雙循環半群上的同余關系

關藝, 任苗苗, 陳益智

(1.西北大學數學學院,陜西 西安 710127;2.廣東惠州學院數學系,廣東 惠州 516007)

雙循環半群上的同余關系

關藝1, 任苗苗1, 陳益智2

(1.西北大學數學學院,陜西 西安 710127;2.廣東惠州學院數學系,廣東 惠州 516007)

從雙循環半群的同余關系出發,討論了冪等元所在的同余類,證明了雙循環半群上的一類同余ρd(d∈N)與其逆子半群之間的相互唯一確定關系,并對這種同余做成的集合進行了刻畫,證明了這種同余做成的格與自然數集在某種偏序下做成的格同構,得到了一些有意義的結果.

雙循環半群;同余;逆子半群;子格

1 引言及預備知識

設(S,·)是半群,若對任意的a∈S,S中有且僅有a的一個逆元,記為a?1,則稱S為逆半群[1].設μ是逆半群S上最大的冪等元分離同余,若μ=1s,則稱S為基本逆半群[1].用N表示所有自然數集,N×N為N與N的笛卡爾積集,其上的乘法為:由文獻 [1]知,N×N 關于定義的乘法做成半群,且稱此半群為雙循環半群.設 S是逆半群,若S上的格林D關系為泛關系,即D=S×S,則稱S為雙單逆半群.若逆半群S既是基本的又是雙單的,則稱 S為基本雙單逆半群.設 S是基本雙單逆半群,Cω是 S的冪等元集,則在同構意義下,S就是雙循環半群.設S是逆半群,若S上的格林J關系為泛關系,即J=S×S,則稱S為單逆半群.設S是基本單逆半群,Cω是S的冪等元集,則在同構意義下,S就是雙循環半群的逆子半群Bd(d∈N)[1].設L是一個格,X/=?是L的一個子集,且對a,b∈X,均有a∧b∈X及a∨b∈X,則稱X是L的一個子格[2].雙循環半群作為一類特殊的逆半群,并且逆半群是正則半群,文獻[3]給出了正則半群冪等元同余類的刻畫,文獻[4]對雙循環半群上的同余結構進行了討論,并給出了最小群同余的刻畫,文獻[5]研究了自反逆半群上的一類同余,文獻[6]對于逆半群知識進行了系統闡述.本文在以上文獻的基礎上,對雙循環半群〈N×N,·〉上的一類同余ρd(d∈N)進行探討,得到了〈N×N,·〉上的同余ρd(d∈N)與其逆子半群Bd(d∈N)之間的相互唯一確定關系,進而給出這類同余的刻畫.

2 主要結論

設〈N×N,·〉是雙循環半群,d∈N.定義〈N×N,·〉上的二元關系ρd如下:

這樣就有以下結果:

引理 2.1ρd是同余關系.

證明首先證明ρd是等價關系.

對任意的(m,n)∈N×N,因為d|0.所以d|(m?n)?(m?n),即(m,n)ρd(m,n),從而反身性成立.

對任意的(m,n),(m?,n?)∈N×N,若(m,n)ρd(m?,n?),則d|(m??n?)?(m?n),進而有d|(m?n)?(m??n?),即(m?,n?)ρd(m,n),從而對稱性成立.

對任意的(m,n),(m′,n′),(m?,n?)∈N×N,若(m,n)ρd(m′,n′),(m′,n′)ρd(m?,n?),則有

d|(m′?n′)?(m?n),d|(m??n?)?(m′?n′),

進而

d|[(m??n?)?(m′?n′)]+[(m′?n′)?(m?n)],

于是d|(m??n?)?(m?n),即(m,n)ρd(m?,n?),從而傳遞性成立.

下證 ρd滿足左右相容性.若設 (m,n)ρd(m?,n?),則有 d|(m??n?)?(m?n),對任意的(m′,n′)∈N×N,得

(m′,n′)(m,n)=(m′?n′+t,n?m+t),其中t=max(n′,m),

(m′,n′)(m?,n?)=(m′?n′+r,n??m?+r),其中r=max(n′,m?),

又因為

所以

(m′?n′+t,n?m+t)ρd(m′?n′+r,n??m?+r),

即

(m′,n′)(m,n)ρd(m′,n′)(m?,n?),

因此ρd滿足左相容.同理可證,ρd滿足右相容.

綜上,ρd是同余關系.

下面給出〈N×N,·〉上冪等元的刻畫.

引理2.2(m,n)是〈N×N,·〉的冪等元當且僅當m=n.

證明(=?)設(m,n)是〈N×N,·〉的冪等元,則

因為m?n+t=m,n?m+t=n,所以t=m=n.

