定義就為：

Jaynes（1957）提出了最大熵（Maximum Entropy，ME）原則，其基本思想是：在非適定問題的所有解中，應選取符合約束條件，但熵值最大的一個。這是唯一正確選擇，任何其他選擇都意味著對未知信息做了隨意假設。廣義最大熵（Generalized Maximum Entropy，GME）是對ME原理的擴展，由Golan等（1996）提出。一般認為，ME原則是針對系統內的一個隨機變量的，而GME則是同時最大化系統內所有隨機變量的信息熵，也所謂“廣義”的含義。GME除了利用已知信息外，不對任何未知信息做先驗假設，在其框架內，參數估計轉換為有約束的最優化問題，目標函數是最大化未知參數和誤差項的聯合熵（Golan等，1999）。

GME的基本思想是把所有未知參數變換為概率形式：首先把未知參數和誤差重新參數化為離散型隨機變量的凸組合，然后用新參數重寫模型作為一致性約束條件，然后構造GME目標函數，結合正則化約束條件和一致性約束條件后，進行數值求解，參數的GME解是一致性約束的拉格朗日乘子、參數的支持空間和樣本數據的函數（Zhang等，2001）。其優點是在小樣本情況下，GME對未知參數和誤差性同時估計比只估計參數更有效。

在運用GME方法對CES函數進行估計時，需要首先對資本和勞動力通過CES函數形式結合而成的生產函數（等式(1)）：

通過對其兩邊取對數進行線性化，在ρ=0處進行泰勒級數展開，取二階線性部分，并舍去二階以上高階項，得到CES函數的線性近似表達為：

其中，β0=lnA，β1=δ，β2=1-δ，β3=-0.5ρδ(1-δ)。這樣就可以利用GME方法對其進行估計了。本文利用SAS軟件中的GME估計模塊進行估計，數據來源于中國統計年鑒各年產業數據。模擬結果如表1所示。

2 貝葉斯方法對資本勞動替代彈性的估計

貝葉斯定理的文字描述如下：

聯合后驗概率密度∝先驗概率密度×似然函數

其中，∝表示成比例。從該式中可以看到，先驗概率密度描述了所有先驗信息，而有關樣本的所有信息則通過似然函數表達。因此，得到的后驗概率密度集中了總體、樣本和先驗中有關參數的一切信息，同時又排除了一切與參數無關的信息（茆詩松，1999；澤爾納，2005）。在獲得相關參數的先驗信息后，就可以通過貝葉斯方法估計CES函數中資本勞動替代彈性。此外，該方法可以較容易地擴展到兩個以上投入要素的參數估計中，也可以用了估計嵌套的CES函數（澤爾納，1971；Tsurumi et al，1976；Mckibbin et al，1999）。本文以Lancaster（2004）的方法進行貝葉斯估計。在兩要素CES函數中：

對上式兩邊取對數，引入誤差項ε，并假設K、L為外生變量且獨立于ε，得到：

其中，q=lnQ，k=lnK，l=lnL，α=lnA。假設誤差項ε服從均值為零、方差為τ的正態分布，記參數向量θ=(α,β,δ,τ)。則似然函數為：

對于先驗信息的概率密度

p(θ)=p(α,β,δ,τ)，假設α服從正態先驗分布，τ服從Gammar先驗分布；由于δ的取值范圍在0和1之間，假設其在該區間上服從均勻分布作為其先驗分布；對于ρ，根據σ=1/(1+ρ)，根據鄭玉歆等（1999）年計算的中國不同部門的生產彈性值的大致范圍在0.1和2之間，故取對應的（-0.5，9）區間上的均勻分布作為其先驗分布（趙永，王勁松，2008）。這樣，在給定Q、K、L觀測數據的基礎上，就可以得到參數向量的聯合后驗概率密度：

對此式進行積分，就可以得到參數的后驗密度。通過對等式（2）中的τ進行積分，可以得到參數α,β,δ的聯合后驗密度；繼續對α進行積分，可以得到β,δ的聯合后驗密度。

本文運用WinBUGS軟件利用我國統計年鑒中各產業歷年的數據值，對上CES生產函數參數進行估計，代碼可參見趙永，王勁松（2008），得到的各產業部門資本勞動替代彈性值如表1所示，其后驗分布核密度和收斂性診斷圖如圖1至圖16所示。

