資本資產定價模型的擴展及其在保險中的應用

張鴻雁+李麗玲

摘要：傳統的資本資產定價模型是在一系列過于嚴格化、理想化的條件下建立起來的。針對現實資本市場情況，通過對資本資產定價模型的應用條件的部分修改，如增加保險公司存在違約風險、交易費用和稅收的條件，并且討論交易費用分別為固定值和保費的函數時的情形以及稅收分為固定值和變量的情形，對保費定價問題進行模型擴展。理論推導結果顯示，在存在違約風險情況下，保險公司所收保費應該更低；承保費用越少，所需保費就越少；存在稅負條件下的公平保費與稅收水平有關。

關鍵詞：資本資產定價模型；公平保費；財產保險

中圖分類號： F840.65文獻標志碼： A 文章編號：16720539（2014）03005706

一、 引言

隨著我國資本市場和保險市場的開放和完善，越來越多的保險公司和保險產品開始出現。如何制定一個合理、公平的費率，一直是保險公司和政府相關部門關注的重點，也是很多保險工作者及投保人所關心的問題。很多學者也在理論和應用方面做了不少研究，并嘗試將資本資產定價模型應用到保險的費率制定當中。1964年，夏普[1]（Sharpe）首先提出了CAPM模型（資本資產定價模型）。隨后在1965年、1966年，林特納[2] （Lintner）、莫辛[3]（Mossin）也都分別提出了各自的CAPM模型。此模型主要用于研究證券市場中均衡價格的形成，以此來尋找證券市場中被錯誤定價的證券。1970年，Brennan [4]放寬了對無稅收的假設， 考慮了稅率對證券風險報酬的影響。趙正堂[5]則研究了金融型保險產品的定價模型，包括CAPM模型、套利定價模型（APT）、期權定價模型（OPM）和評估模型，并比較和評述了各個定價模型。他認為，OPM和APT可以通過結合金融市場上的風險附加使CAPM得到一定改進。方俊芝、唐敏[6]研究了資本資產定價模型在保險產品定價中的應用，其中包括一般保險產品和巨災保險產品。錢敏[7]研究了資本資產定價模型和期權定價模型用于保險費率厘定的情況。他認為，資本資產定價模型在考慮了保險基金運用的基礎上，可以用來厘定風險附加費率。景乃權[8]對CAPM的應用條件作了分析，對它的應用作了評述，并認為它具有簡單明確和實用性特點。韓俊霞[9]考慮了保險公司存在違約風險時的公平保費的定價，并通過修改資本資產定價模型的一些條件，得到了更客觀的保費厘定模型。本文是在前人研究的基礎上，特別是受到韓俊霞、高俊山 [9] 等人研究的啟發，對模型的應用條件進行了修改或增加，并探討了模型擴展后在保險費率制定中的應用問題：一是考慮了存在稅收情況的公平保費，并討論了稅收分別為固定值和變量的情形；二是考慮公司若采取再保險策略時的公平保費；三是考慮了承保費用為保費的函數的情形。其中，公式（1）～（37）是文獻[9]中的研究成果，（38）～（58）是本文經研究推導所得。

二 、相關問題描述

假定保險公司有資金（或者叫盈余）為K，已發行的總保單保費價值為P，到期時需支付的總索賠為X，這是一個帶有均值的隨機變量。保險公司把它的所有資金（包括它的盈余和收取的保費）都投于金融市場，其中回報率為ri，若把保險公司的凈資產和總收益的和記為V，則有（1）式成立：

V=（K+P）（1+ri）-X（1）

當保險公司的凈資產為負值時，它就會破產。因為保險公司對于它的投保人的權益支付是有限的，所以在保險公司破產的情況下，它的實際利益為Π=-K；如果保險公司具有償付能力，它的實際權益為

Π=V-K（2）

換言之，我們有：

Π=V-K+Max（0，-V）（3）

或者

Π=V-K+Z（4）

其中

Z=Max（0，-V）（5）

Z叫做公司的破產期權值。

那么，我們的問題是如何確定公平保費P，使得這樣的保費對于保險公司和投保人都是公平的、合理的，并且有利于保險事業的順利發展。因為保費過高，投保人投保的意愿降低，公司難以收取到所需的保費。而保費過低，保險公司因無法得到足夠的保費，將無法得到順利發展，并會導致破產，同時由于保費過低導致投保人投入過量的資金而得不到回報，使保險市場無法順利發展。

