基于分形維數的光學表面質量評價及響應曲面模型

董之然，楊 煒

（廈門大學物理與機電工程學院，福建 廈門361005）

在航天、軍事、日常生活領域中，光學元件在各種精密光學系統中的應用日益廣泛，對光學元件的表面精度要求也越來越高.在現有方法中，多采用統計學標準參數，如用峰谷（PV）值、均方根誤差來反映光學元件的表面形貌［1］，但是光學元件表面的微觀形貌結構呈現出隨機性、無序性和多尺度性特征，反映出的是一種非平穩的隨機過程，對于同一光學表面，不同的采樣長度、儀器分辨率和測量方法所測出的統計參數值是不同的［2］.大量研究表明：光學元件表面具有統計學上的自相似性結構［3］，在一定尺度范圍內具有分形特征，而分形幾何理論對描述具有標度律特征的自然現象具有很好的適用性.因此，本文采用結構函數法計算化學機械拋光（chemical mechanical polishing，CMP）加工后光學元件表面的分形維數，同時分析了分形維數與表面傳統評價參數PV值近似線性的關系，驗證了可以用分形維數來評價光學元件表面形貌.

其次，對于如何提高CMP光學元件的表面精度，國內外學者觀點較為統一，都是采用控制拋光壓力、拋光盤和工件相對轉速2種參數來實現，但是對于這2個因素何者更顯著影響精度鮮有報道.因此，本文提出了建立分形維數與拋光參數的響應曲面回歸模型，評價各拋光參數對分形維數的影響權重，旨在通過控制顯著性較強的拋光參數來獲取更好的光學元件表面質量.

1 分形維數計算方法

分形幾何理論是研究和處理具有標度率特征不規則圖形的強有力工具［4］，其重要參數“分形維數D”能完全地表達出光學元件表面所有的微觀結構信息，是一種描述微觀輪廓的有效手段.分形維度常用計算方法有尺碼法、盒計數法、方差法、功率譜法和結構函數法等［5］.尺碼法和盒維數的計算結構與理論維數相差太大，方差法抗干擾性差，功率譜法的本質是傅里葉變換，計算過程存在許多近似，精度不高，因此在工程運用中，多采用結構函數法來計算分形維數.結構函數法直接使用表面高度數據，能比較真實地反映光學元件的微觀結構.

結構函數法是將表面輪廓曲線視為一個空間序列Z（x），則它具有分形特征的光學元件表面輪廓曲線采樣數據，其結構函數滿足［6］

其離散表達式為

式中，τ為尺度；X［i］為測量輪廓高度；N為采樣點數；n為i的任意增量；G為形貌特征參數.

根據已知輪廓高度數據，求出結構函數S（τ），在雙對數logS（τ）－logτ坐標中用最小二乘法進行擬合，得到直線斜率α，則分形維數可表示為：

2 光學表面分形維數計算

為了研究光學元件表面分形特點，尋找分形維數與PV值的關系，本文設計了光學元件CMP實驗來驗證分形維數評價光學元件表面形貌的可行性，實驗條件如下：POLI－400CMP拋光機，主要包括夾持工件的拋光頭、拋光盤、拋光液噴射裝置等部件，如圖1所示，拋光加工材料為JGS1、K9光學玻璃，采用120nm SiO2CMP拋光液，拋光機可控參數為拋光壓力P和轉速V（文中的轉速均為拋光盤和工件相對轉速）.基于2個可控參數，設計一個二因素三水平的完全因子實驗，參數具體設置如表1所示.拋光完成后，利用Taylor Hobson 1240輪廓儀（測針長度為60mm，分辨率為0.8nm）對光學元件表面輪廓進行測量（采樣長度為10mm，采樣間隔為0.125μm，共采集80 000個數據點），從而得到PV值，最后采用結構函數法計算出分形維數，實驗結果如表2所示.

