看不見的杯底硬幣——一個令人感興趣的光學探究資源

劉劍鋒 徐書輝

（1.贛南師范學院物電學院，江西 贛州 341000；2.贛州中學，江西 贛州 341000）

這是一個讓學生很感興趣的探究資源，材料隨手可得，現象奇特，初想簡單，細思卻難，具有濃厚的探究意味，是一個不可多得的探究資源，現介紹給各位同仁.

1 現象描述

實驗所需材料很簡單，如果在實驗室可用透明燒杯，在家里探究則可用一個平底透明玻璃杯或一次性透明塑料杯，另外還需要一枚硬幣或一片硬幣大小的有色紙片（有顏色更便于觀察，所以筆者采用有色紙片）.

現象1：先將硬幣放在桌面上，然后把杯子放在硬幣上，硬幣不必一定要在杯子底部的正中心，只要在杯子底部即可.這時無論從何處觀察，均能看到杯底的硬幣.但如果往杯子里倒滿水，奇跡就發生了.這時只能從杯口往里看才能看到杯底的硬幣（圖1），從杯子側面看則根本看不到硬幣，硬幣似乎憑空消失了（圖2）.

現象2：如果把硬幣在水里沾濕，然后再重做前述實驗，結果又能從側面看到硬幣了.

現象3：表面看現象2似乎與不倒水時看到的現象一樣，但其實并不相同.前面說過，如果是空杯子，則無論從哪兒都能看到硬幣，但現在如果裁剪一條適當寬度的紙片把杯子的下部圍一圈，就會發現從側面又看不到硬幣.

圖1

圖2

2 現象解釋

為研究方便，我們要建立一個物理模型.因為硬幣無論放在杯底哪個地方硬幣都是整體消失或整體出現，說明作為一個整體所遵循的規律應該是一樣的，所以我們可以將硬幣看成一個點，或者說我們可以從硬幣上選取一個點A進行研究.由于杯子壁不算厚，且與水的折射率相差不是很大，為研究方便，忽略杯子折射率與水不同的影響（其實即使考慮其影響，結論也還是一樣）.

圖3

圖4

筆者認為原因主要有兩個.首先，從前述分析可以看出，在圖3中只有i2角為42°到48°之間的角度時，光線才能從側壁射出，所以能出射的光線并不多；況且入射角越接近全反射臨界角則反射光線會越來越強，折射光線會越來越弱.其次，從我們眼睛對面射入水中的光線會有一部分在玻璃杯底部發生全反射，造成反射光過亮.這樣，反射光遮蔽了底部硬幣的圖像和文字發出的折射光線，所以人眼就感覺不到底下硬幣的存在（類似于強光刺眼，看不清東西）.其實如果仔細從杯口上方觀看，我們很容易發現由于側壁全反射形成的像（圖4），這也可以間接說明從側壁折射出去的光線并不多.為檢驗筆者的猜想，筆者將硬幣換成顏色更鮮艷的紅色紙片，并用臺燈在杯子正上方直射紙片來增強紙片的漫反射光線（當然也可以想辦法減弱從對面射入的光線，如對著暗的地方），相比較而言，此時杯底的全反射光線就顯得沒那么強了，結果筆者果然在側面上方觀察到了杯底的紙片.

此外，從筆者親身經歷來看，還有一個因素值得考慮，那就是人眼從側壁可觀察到硬幣的范圍相對較窄，從圖3可以看出視線幾乎要在杯子斜上方才能看到硬幣的像，但我們從側面觀察時往往離開杯子一段距離來觀看，因此，硬幣射出的光線并不能進入我們的眼睛，這也是造成從側面看不到硬幣的原因.另外，由于很多實驗者是用白色硬幣做實驗，更增加了觀察的難度.

那么為什么硬幣沾了水后就又能從側面很容易地看到硬幣呢？

其實，如果硬幣沾濕后就和杯底粘在了一起，硬幣與杯底之間充滿了水，因此硬幣與杯底之間就再也沒有空氣層了，這時硬幣就相當于在杯子里面一樣，從A點發出的光線可以認為沒有經過杯底的那一次折射，而是直接射向杯子側壁（圖5）.顯然，這時的射向側壁光線的入射角要分兩種情況考慮，當這個入射角i2小于48°時，光線主要是從杯子側壁折射出去，當這個入射角i2大于等于48°時，光線就不能從杯子側壁折射出去.與前面硬幣沒有被沾濕不同的是，此時能從側壁射出光線的角度范圍不再是42°到48°，而是從0°到48°，所以從側壁射出的光線足夠強，自然就能看到硬幣了.但由于人眼無法精確判斷，所以感覺在側面從各處都能看到硬幣.這時，如果我們用一個紙圈擋住杯子下部，也就是擋住能發生折射的那部分側壁，則由于上部分的光線全部發生了全反射，所以我們也就無法再從側面看到硬幣了，這就是現象3呈現出來的現象.

一般的杯子是口大底小，也就是說側面不是垂直杯底的，而是向外傾斜，這會不會影響實驗現象呢？其實杯子側壁向外傾斜后，對于圖中的折射角r1沒有影響，r1仍小于48°；只不過現在圖3中的r1＋i2＞90°了.因此，能有折射光線射出側壁的入射角i2的范圍還將進一步變小，自然更加無法在側壁看到硬幣了.

圖5

3 學生探究時遇到的困難

當教師呈現現象之后，學生一般都能猜想到可能與光的折射與全反射有關.但在要學生深入探究下去時，學生往往存在以下幾個問題.一是無法抽象出物理模型，因而根本無法繼續下去；二是能抽象出物理模型，但不知道忽略杯子的影響，從而造成物理模型過于復雜，給后面的討論造成很大的困難.但不管怎樣，絕大多數學生都無法給出正確解釋，一般他們解釋就是畫圖5的光路；這是因為他們根本沒有想到硬幣雖然挨著杯子，但由于硬幣的不平整，事實上硬幣與杯底之間仍存在空隙，所以必須考慮硬幣與杯底之間空氣的影響.可見懂得忽略什么，又不能忽略什么是非常重要的事情，這其實也需要通過不斷地學習才能了解和掌握.而本探究資源恰好為培養學生模型建立的能力提供了很好的素材.此外，在建立了正確的模型，得出了正確的光路后，如何解釋仍不能從側面看到硬幣也還需要學生深入思考并充分調動平時的生活經驗.

4 教學建議

根據筆者的教學經驗.在讓學生探究時，可以先向學生呈現現象1，在提出猜想的過程中，通過交流討論，學生往往會給出類似圖5所示的想法.這時，教師可提供現象2這個“腳手架”給學生（這是教師引導探究的關鍵一步），通過對比，引發學生進一步的思考和討論，并在實驗檢驗的基礎上得出正確結論.在此基礎上，如果有時間，也可以讓學生進一步討論如果杯子壁是傾斜的或如果考慮杯子玻璃折射率不同會不會對我們的討論有影響.

1 孫曉明.玻璃杯中的有趣光學現象［J］.物理教學探討，2003（11）：46－47.

2 蘇明義.為什么看不到水杯下的硬幣了［J］.物理教學探討，2013（3）：1－2.