(?=)(m,n)(m,n)=(m?n+t,n?m+t)=(m,n),其中t=max(n,m),因為m=n,所以t=m=n,于是(m,n)(m,n)=(m,n),即有(m,n)是冪等元.

由引理2.1、引理2.2得到了雙循環半群〈N×N,·〉上的一類特殊的同余ρd(d∈N)以及〈N×N,·〉上冪等元的刻畫.首先考慮冪等元所在的ρd類.

對任意的m∈N,由引理2.2知,(m,m)是〈N×N,·〉的任意冪等元,對(m,m)所在的 ρd類定義如下:

又對任意的n∈N,因為d|(p?q)?(m?m)=d|(p?q)?(n?n),所以

即得(m,m)ρd=(n,n)ρd.由此可知,任意兩個冪等元都滿足ρd關系,則所有的冪等元都在同一個ρd類中,因此同余ρd是冪等純同余.

進一步有:

性質 2.1雙循環半群〈N×N,·〉的冪等元所在的ρd類是基本單逆Cω半群.

證明對任意的(m,m)∈N×N,(m,m)ρd={(p,q)∈N×N:d|p?q},記

易證Bd是〈N×N,·〉的逆子半群,由文獻[1]性質7.7知,Bd就是基本單逆Cω半群.

雙循環半群 〈N×N,·〉的逆子半群 Bd(d∈N)的全體做成的集合記為 B,雙循環半群〈N×N,·〉上的一類同余ρd(d∈N)的全體做成的集合記為C.

以下討論集合 B與集合 C之間的關系.任意給定一個數 d(d∈N),都可由 d構造雙循環半群 〈N×N,·〉上的同余 ρd,又因為冪等元所在的 ρd類就是 Bd,即任給一個 ρd都有唯一的 Bd與之對應.同樣的,任給一個基本單逆 Cω半群,由文獻 [1]性質 7.7知,都有唯一的 Bd(d∈N)與之對應,進而數d(d∈N)也隨之確定,通過數d(d∈N)又可確定一個同余 ρd.由此可見 〈N×N,·〉的逆子半群 Bd(d∈N)與其上的一類同余ρd(d∈N)之間可相互唯一確定.設映射 ?:B→ C.對任意的 Bd∈B,使得 ρd=?(Bd).對任意的ρd1,ρd2∈C,若ρd1=ρd2,則(m,m)ρd1=(m,m)ρd2,即有Bd1=Bd2,從而?是單射.對任意的ρd∈C,可得(m,m)ρd=Bd,使得ρd=?(Bd),從而?是滿射.因此可以給出如下結論.

結論 2.1集合B與集合C之間可建立一一對應.

3 關于集合C的刻畫

雙循環半群〈N×N,·〉上同余的全體在包含關系下做成的格記為L=〈con(N×N,·),?〉.

定理3.1集合C是格L的子格.

證明由C={ρd|d∈N},需證明對任意的ρd1,ρd2∈C,有

其中[d1,d2]、(d1,d2)分別是d1、d2的最小公倍數和最大公約數.

首先,證明C在“∧”運算下封閉.

易證ρd1∧ρd2=ρd1∩ρd2.因為ρd1∩ρd2?ρd1,ρd1∩ρd2?ρd2,所以ρd1∩ρd2是ρd1,ρd2的下界.設ρd是ρd1,ρd2的任一下界,則ρd?ρd1,ρd?ρd2,進而ρd?ρd1∩ρd2.

所以ρd1∩ρd2是ρd1,ρd2的最大下界,即ρd1∧ρd2=ρd1∩ρd2.

現證ρd1∩ρd2=ρ[d1,d2].

(?)對任意的((m,n),(p,q))∈ρd1∩ρd2,則((m,n),(p,q))∈ρd1,((m,n),(p,q))∈ρd2,即有

進而[d1,d2]|(p?q)?(m?n),所以((m,n),(p,q))∈ρ[d1,d2],由此可得ρd1∩ρd2?ρ[d1,d2].

(?)對任意的((m,n),(p,q))∈ρ[d1,d2],則[d1,d2]|(p?q)?(m?n),即有

進而((m,n),(p,q))∈ρd1,((m,n),(p,q))∈ρd2,所以((m,n),(p,q))∈ρd1∩ρd2,由此可得ρ[d1,d2]?ρd1∩ρd2.綜上,ρd1∩ρd2=ρ[d1,d2].

其次,證明C在“∨”運算下封閉.

對任意的((m,n),(p,q))∈ρd1,則d1|(p?q)?(m?n),進而(d1,d2)|(p?q)?(m?n),所以((m,n),(p,q))∈ρ(d1,d2),由此可得ρd1?ρ(d1,d2).

