小球的運動軌跡＊

劉世明

（濮陽職業技術學院，河南 濮陽 457000）

圖1

1 小球相對慣性系沿圓弧面的運動軌跡

小球沿圓弧面上升是做一平面運動，如圖1所示.設坐標系o-xy為與地面固連的靜止坐標系，O-XY為與曲面物體固連的運動坐標系.t＝0時刻，oxy和OXY兩坐標系重合.X軸沿水平方向，Y軸通過質點的初始位置豎直向上.

根據質心運動定律，［2］由小球與小車組成的系統質心在X方向上雖然是不動的，但小車的質心則是向左平移，現在我們分析小球運動時相對靜止坐標系（即慣性系）的坐標.設ts以后，小球向左移動x，小車向左移動x1，有

在開始運動時，設小車與小球的質心位置分別為x10和x20（x20＝0），由于系統的質心在x方向沒有位移，因而系統在不同的狀態下，其質心的位置xC不變，即xC＝xC0，其中

問題中小球運動與小車相交曲線是圓，設半徑為R，在O-XY坐標系中其方程為

將（1）式代入可得小球在慣性系中的運動軌跡方程為

2 小球沿幾種特殊的相交曲線運動時相對慣性系的軌跡［3］

2.1 相交曲線是直線

如圖2所示，直線方程為

式中k為直線的斜率，是大于0的正數.

將式（1）代入可得

即小球相對慣性系的運動軌跡仍為直線，只是坡度更陡.

圖2

圖3

2.2 相交曲線是橢圓曲線

如圖3所示，設圖中DA＝a，oA＝b，方程為

將（1）式代入得

2.3 相交曲線是雙曲線一部分

如圖3所示，假設oA＝h，雙曲線方程為

中心在（a，h），實軸為a，虛軸為b.

將（1）式代入可得小球相對慣性系的軌跡方程為

2.4 相交曲線是拋物線的一部分

如圖3所示，方程為X2＝2pY.頂點在（0，0），焦點在（0，p/2），由式（1）代入可得質點相對慣性系運動的軌跡方程為

1 白紅艷.圖示法突破學生理解難點［J］.物理教師，2013（8）：94－95.

2 張三慧.大學物理學（第1冊）［M］.北京：清華大學出版社1999：229.

3 謝自芳等.質點從可自由移動的凹曲面上滑下的運動軌跡問題［J］.大學物理，2005（1）：28－29.