三、保費定價模型的建立及求解

現在我們將通過建立合適的模型來解答以上的問題。

令π=Π/K（6）

π為收益率。那么，可以得到：

π=（1+P1K）（1+ri）-X1K-1+Z1K=

（1+P1K）ri+P1Kru+P1KZ1P（7）

其中ru=1-X1P（8）

ru 是承保收益率。

E（π）=（1+P1K）E（ri）+P1KE（ru）+P1K[E（Z1P）]（9）

且有：

E（ri）=rf+βi[E（rm）-rf]（10）

其中，rf為無風險利率，rm為市場m的回報率，E（rm）是市場m的預期市場回報率。

然而，由Sharpe[1] 、Lintner[2] 及Mossin[3]提出的資本資產定價模型可知：

E（π）=rf+β[E（rm）-rf]（11）

其中：β是常數，稱為資產β （asset beta）。β系數反映了資產的回報率對市場變動的敏感程度，βi為資產i的風險系數。

β=Cov（rm，π）/Var（rm）（12）

βi=Cov（rm，ri）/Var（rm）（13）

此外，由收益率的定義可知：

β=（1+P1K）βi+P1Kβu+βz/p（14）

其中βu是承保的β系數，

βz/p=Cov（Z1P，rm）/Var（rm）（15）

βu=-Cov（X，rm）/[PVar（rm）]（16）

把（15）式代入（11），再把（11）和（10）代入（9）式，我們可以得到：

rf+[（1+P1K）βi+P1Kβu+P1Kβz/p][E（rm）-rf]=

（1+P1K）[rf+βi（E（rm）-rf）]+P1KE（ru）+P1KE（Z1P）（17）

整理上面這個方程，可得：

E（ru）=-rf+βu（E（rm）-rf）-

[E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）]（18）

或者

E（ru）=-rf+βu（E（rm）-rf）-VP（19）

其中：

VP=E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）（20）

我們把VP叫做每單位保費的市場期權值，E（ru）為承保收益率的期望。

如果保險公司沒有違約風險，則

Z=0，βz/p=0（21）

這樣就可得到：

E（ru）=-rf+βu（E（rm）-rf）（22）

由（8）式、（15）式和（18）式可得：

P=（-λCov（X，rm）-[E（Z）-

βz（E（rm）-rf）]）/（1+rf）（23）

或者

P=（-λCov（X，rm）-TVP）/（1+rf）（24）

其中：

λ=（E（rm）-rf）/Var（rm）（25）

λ叫做市場風險保費。

TVP=E（Z）-βz（E（rm）-rf） （26）

TVP為期權的市場總值。

同樣的，當保險公司沒有違約風險時，

Z=βz=0（27）

由此可得

P=（-λCov（X，rm））/（1+rf）（28）

式（28）即為保險公司不存在違約風險時的公平保費[9]。

當經濟環境較好時，公司的破產概率會變低，由此得到βz/p≤0、Z≥0。因此，我們有VP≥0和TVP≥0，并有（29）式和（30）式成立

E（ru）≤-rf+βu（E（rm）-rf）（29）

P≤（-λCov（X，rm））/（1+rf）（30）

當且僅當Z=0時，得到

E（ru）=-rf+βu（E（rm）-rf）（31）

且

P=（-λCov（X，rm））/（1+rf）（32）

也就是說，因為保險公司存在破產風險，所以會降低承保利潤率和保費。

式（31）中，βu（E（rm）-rf）為保險的風險保費，（19）式表明保險的平均收益等于風險保費減去市場風險回報率rf，再減去破產時的每單位保費的市場值。這里減去rf，是因為保費是保險公司在一開始從它的投保人那里借來的資金。在（24）式中，是平均損失，λCov（X，rm）是保險公司的承保風險保費。所以（24）式表明，總的保費等于平均損失減去破產時的市場總值，再減去承保風險保費，所得之差除以1與無風險利率的和。