圖1-1 采掘業σ后驗分布核密度

圖2-1 農業σ后驗分布核密度

圖1-2 采掘業σ收斂性診斷圖

圖3-1 制造業σ后驗分布核密度

圖2-2 農業σ收斂性診斷圖

圖4-1 電熱水業σ后驗分布核密度

圖3-2 制造業σ收斂性診斷圖

圖5-1 建筑業σ后驗分布核密度

圖4-2 電熱水業σ收斂性診斷圖

圖5-2 建筑業σ收斂性診斷圖

圖6-1 交通運輸業σ后驗分布核密度

圖7-1 軟件通信業σ后驗分布核密度

圖6-2 交通運輸業σ收斂性診斷圖

圖7-2 軟件通信業σ收斂性診斷圖

圖8-1 零售餐飲業σ后驗分布核密度

圖8-2 零售餐飲業σ收斂性診斷圖

圖9-1 金融業σ后驗分布核密度

圖10-1 房地產業σ后驗分布核密度

圖9-2 金融業σ收斂性診斷圖

圖10-2 房地產業σ收斂性診斷圖

圖11-1 租賃業σ后驗分布核密度

圖11-2 租賃業σ收斂性診斷圖

圖12-2 社會服務業σ收斂性診斷圖

圖12-1 社會服務業σ后驗分布核密度

圖13-1 教育業σ后驗分布核密度

圖13-2 教育業σ收斂性診斷圖

圖14-1 衛生服務業σ后驗分布核密度

圖14-2 衛生服務業σ收斂性診斷圖

圖15-1 文化娛樂業σ后驗分布核密度

圖15-2 文化娛樂業σ收斂性診斷圖

圖16-2 公共管理業σ收斂性診斷圖

3 模擬結果比較

從表1對CES生產函數勞動與資本的替代彈性進行估計的結果來看：

表1 Bayesian方法和GME方法估計的彈性值的統計結果

農業：兩種方法估計的σ值相差不大，同時收斂性統計圖也表明彈性值趨于收斂，且穩定。但是GME方法估計出的σ值與相關文獻更為接近，因此，農業部門的σ值采用GME方法的估計結果。

采掘業：貝葉斯方法計算出的σ值為負值，故采用GME方法的估計結果。

制造業：兩種方法得到的σ值相差不大，但GME方法得到的標準差比貝葉斯方法得到的要大很多，貝葉斯方法的收斂性診斷圖顯示σ參數的收斂性很好，因此，制造業部門的σ值采用貝葉斯方法的估計結果。

水電熱業：兩種方法得到的σ值的統計數據均較理想，但貝葉斯方法的收斂性診斷圖顯示σ參數的收斂性很好，同時更接近于相關文獻的數據，因此，選擇貝葉斯方法的估計結果作為水電熱業的估計值。

建筑業：兩種方法得到的σ值較為接近，但從貝葉斯方法的收斂性診斷圖可以看到建筑業的σ參數的收斂性并不好，因此，選擇GME方法估計的結果作為建筑業的σ參數值。

交通倉儲業：兩種方法得到的σ值較為接近，但貝葉斯收斂性診斷圖顯示σ參數開始時收斂性較好，但后期收斂性并不好，因此，交通倉儲業的σ參數值采用GME方法的估計結果。

通信軟件業：貝葉斯方法得到的σ參數值為負數，GME方法得到的σ參數各項指標較滿意，因此，通信軟件業的σ參數值采用GME方法估計的結果。

批發零售業：兩種方法得到的σ參數值的統計數據均較理想，但從貝葉斯方法的收斂性診斷圖可以看到，σ參數的收斂性可以接受，但到后期并不穩定，因此，選擇GME方法估計的結果作為批發零售業的σ值。

金融業：兩種方法得到的σ參數值相差較大，但兩種方法的各項統計指標都比較理想，σ參數的估計值的收斂性也很好且穩定。參考相關文獻，貝葉斯方法估計的參數值偏小，GME方法得到的結果更為理想，因此采用GME方法估計的結果。