對任意的((m,n),(p,q))∈ρd2,則d2|(p?q)?(m?n),進而(d1,d2)|(p?q)?(m?n),所以((m,n),(p,q))∈ρ(d1,d2),由此可得ρd2?ρ(d1,d2).

綜上ρ(d1,d2)是ρd1,ρd2的上界.

設ρd是ρd1,ρd2的任一上界,則ρd1?ρd.對任意的((m,n),(p,q))∈ρd1,有

可推得d|(p?q)?(m?n).又有ρd2?ρd,則對任意的((m,n),(p,q))∈ρd2,有

可推得d|(p?q)?(m?n),因此,d|(d1,d2).

以下證明 ρ(d1,d2)?ρd.

任給((m,n),(p,q))∈ρ(d1,d2),有(d1,d2)|(p?q)?(m?n),進而

d|(p?q)?(m?n),即((m,n),(p,q))∈ρd,

因此 ρ(d1,d2)? ρd. 由此可得 ρ(d1,d2)是 ρd1,ρd2上界中最小的,即 ρd1∨ρd2= ρ(d1,d2). 因

為d1,d2∈N,所以[d1,d2],(d1,d2)∈N,則

ρd1∧ρd2=ρ[d1,d2]∈C,ρd1∨ρd2=ρ(d1,d2)∈C.

綜上可知,集合C是格L的子格.

設N是自然數集.定義N上的二元關系“≤”如下:

這樣就有:

引理 3.1〈N,≤〉是格.

證明首先證明“≤”是偏序關系.對任意的a∈N,因為a|a,所以a≤a,從而自反性成立.對任意的a,b∈N,若a≤b,b≤a,則b|a,a|b,因此a=b,從而反對稱性成立.對任意的a,b,c∈N,若a≤b,b≤c,則b|a,c|b,于是c|a,即a≤c,從而傳遞性成立.

下證〈N,≤〉中任意兩元的最大下界和最小上界都存在.需證對任意的a,b∈N,有

其中[a,b]、(a,b)分別是a,b的最小公倍數和最大公約數.

對任意的a,b∈N,因為a|[a,b],b|[a,b],所以[a,b]≤a,[a,b]≤b,即[a,b]是a,b的下界.設c是a,b的任一下界,則有c≤a,c≤b,于是a|c,b|c,進而[a,b]|c,因此c≤[a,b],從而[a,b]是a,b的最大下界,即a∧b=[a,b].類似可證,(a,b)是a,b的最小上界,即a∨b=(a,b).

綜上,〈N,≤〉是格.

接下來考慮以上兩種格之間的關系,得到如下定理:

定理3.2格C與格〈N,≤〉同構.

證明設映射?:〈N,≤〉→C.對任意的a∈N,使得ρa=?(a).顯然?是雙射.下證?是同態映射.

對任意的a,b∈N,因為

?(a∨b)=?((a,b))=ρ(a,b)=ρa∨ρb=?(a)∨?(b),

且有

?(a∧b)=?([a,b])=ρ[a,b]=ρa∧ρb=?(a)∧?(b),

所以?是同態映射.

參考文獻

[1] Howie J M.An introduction to Semigroup Theory[M].New York:Academic press,1976.

[2] 盛德成.抽象代數[M].北京:科學出版社,2001.

[3] 喬占科.正則半群的冪等元同余類[J].純粹數學與應用數學,1995,11(1):69-71.

[4] 徐文鋒.雙循環半群上的同余結構[J].韶關學院學報:自然科學版,2012,33(8):11-13.

[5] 黃天霖.E-自反逆半群上的Cli ff ord同余[J].純粹數學與應用數學,2005,21(3):255-262.

[6] Petrich M.Inverse Semigroups[M].New York:Wiley,1984.

Congruence relations on a bicyclic semigroup

Guan Yi1,Ren Miaomiao1,Chen Yizhi2
(1.Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China; 2.Department of Mathematics,Huizhou University,Huizhou 516007,China)

This paper is devoted to study congruences on a bicyclic semigroup.It is shown that there is an unique bijection between a class of congruences ρd(d∈N)on it and its inverse subsemigroups.Also,the lattice of such congruences and the lattice of natural numbers under some partial order are isomorphic.

bicyclic semigroup,congruence,inverse subsemigroup,sublattice

O152.7

A

1008-5513(2014)04-0435-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.014

2014-04-30.

廣東高校優秀青年創新人才培養計劃項目(2013LYM0086).

關藝(1989-),碩士生,研究方向：代數學.

2010 MSC:20M18