四 、保費定價模型的擴展

（一）考慮交易費用和投資比例的保費定價模型

在上面公平保費的推導過程中，我們假定了無交易費用，而且在一開始保險公司就把所獲得的保費全都可以投入到市場中了。

現在，我們假定公司總的交易費用為C，且只把收取的保費按比例δ投入市場中，此時公司的總資產值為：

V=（K+δ（P-C））（1+ri）+

（1-δ）（P-C）-X（33）

其中：

ru=1-X1P-C1P（34）

ru依然定義為承保利潤率。

注意到此時

β=（1+δ·P-C1K）βi+P1Kβu+P1Kβz/p（35）

重復前面的推導過程，我們可以得到：

E（ru）=-δ（1-c）rf+βu（E（rm）-rf）-

[E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）]

E（ru）=-δ（P-f（P）-δ1P1K）rf+βu（E（rm）-

rf）-[E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）]（36）

其中c=C1P為每單位保費的平均支出。此外，我們有：

P=C+（-λCov（X，rm）-[E（Z）-

βz（E（rm）-rf）]）/（1+δrf）（37）

這樣得到的公式（37）就是在同時考慮了投資比例和承保費用的情況下的公平保費。

從（36）式、（37）式可以看出，當保險公司投入越低比例的保費到市場中，它就需要更高的補償；保險公司的交易費用C越多，保費也越高。

（二）考慮承保費用不是常數和再保險的保費定價模型

一般情況下，承保費用支出并不會是一個常數，而是一個與保費收入有關的一個函數。在此部分，假設承保費用不是一個固定的值。承保費用為C（P）=f（P），即C為關于P的一個函數，f（P）與保費P有著正相關關系。

在現實生活中，一些財產保險公司還會參與再保險，運用再保險策略分擔自身的保險風險。為簡單起見，這里假設原公司采取成比例再保險策略，設再保險費用為P1，其中

P1=δ1P（0≤δ1≤1）（38）

其中，δ1為再保險比例。

此時可得

V=[K+δ（P-f（P）-δ1P）]（1+ri）+

（1-δ）（P-f（P）-δ1P）-X（39）

δ的含義仍為投入市場中的保費與收取的保費之比。此時的承保利潤率為

ru=1-X1P-f（P）1P-δ1（40）

同樣的，由（6）式可得：

π=（1+δ·P-f（P）-δ1P1K）（1+ri）-

（1-δ）P-f（P）-δ1P1K-X1K-1+Z1K

=（1+δ·P-f（P）-δ1P1K）ri+P1K·ru+

P1K·Z1P（41）

對（41）式兩邊取平均值，可得：

E（π）=（1+δ·P-f（P）-δ1P1K）E（ri）+

P1KE（ru）+P1KE（Z1P） （42）

E（π）為此時的實際收益的期望。而此時的β系數為：

β=（1+δ·P-f（P）-δ1P1K）βi+P1Kβu+P1Kβz/p（43）

把（43）代入（11）式，再把（11）式和（10）式代入（42）式，化簡可得

E（ru）=-δ（P-f（P）-δ1P1K）rf+

βu（E（rm）-rf）-[E（Z1P）-

βz/p（E（rm）-rf）]（44）

若f（P）沒有具體的形式，由（20）式可知此時保費的收取必須滿足：

P={+δrff（P）+E[f（P）]-

λCov（X，rm）-[E（Z）-βz（E（rm）-

rf）]}/{1-δ1+δrf-δ1δrf}（45）

因為f（P）與保費P正相關，則可假設

f（P）=k1P+b（46）

即：可以認為f（P）與P為線性關系，且為P的一次函數。其中k1為承保費用與保費之間的相關系數，b為某些固定的費用。這個假設是合理的。一般情況下，有些保費是固定的，其他的比如手續費、員工工資都可以被認為是與P成正比的，所以假定f（P）與P為一次函數關系是可行的。此時：

E（ru）=-δ（P-k1P-b-δ1P1K）rf+

βu（E（rm）-rf）-[E（Z1P）-

βz/p（E（rm）-rf）]（47）

注意到此時

ru=1-X1P-f（P）1P-δ1=

1-X1P-k1-b1P-δ1（48）

類似的，可以求得此時的保費

P={+b+δbrf-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）}/{1-k1-

δ1+δrf-δ1δrf-k1δrf}（49）

由（47）式可以看出，δ1越小，即再保險比例越小， 所需保費也越少；k1越小，即承保費用與保費的正相關系數越小，需收取的保費也越少。如果提高辦事效率，相應所需員工越少，并且在收取保費時相應的承保費用越少，所需保費更少。這是符合實際情況的。

