利用數學軟件MathCAD模擬無阻尼條件下平面振子的真實運動

黃 晶 汪 飛 邢云開

（1.嵊州中學，浙江 嵊州 312400；2.海門中學，江蘇 海門 226100；3.嵊州市長樂中學，浙江，嵊州 312400）

1 問題的提出

不少高中物理競賽輔導資料［1，2］中將下列平面振子的題目作為分方向簡諧運動合成的典型例題，我們發現其解答分解過程存在問題，導致試題最終解答也是錯誤的，值得我們深入研究，原題如下.

圖1

題目.如圖1所示，置于光滑水平面上的輕質彈簧原長為L0，勁度系數為k，一端固定在O點，另一端系一質量為m的小球.現沿某方向將彈簧拉長Δl至A點，然后以垂直于OA方向并沿水平面將小球以速度v0射出.求：（1）小球繞O點轉過90°至B點的時間；（2）OB的長度.

參考解答：如圖2所示，以O點為坐標原點，OA方向為x軸，OB方向為y軸建立直角坐標系xOy，當小球運動至一般位置C時，OC與x軸的夾角為θ，此時彈簧對小球的作用力F＝k（OCL0），沿x、y方向的分量分別為

圖2

其中x－L0cosθ、y－L0sinθ分別為沿x軸和y軸方向的彈簧的伸長量.

根據機械能守恒定律，設沿y方向彈簧伸長Δy，對A點和B點有

2 演繹推理質疑

從解答結果看，A運動到B的時間與到達B點小球的速度均與初速度v0無關.我們可以考慮簡單的特殊情況加以驗證.

若v0趨向于0，則小球的運動變為一維的彈簧振子，小球是無法到達y軸上y＝L0處，這與參考答案矛盾.

若小球的速度大小合適，使得彈簧的彈力等于小球繞O點做勻速圓周運動的向心力，即

其中r為做勻速圓周運動的半徑.解得

到B點的速度為v0，OB的長度為r，顯然這也與參考答案矛盾.

質疑：小球在x、y方向果真做周期相同的簡諧振動嗎？

3 數學方程表征

根據前面的坐標系約定和受力分析以及幾何關系有

可得平面振子在x、y方向上的動力學微分方程為

4 軟件數值計算

要獲得小球真實的運動情況需解非線性微分方程組，十分困難.下面用數學軟件MathCAD進行數值計算.

首先設置振子的參數和初始條件如下：彈簧原長L0＝0.4m，勁度系數k＝50N/m，初始伸長量ΔL＝0.1m，小球質量m＝0.5kg.

4.1 特殊情況

當初速度v0＝0m/s時繪制小球振動軌跡如圖3所示，小球的運動變為一維的彈簧振子；當初速度為v0＝m/s時，小球做勻速圓周運動，軌跡如圖4所示.

圖3

圖4

4.2 一般情況

當初速度v0＝10m/s時，繪制小球轉過90°到B點的軌跡圖如圖5所示.小球運動到B點時，B點的豎直位移不是整個過程的最大值，速度不是水平方向，由數學軟件數值計算可得A到B的時間為t＝0.230s，B點的速率為vB＝5.049m/s，OB的距離為y＝1.246m；圖6為小球轉動一周的軌跡圖，運動一周后小球并沒有回到A點且速度方向不是豎直向上的.

圖5

圖6

繪制小球前10次回到x正半軸的軌跡圖，如圖7所示，小球的運動軌跡呈規則的花瓣狀；小球前100次回到x正半軸的軌跡如圖8所示，小球的運動被限止在一個內切圓與一個外切圓之間，隨著時間的變長，瓣狀軌跡越來越密集，說明運動軌跡不存在重合現象，反映平面振子復雜的周期性運動.

圖7

圖8

4.3 分方向簡諧運動的驗證

繪制小球前10次回到x正半軸時間內振子的x-t圖、y-t圖、vx-t圖和vy-t圖如圖9～12所示，由圖可直觀地看到振子在x、y方向的分運動不是簡諧運動，參考解答中將小球的運動分解為x方向與y方向的簡諧運動的方法是錯誤的.

圖9

圖10

圖11

圖12

5 問題的解決

那么競賽資料的參考解答的問題在哪里？觀察（1）、（2）兩式可得平面振子在水平方向與豎直方向的原長是隨θ變化的，由此得出的回復力與相對平衡位置成正比的觀點是錯誤的，參考解答在此錯誤的前提下推得振子的運動分解為x、y兩個方向獨立的簡諧運動是錯誤的，導致結果也是錯的；事實上由（3）、（4）兩式更容易看出，每個方向的微分方程中都包含了另一方向上的位移分量，反映出這兩個方向的分運動之間是彼此關聯，并不是獨立的.將復雜運動正交分解為兩個便于研究的直線運動是簡化復雜運動的重要研究方法，但前提必須要使兩個方向上的分運動是彼此獨立的.

附錄：MathCAD程序

設置初始條件：

x初始位置Z0∶＝5 x方向初始速度 Z2∶＝0

y初始位置Z1∶＝0 y方向初始速度 Z3∶＝10

設置運動的時間T∶＝8.269

建立D函數：

求解微分方程組：

得到各量的數值結果：

1 范小輝.新編高中物理奧賽實用題典［M］.南京：南京師范大學出版社，2008：333.

2 舒幼生，鐘小平.高中物理競賽培優教程［M］.杭州：浙江大學出版社，2008：180.

3 聞邦椿，劉樹英，陳照波，李鶴.機械振動理論及應用［M］.北京：高等教育出版社，2009：148.

4 宋征，林勇等.MathCAD7.0入門及其工程應用［M］.北京：人民郵電出版社，1999.