利用斜率巧解疑難問題例析

楊 杰

（江蘇省新海高級中學(xué)，江蘇 連云港 222006）

圖像能形象地表達物理規(guī)律、直觀地描述物理過程，能化難為易，化繁為簡，是分析物理問題的有效手段之一，也是學(xué)生容易出錯的疑難問題，自然是高考命題的熱點內(nèi)容.從近幾年高考情況來看，圖像在高考中出現(xiàn)的頻率很高，且常以選擇題中的壓軸題出現(xiàn)，重點考查學(xué)生利用圖像靈活解決物理問題的能力.其實，利用圖像法解決問題，思路是很清晰的，過程也很簡捷.只要能夠準(zhǔn)確把握圖像中兩坐標(biāo)軸對應(yīng)的物理量之間的關(guān)系，并巧妙借助于斜率，很多疑難問題便可迎刃而解.下面筆者就以近年來江蘇高考題和高三復(fù)習(xí)中的難題為例，分析斜率在解決疑難問題中的重要作用.

例1.（2014年江蘇高考第5題）一汽車從靜止開始做勻加速直線運動，然后剎車做勻減速直線運動，直到停止.下列速度v和位移x的關(guān)系圖像中，能描述該過程的是

圖1

圖2

解析：設(shè)汽車O→A做初速度為0、末速度為vm、加速度大小為a1的勻加速運動，A→B做初速度為vm、末速度為0、加速度大小為a2的勻減速運動，如圖2所示.

O→A：x增加，斜率減小.

A→B：同理，v2－vm2＝－2a2（x－x0），

A→B：x增加，斜率增大.

從圖像來看，符合要求的只有（A）圖，故正確選項為（A）.

小結(jié)：本題為2014年江蘇高考單選題的最后一題，難度較大.雖然情境非常熟悉，但問題與平時大有不同.考查的不是常見的v-t、x-t圖像，而是v-x圖像，部分學(xué)生可能思路不清，無從下手，但如果熟練掌握解決圖像問題的基本思路，從斜率入手，問題就會迎刃而解.

例2.（2012年江蘇高考第4題）將一只皮球豎直向上拋出，皮球運動時受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比.下列描繪皮球在上升過程中加速度大小a與時間t關(guān)系的圖像，可能正確的是

圖3

圖4

解析：對向上拋出的皮球進行受力分析，如圖4所示.

空氣阻力的大小與速度的大小成正比，即f＝kv.

皮球向上做減速運動，v減小，a減小，所以a-t圖像的斜率也減小.

當(dāng)速度減為0時，加速度a＝g≠0，圖像的斜率也不為0.

所以，正確答案為（C）選項.

小結(jié)：本題是2012年江蘇高考單選題中較難的一題，學(xué)生很容易判斷加速度是隨時間減小的，但4個圖中加速度都是隨時間減小，因此無法作出判斷.這時就需要借助于圖像的斜率來判斷加速度變化的快慢，問題的解決自然是柳暗花明.

例3.如圖5所示，物塊a放在輕彈簧上，物塊b放在物塊a上靜止不動.當(dāng)用力F使物塊b豎直向上做勻加速直線運動，在下面所給的4個圖像中.能反映物塊b脫離物塊a前的過程中力F隨時間t變化規(guī)律的是

圖5

圖6

圖7

解析：物塊b放在物塊a上靜止不動時，彈簧形變量為x0，彈力kx0＝（ma＋mb）g.任取t時刻，整體向上運動位移為x，則彈簧形變量Δx＝x0－x.對整體受力分析，如圖7所示，根據(jù)牛頓第二定律，可得

整體勻加速向上運動，v增大，則F-t圖像的斜率增大.

正確答案為（D）選項.

小結(jié)：本題是高三復(fù)習(xí)中常見的圖像問題，其中（B）選項，t＝0時，F(xiàn)≠0，很容易排除.剩余的選項，關(guān)鍵看斜率.而要準(zhǔn)確判斷斜率的變化，首先必須找到F-t的關(guān)系，就必須對整體進行準(zhǔn)確的受力分析，進而根據(jù)牛頓定律得出關(guān)系式，這也要求學(xué)生具備扎實的基本功.

例4.如圖8甲所示，在升降機頂部安裝了一個能夠顯示拉力的傳感器，傳感器下方掛一輕質(zhì)彈簧，彈簧下端掛一質(zhì)量為m的小球，若升降機在勻速運行過程中突然停止，以此時為0時刻，在后面一段時間內(nèi)傳感器所顯示的彈力F的大小隨時間t變化的圖像如圖8乙所示，g為重力加速度，則下列選項正確的是

圖8

（A）升降機停止前在向上運動.

（B）0～t1時間小球處于失重狀態(tài)，t1～t2時間小球處于超重狀態(tài).

（C）t1～t3時間小球向下運動，動能先減小后增大.

（D）t3～t4時間彈簧彈性勢能的減少量大于小球動能的增加量.

圖9

解析：對圖8甲中的小球進行受力分析，如圖9所示.勻速運行時，小球處于O位置，F(xiàn)＝kx0＝mg.t＝0時，升降機突然停止，小球做減速運動.0→t1時間內(nèi)：F＜mg，a向下，說明小球O→A向上減速，處于失重狀態(tài).即升降機停止前是勻速向上運動的.選項（A）正確.

由圖像可知，t1時刻，小球到達A位置（原長）時，vA＝0.

t1→t2時間內(nèi)：F＜mg，a向下，小球A→O向下加速，處于失重狀態(tài)，選項（B）錯誤.

t2→t3時間內(nèi)：F＞mg，a向上，小球O→B向下減速，處于超重狀態(tài)，且vB＝0.

所以，t1～t3時間小球向下運動，動能先增大后減小，選項（C）錯誤.

t3→t4時間內(nèi)：F＞mg，a向上，B→O向上加速，處于超重狀態(tài)，且t4時刻速度最大.根據(jù)能量守恒定律，彈簧彈性勢能的減少量等于小球動能和重力勢能的增加量，即彈簧彈性勢能的減少量大于小球動能的增加量，選項（D）正確.

所以正確答案為選項（A）、（D）.

小結(jié)：本題是高三復(fù)習(xí)中學(xué)生常碰到的一道易錯題，難點在于對運動過程的準(zhǔn)確判斷，尤其是速度大小、方向的判斷.不少學(xué)生常會主觀臆斷，認(rèn)為t1時刻，F(xiàn)＝0，速度應(yīng)該最大，而后繼續(xù)向上運動，以致造成判斷錯誤，而借助于斜率就能夠更加準(zhǔn)確有效地把握運動過程.