（三）考慮稅收時的保費定價模型

（1）稅收T為固定值時的定價模型。在考慮公司有交易成本的情況下，還可以考慮在公司要納稅的情況下來調整保費的公平定價。假定法定的稅率為T，θ1T代表公司投資收入的平均稅率，其中0≤θ1≤1。現在我們令θ2T為法定的承保利潤稅率。那么，我們可以重新定義在任何給定的承保利潤率E（ru）情況下股東的期望回報。即

E（π）=[1+δP1K（1-c）]（1-θ1T）

E（ri）+P1K（1-θ2T）E（ru）+

P1K（EZ1P）（1-θ2T）（50）

E（π）為股東的期望回報。最后可以得到：

E（ru）=-δ（1-c）rf1-θ1T11-θ2T+rfθ1T1（1-θ2T）P1K+

βu（E（rm）-rf）-[E（Z1P）-

βz/p（E（rm）-rf）]（51）

以及

P=C+（Kθ1rfT）/[（1-θ2T）+δrf（1-θ1T）]+

（-λCov（X，rm）-[E（Z）-βz（E（rm）-

rf）]）/（1+δrf1-θ1T11-θ2T）（52）

式（52）為同時考慮存在承保費用和投資比例、同時公司存在稅賦情形下的公平保費。這時的保費與稅率T有著固定的關系，且由（52）式可知，稅率T越小，保費P也越小。這與實際生活中的金融市場是相符的，稅收少，所需保費也理所當然減少。

（2）稅收為變量時的定價模型。在現實生活中，一般情況下，保險公司的股本在成立時已經固定不變，所以保險公司投入到金融市場中的資金主要依賴于收取的保費，從而公司的投資收入和承保利潤都會受到保費的影響。因此，保險公司的稅收要依賴于所收保費的多少。

設此時稅收T=T（P），即T為一個關于P的函數，這樣的考慮更加符合實際情況。在此情形下，我們重新考慮承保利潤率和公平保費的定價。為簡單起見，假設此時承保費用C=C（P），只把獲得的保費按照一定的比例投資到市場中，投資比例為δ。此時不再考慮再保險。類似的，可求得此時的利潤率為：

E（ru）=-δ（1-c（P））rf1-θ1T（P）11-θ2T（P）+

rfθ1T（P）1（1-θ2T（P））·K1P+βu（E（rm）-

rf）-[E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）]（53）

其中：c（P）=C（P）1P（54）

c（P）為承保費用與保費相關時每單位保費的平均支出。假設稅收與保費成正比關系，即：

T（P）=k2P（ k2>0）（55）

其中，k2為稅收與保費的比例系數。特別的，當無保費收入時，稅收為0。此時承保利潤率期望為：

E（ru）=-δ（1-c（P））rf1-θ1k2P11-θ2k2P+

rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P+βu（E（rm）-rf）-

[E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）]（56）

其中：ru=1-X1P-C（P）1P （57）

此為在考慮了交易費用后的承保利潤率。

求得此時的公平保費P滿足：

P-（P）+δ（1-（P））rf= +1-θ1k2P11-θ2k2P·

11P+rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P-λcov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]（58）

考慮交費費用為C（P）（即C為保費P的函數），稅率T為T（P）=k2P（即T為保費的正比例函數）時，此時得到的保費即為（58）式。上述分析表明，在綜合考慮了眾多因素后，保費P的表達式比較復雜，此時考慮的交易費用與保費的關系不一定是一次函數關系，所以得到的是（57）式。顯然，稅率T越小，保費將越少。