房地產業：兩種方法估計的結果很接近且各項統計值也比較理想，但貝葉斯方法得到的收斂性診斷圖顯示σ參數的收斂性較好但并不穩定，因此，采用貝葉斯方法作為房地產業的σ參數值。

租賃服務業：兩種方法估計的結果較為接近，但貝葉斯方法得到的收斂性診斷圖顯示σ參數的收斂性并不穩定，因此，采用GME方法估計的結果。

社會服務業：兩種方法估計的結果相差較大，從相關的統計項來看，貝葉斯方法中得到的σ參數的標準差過大，并且收斂性診斷圖顯示其收斂性也并穩定，因此，采用GME方法估計的結果作為σ的參數值。

教育業：貝葉斯方法得到的σ參數值為負數，并且從收斂性統計圖來看，該值也并不收斂，因此，教育業的σ值采用GME方法的估計結果。

衛生：從收斂性統計圖來看，衛生與社會保障業的σ參數值收斂且穩定，但其估計得到的σ參數值為負數，因此，采用GME方法估計的結果作為σ參數值。

文化娛樂業：兩種方法得到的σ參數值很接近，但從收斂性統計圖來看，文化娛樂業的σ參數值收斂性欠佳，因此，采用GME方法的估計結果。

社會管理：采用貝葉斯方法估計的社會管理業的σ值為負數，并且從收斂性統計圖來看，該行業的σ參數值也并不收斂，而GME方法估計的結果各項統計值較好，因此，采用GME方法估計的結果作為σ參數值。

綜合以上分析，得到的各個產業部門的CES生產函數資本勞動的替代彈性值如表2所示。

4 結論

本文利用貝葉斯方法和廣義最大熵方法對常替代生產函數中的資本勞動替代彈性值進行了估計，通過比較確定了我國16個產業部門的資本勞動替代彈性。本文的估計結果對利用常替代彈性函數刻畫我國產業部門的生產具有參考意義。而對嵌套的資本勞動替代彈性的估計則是未來的研究方向。

表2 各產業的CES生產函數資本勞動替代彈性值

[1]趙永,王勁峰.經濟分析CGE模型與應用[M].北京:中國經濟出版社,2008.

[2]張欣.可計算一般均衡模型的基本原理與編程[M].上海：格致出版社，2010.

[3]茆詩松.貝葉斯統計[M].北京：中國統計出版社，1999.

[4]澤爾納著，張堯庭譯.計量經濟學貝葉斯推理引論[M].上海：上海財經大學出版社，2005.

[5]鄭玉歆,樊明太.中國CGE模型及政策分析[M].北京:社會科學文獻出版社,1999.

[6]McKitrick,Ross R.The Econometric Critique of Computable General Equilibrium Modeling:The Role of Functional Forms[J].Economic Modeling,1998,（15）.

[7]Prroni C.,T.F.Rutherford.A Comparison of the Performance of Flexi?ble Functional Forms for LES in Applied General Equilibrium Model?ling[J].Computational Economices,1998,(11).

[8]Jaynes E.T.Information Theory and Statistical Mechanics[J].Physical review,1957,106(4).

[9]Golan A.,G.Judge,D.Miller.Maximum Entropy Econometrics:Robust Estimation with Limited Data[M].Chiehester,England:John Wiley&Sons Ltd,1996.

[10]Golan A.,E Moretti,J.M.Perloff.An Information-Based Sample-Se?lection Estimation Model of Agricultural Workers’Choice between Piece-Rate and Hourly Work[J].American Journal of Agricultural Economics,1999,81(3).

[11]Zhang X.,S.Fan.Estimation Crop-Specific Production Technologies in Chinese Agriculture:A generalized Maximum Entropy Approach[J].American Journal of Agricultural Economics,2001,83(2).

[12]Tsurumi H.A Bayesian Estimation of Macro and Micro CES Produc?tion Fuctions[J].Journal of Econometrics，1976,4(1).

[13]Mckibbin W.J.,R.Shackleton.,P.J.Wilcoxen.What to Expect from an International System of Tradable Permits for Carbon Emissions[J].Resource and Energy Economics,1999,(21).

[14]Lancaster T.An Introduction to Modern Bayesian Econometrics[M].Cambridge Blackwell Publishing Ltd,2004.