巧用曲率半徑求解拱點速度

金 彪

（浙江省春暉中學，浙江 紹興 312353）

開普勒定律告訴我們，每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中.我們先求橢圓拱點的曲率半徑.設平面直角坐標系中，有一動點的位置坐標為

可以證明該動點的運動軌跡為橢圓，求導可以得到該點的速度為

再一次求導，可得到該點的加速度為

在0時刻，動點位于拱點（a，0），此時速度為

加速度為

由此可求得該點上橢圓的曲率半徑為

當某一天體繞中心天體做橢圓運動時，近心點離引力中心的距離為R1＝a－c（c為橢圓半焦距，且有c2＝a2－b2），萬有引力產生的加速度為

則由向心力公式可得此時繞行天體的瞬時速度為

當繞行天體在遠心點時，繞行天體離引力中心的距離為R2＝a＋c，同理可得繞行天體在遠心點的速率滿足

上面（3）、（4）兩式為繞行天體在近、遠2個拱點的瞬時速度與中心天體質量、半長軸、半焦距的關系式.下面我們就用此解幾個競賽題.

例1.（第23屆預賽第9題）如圖1，從赤道上的C點發射洲際導彈，使之精確地擊中北極點N，要求發射所用的能量最少.假定地球是一質量均勻分布的半徑為R的球體，R＝6400km.已知質量為m的物體在地球引力作用下做橢圓運動時，其能量E與橢圓半長軸a的關系為

式中M為地球質量，G為引力常量.

（1）假定地球沒有自轉，求最小發射速度的大小和方向（用速度方向與從地心O到發射點C的連線之間的夾角表示）.

（2）若考慮地球的自轉，則最小發射速度的大小為多少？

圖1

在這里不討論（1）、（2）兩小題的求解，直接看第3小題，我們可以這樣解.

解析：根據上面（3）式，可得洲際導彈在近地點的動能大小為

同時可以求得勢能大小為

則

例2.（第17屆復賽第4題）宇宙飛行器和小行星都繞太陽在同一平面內做圓周運動，飛行器的質量比小行星的質量小得很多，飛行器的速率為v0，小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍.有人企圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛出太陽系，于是他便設計了如下方案：

Ⅰ.當飛行器在其圓周軌道的適當位置時，突然點燃飛行器上的噴氣發動機，經過極短時間后立即關閉發動機，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離開圓軌道；

Ⅱ.飛行器到達小行星的軌道時正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；

Ⅲ.小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰，不計燃燒的燃料質量.

（1）試通過計算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽系；

解析：（1）根據題意，設太陽質量為M0，飛行器加速前速率為

由（3）、（4）兩式可以求得飛行器在近日點與遠日點的速度分別為

同時，可以求得小行星的速率為

當飛行器與小行星碰撞時，以太陽為參考系，小行星與飛行器整體的機械能與角動量均守恒，設碰后飛行器與小行星的速度分別為v1、v2，則有

將（8）式的v2代入（9）式得

化簡得

即可得到飛行器與小行星碰撞后的速率為

現在判斷飛行器在這個速度下能不能飛出太陽系.假設飛行器不能飛出太陽系，則其近日點速度與軌道半長軸、半焦距的關系依然滿足（3）式，即

考慮到此時飛行器在近日點，且其離日距離為6R，即a－c＝6R，將此式與（10）式一起代入（11）式可得

化簡可得

可得c≈－46.64R.

顯然，一個正常橢圓的半焦距不可能取負值，即飛行器運行軌道不是橢圓，則飛行器一定可以飛出太陽系.

（2）在上述方法中，飛行器從發動機得到的能量為

如果不用上述方法，飛行器要剛剛飛離太陽系，相當于橢圓半長軸與半焦距都趨向于無窮大，但兩者之差為R，利用（3）式，可得飛行器要獲得的動能為

飛行器從發動機得到的能量為

即可得

例3.（第20屆決賽第2題）一人造地球衛星繞地球做橢圓運動，地心是橢圓的一個焦點，在直角坐標系中，橢圓的軌跡方程為

a、b分別為橢圓的長半軸和短半軸，為已知常數.當該衛星在軌道遠地點時，突然以很大的能量沿衛星運動方向從衛星上發射出一個質量為m的太空探測器，這探測器在地球引力作用下做雙曲線運動，此雙曲線的焦點位于地心，實半軸的長度正好等于原來橢圓遠地點到地心的距離.試問在發射時，給探測器的能量為多大？設地球質量為mE、萬有引力常量為G為已知，不計地球以外星體的影響.

解析：先由（4）式可得遠地點速度為

圖2

探測器在遠地點時，其離地球距離為A＝a＋c.當探測器突然加速做雙曲線運動時，雙曲線的焦點位于地心，實半軸的長度正好等于原來橢圓遠地點到地心的距離，則半焦距等于橢圓遠地點到地心的距離的兩倍.可以移動直角坐標系，使此時探測器與地球的位置坐標分別為（A，O）和（C，O），其中A＝a＋c，C＝2（a＋c）.

則在0時刻，其速度為

其加速度為

則可得雙曲線頂點的曲率半徑為

因發射時探測器勢能來不及變化，故動能改變量就是獲得的總能量