（四）基本結論

定理（1）在考慮保險公司的破產風險時，保費的定價為：

P=（-λCov（X，rm）-TVP）/（1+rf）

其中，λ=（E（rm）-rf）/Var（rm）為市場風險保費；TVP=E（Z）-βz（E（rm）-rf）為期權的市場總值。

此時的承保收益率的期望為：

E（ru）=-rf+βu（E（rm）-rf）-VP

其中，VP=E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）為每單位保費的市場期權值。

（2）考慮交易費用和投資比例時，保險的公平保費價格以及平均承保收益率為：

P=C+（-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]）/（1+δrf）

E（ru）=-δ（P-f（P）-δ1P1K）rf+

βu（E（rm）-rf）-Vp

其中，λCov（X，rm）是保險公司的承保風險保費。

（3）考慮承保費用不是常數和再保險的公平保費為：

設再保險費用為P1，則

P1=δ1P（0≤δ1≤1）

其中，δ1為再保險比例。

①承保費用為C（P）=f（P）時，若f（P）沒有具體的形式，由（19）式得到此時保費的收取必須滿足：

P={+δrff（P）+E[f（P）]-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]}/{1-δ1+δrf-

δ1δrf}

②f（P）=k1P+b（ 其中k1為承保費用與保費之間的相關系數，b為某些固定的費用）時，可得

P={+δrff（P）+E[f（P）]-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]}/{1-δ1+δrf-

δ1δrf}

為平均索賠，（E（Z）-βz（E（rm）-rf））為期權的市場總值。

（4）考慮稅收時的保費價格

①稅收T為固定值時：

P=C+（Kθ1rfT）/[（1-θ2T）+δrf（1-θ1T）]+

（-λCov（X，rm）-[E（Z）-βz（E（rm）-

rf）]）/（1+δrf1-θ1T11-θ2T）

②稅收為變量時，設此時稅收T=T（P），此時的公平保費P滿足：

P-（P）+δ（1-（P））rf=+1-θ1k2P11-θ2k2P·

11P+rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P-λcov（X，rm）-TVp

其中，C-（P）為承保費用的平均值。k2P是指考慮稅收為保費的正比例關系時的稅率。上述分析表明，在綜合考慮了眾多因素后，保費P的表達式比較復雜，此時考慮的交易費用與保費的關系不一定是一次函數關系，所以得到的是（58）式。顯然，稅率T越小，保費將越少。

五、結論

由傳統的資本資產定價模型得到的保費，是偏高的，因為它沒有考慮違約風險。本文則證明了在考慮了保險公司的破產風險后，保費應會更低。在考慮了破產風險之后，保險人所要求的收益率也會變低。再保險比例越小，所需保費也越少。如果提高辦事效率，相應所需員工越少，并且在收取保費時相應的承保費用越少，則所需保費更少。此外，保費的收取與稅率有關。

鑒于相關研究數據的取得較為困難，所以本文未能進行更為深入的實證分析，這也是本文研究的一大遺憾，也期待在后續研究中進行。

參考文獻：

[1]William F. Sharpe. Capital Asset Prices： A theory of market equilibrium under condition of risk [J]. The Journal of Finance，1964，（3）：425-442.

[2]John Lintner. Security prices， risk， and maximal gains from diversification [J].The Journal of Finance，1965，（4）： 587-615.

[3]Jan Mossin. Equilibrium in a Capital Asset Market [J]. Econometrica，1966， 4：768-783.

[4]M. J. Brenanan. Taxes， market valuation and corporate financial policy [J]. National Tax Journal，1970， （2）：321-352.

[5]趙正堂. 金融型保險產品定價模型研究[J].廈門大學學報：哲學社會科學版，2008，（4）：42-51.

[6]方俊芝，唐敏.資本資產定價模型在保險產品定價中的應用[J].生產力研究，2010，（5）：86-90.

[7]錢敏.基于資產定價理論的保險費率研究[J].重慶大學學報：社會科學版，2010，16（3）：46-51.

[8]景乃權.資本資產定價模型及其評述[J].經濟學家，2000，（04）：116-120.

[9]韓俊霞，高俊山.資本資產定價模型在保險中的應用[J].知識叢林， 2005，（11）：130-131.

E（ru）=-δ（1-c（P））rf1-θ1k2P11-θ2k2P+

rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P+βu（E（rm）-rf）-

[E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）]（56）

其中：ru=1-X1P-C（P）1P （57）

此為在考慮了交易費用后的承保利潤率。

求得此時的公平保費P滿足：

P-（P）+δ（1-（P））rf= +1-θ1k2P11-θ2k2P·

11P+rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P-λcov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]（58）

考慮交費費用為C（P）（即C為保費P的函數），稅率T為T（P）=k2P（即T為保費的正比例函數）時，此時得到的保費即為（58）式。上述分析表明，在綜合考慮了眾多因素后，保費P的表達式比較復雜，此時考慮的交易費用與保費的關系不一定是一次函數關系，所以得到的是（57）式。顯然，稅率T越小，保費將越少。

（四）基本結論

定理（1）在考慮保險公司的破產風險時，保費的定價為：

P=（-λCov（X，rm）-TVP）/（1+rf）

其中，λ=（E（rm）-rf）/Var（rm）為市場風險保費；TVP=E（Z）-βz（E（rm）-rf）為期權的市場總值。

此時的承保收益率的期望為：

E（ru）=-rf+βu（E（rm）-rf）-VP

其中，VP=E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）為每單位保費的市場期權值。

（2）考慮交易費用和投資比例時，保險的公平保費價格以及平均承保收益率為：

P=C+（-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]）/（1+δrf）

E（ru）=-δ（P-f（P）-δ1P1K）rf+

βu（E（rm）-rf）-Vp

其中，λCov（X，rm）是保險公司的承保風險保費。

（3）考慮承保費用不是常數和再保險的公平保費為：

設再保險費用為P1，則

P1=δ1P（0≤δ1≤1）

其中，δ1為再保險比例。

①承保費用為C（P）=f（P）時，若f（P）沒有具體的形式，由（19）式得到此時保費的收取必須滿足：

P={+δrff（P）+E[f（P）]-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]}/{1-δ1+δrf-

δ1δrf}

②f（P）=k1P+b（ 其中k1為承保費用與保費之間的相關系數，b為某些固定的費用）時，可得

P={+δrff（P）+E[f（P）]-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]}/{1-δ1+δrf-

δ1δrf}

為平均索賠，（E（Z）-βz（E（rm）-rf））為期權的市場總值。

（4）考慮稅收時的保費價格

①稅收T為固定值時：

P=C+（Kθ1rfT）/[（1-θ2T）+δrf（1-θ1T）]+

（-λCov（X，rm）-[E（Z）-βz（E（rm）-

rf）]）/（1+δrf1-θ1T11-θ2T）

②稅收為變量時，設此時稅收T=T（P），此時的公平保費P滿足：

P-（P）+δ（1-（P））rf=+1-θ1k2P11-θ2k2P·

11P+rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P-λcov（X，rm）-TVp

其中，C-（P）為承保費用的平均值。k2P是指考慮稅收為保費的正比例關系時的稅率。上述分析表明，在綜合考慮了眾多因素后，保費P的表達式比較復雜，此時考慮的交易費用與保費的關系不一定是一次函數關系，所以得到的是（58）式。顯然，稅率T越小，保費將越少。

五、結論

由傳統的資本資產定價模型得到的保費，是偏高的，因為它沒有考慮違約風險。本文則證明了在考慮了保險公司的破產風險后，保費應會更低。在考慮了破產風險之后，保險人所要求的收益率也會變低。再保險比例越小，所需保費也越少。如果提高辦事效率，相應所需員工越少，并且在收取保費時相應的承保費用越少，則所需保費更少。此外，保費的收取與稅率有關。

鑒于相關研究數據的取得較為困難，所以本文未能進行更為深入的實證分析，這也是本文研究的一大遺憾，也期待在后續研究中進行。

參考文獻：

[1]William F. Sharpe. Capital Asset Prices： A theory of market equilibrium under condition of risk [J]. The Journal of Finance，1964，（3）：425-442.

[2]John Lintner. Security prices， risk， and maximal gains from diversification [J].The Journal of Finance，1965，（4）： 587-615.

[3]Jan Mossin. Equilibrium in a Capital Asset Market [J]. Econometrica，1966， 4：768-783.

[4]M. J. Brenanan. Taxes， market valuation and corporate financial policy [J]. National Tax Journal，1970， （2）：321-352.

[5]趙正堂. 金融型保險產品定價模型研究[J].廈門大學學報：哲學社會科學版，2008，（4）：42-51.

[6]方俊芝，唐敏.資本資產定價模型在保險產品定價中的應用[J].生產力研究，2010，（5）：86-90.

[7]錢敏.基于資產定價理論的保險費率研究[J].重慶大學學報：社會科學版，2010，16（3）：46-51.

[8]景乃權.資本資產定價模型及其評述[J].經濟學家，2000，（04）：116-120.

[9]韓俊霞，高俊山.資本資產定價模型在保險中的應用[J].知識叢林， 2005，（11）：130-131.

E（ru）=-δ（1-c（P））rf1-θ1k2P11-θ2k2P+

rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P+βu（E（rm）-rf）-

[E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）]（56）

其中：ru=1-X1P-C（P）1P （57）

此為在考慮了交易費用后的承保利潤率。

求得此時的公平保費P滿足：

P-（P）+δ（1-（P））rf= +1-θ1k2P11-θ2k2P·

11P+rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P-λcov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]（58）

考慮交費費用為C（P）（即C為保費P的函數），稅率T為T（P）=k2P（即T為保費的正比例函數）時，此時得到的保費即為（58）式。上述分析表明，在綜合考慮了眾多因素后，保費P的表達式比較復雜，此時考慮的交易費用與保費的關系不一定是一次函數關系，所以得到的是（57）式。顯然，稅率T越小，保費將越少。

（四）基本結論

定理（1）在考慮保險公司的破產風險時，保費的定價為：

P=（-λCov（X，rm）-TVP）/（1+rf）

其中，λ=（E（rm）-rf）/Var（rm）為市場風險保費；TVP=E（Z）-βz（E（rm）-rf）為期權的市場總值。

此時的承保收益率的期望為：

E（ru）=-rf+βu（E（rm）-rf）-VP

其中，VP=E（Z1P）-βz/p（E（rm）-rf）為每單位保費的市場期權值。

（2）考慮交易費用和投資比例時，保險的公平保費價格以及平均承保收益率為：

P=C+（-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]）/（1+δrf）

E（ru）=-δ（P-f（P）-δ1P1K）rf+

βu（E（rm）-rf）-Vp

其中，λCov（X，rm）是保險公司的承保風險保費。

（3）考慮承保費用不是常數和再保險的公平保費為：

設再保險費用為P1，則

P1=δ1P（0≤δ1≤1）

其中，δ1為再保險比例。

①承保費用為C（P）=f（P）時，若f（P）沒有具體的形式，由（19）式得到此時保費的收取必須滿足：

P={+δrff（P）+E[f（P）]-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]}/{1-δ1+δrf-

δ1δrf}

②f（P）=k1P+b（ 其中k1為承保費用與保費之間的相關系數，b為某些固定的費用）時，可得

P={+δrff（P）+E[f（P）]-λCov（X，rm）-

[E（Z）-βz（E（rm）-rf）]}/{1-δ1+δrf-

δ1δrf}

為平均索賠，（E（Z）-βz（E（rm）-rf））為期權的市場總值。

（4）考慮稅收時的保費價格

①稅收T為固定值時：

P=C+（Kθ1rfT）/[（1-θ2T）+δrf（1-θ1T）]+

（-λCov（X，rm）-[E（Z）-βz（E（rm）-

rf）]）/（1+δrf1-θ1T11-θ2T）

②稅收為變量時，設此時稅收T=T（P），此時的公平保費P滿足：

P-（P）+δ（1-（P））rf=+1-θ1k2P11-θ2k2P·

11P+rfθ1k2P11-θ2k2P·K1P-λcov（X，rm）-TVp

其中，C-（P）為承保費用的平均值。k2P是指考慮稅收為保費的正比例關系時的稅率。上述分析表明，在綜合考慮了眾多因素后，保費P的表達式比較復雜，此時考慮的交易費用與保費的關系不一定是一次函數關系，所以得到的是（58）式。顯然，稅率T越小，保費將越少。

五、結論

由傳統的資本資產定價模型得到的保費，是偏高的，因為它沒有考慮違約風險。本文則證明了在考慮了保險公司的破產風險后，保費應會更低。在考慮了破產風險之后，保險人所要求的收益率也會變低。再保險比例越小，所需保費也越少。如果提高辦事效率，相應所需員工越少，并且在收取保費時相應的承保費用越少，則所需保費更少。此外，保費的收取與稅率有關。

鑒于相關研究數據的取得較為困難，所以本文未能進行更為深入的實證分析，這也是本文研究的一大遺憾，也期待在后續研究中進行。

參考文獻：

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