圖1 POLI－400CMP拋光機Fig.1 POLI－400CMP polishing machine

圖2為JGS1、K9光學玻璃CMP加工后的輪廓曲線，根據輪廓曲線上的采樣數據，利用式（2）計算出結構函數S（τ）與尺度τ的雙對數曲線，分別如圖3所示.可以看出，拋光表面存在一個有限界定尺度nc，在一定的尺度范圍內，結構函數主要由工藝參數決定［7］，結構函數與尺度具有良好的線性關系，存在明顯的分形特征.但超出這個范圍后，微觀輪廓相互作用減弱，工藝參數的作用減弱，其他外界干擾因素對表面輪廓的影響逐步明顯，使得結構函數與尺度呈現出非線性的關系.

表1 CMP拋光實驗參數設置Tab.1 CMP polishing experiment parameter settings

表2 光學玻璃不同輪廓線的分形維數Tab.2 The fractal dimension of the profile of optical glass is different

圖2 JGS1，K9光學玻璃的表面輪廓曲線Fig.2 GS1，K9optical glass surface profile curve

通過實驗，可以看出JGS1、K9光學玻璃表面的分形維數具有以下特征：

1）分形維數不受采樣長度的影響，分形維數包含光學元件表面的所有結構信息，是光學表面信息的一個固有特性，具有尺度不變性的特征，適合所有測量尺度下運用.

2）采樣點數數量對分形維數有一定的影響，如圖3所示，分形維數是通過結構函數法計算求得的，大量的測量數據點會降低計算誤差，會使結構函數與尺度的關系趨于穩定，提高分形維數計算值的穩定性；相反過于少量的數據使得結構函數與尺度的線性關系不明顯，分形維數容易受到測量儀器、外界環境的干擾因素的影響，分形維數計算值產生較大誤差，根據文獻［8－10］，每毫米采樣長度的采樣點數一般都要在1 000個以上為宜.

圖3 JGS1，K9的雙對數曲線Fig.3 The double logarithmic curve of JGS1，K9

3）分析表2中PV值和分形維數的關系可以看出，PV值與分形維數存在一定的近似線性關系，PV值反映的是光學元件表面微觀輪廓的幅值參數，而分形維數反映的是表面間距和幅值的綜合參數，使得這種線性關系并不確定.PV值越小，所對應的分形維數的值就越大，分形維數值越大，表面輪廓越復雜，微觀結構越精細，表面越光滑，質量越好，所以當PV值小且分形維數大時，可認為表面質量較高.

3 拋光參數與分形維數的關系

為了更好地指導加工，在分析了分形維數與PV值的基礎上，需研究拋光參數對分形維數的影響權重，為此，利用上述實驗數據建立拋光參數與分形維數的響應曲面回歸模型.

響應曲面法，也稱為回歸設計，這類實驗設計主要是尋找實驗指標與各因子間的定量規律，并建立響應曲面回歸模型［11］.與多元線性正交設計、正交多項式設計等相比較，響應曲面法考慮的因素很多，運算非常繁雜，建立的是復雜的多維空間曲面較接近實際情況.響應曲面法首先要尋找一個合適的近似方程來表征響應‘y’與一系列可控參數｛x1，x2，…，xn｝之間的真正的函數關系，通常一些未知或者非線性的函數關系可以利用二次響應模型［12］來表示：

式中，y為響應；b為回歸系數；x為可控參數；ε為噪聲誤差.

根據以上分析，本實驗有2個可控參數，故響應曲面方程形式可改為：

利用表2實驗數據，進行回歸分析，得到拋光壓力、轉速、分形維數的響應曲面方程如下：

JGS1的響應曲面方程：

K9的響應曲面方程：

對上述響應曲面方程進行方差分析，結果如表3所示.由表3方差分析可以看出：JGS1響應曲面方程的F值大于F分布下95%置信水平下單側臨界值F0.05（5，3）＝9.01且p＝0.018＜0.05，說明該回歸方程擬合程度好，實驗誤差小，模型顯著，能用來表征CMP拋光工藝中拋光壓力、轉速和分形維數之間的關系；而K9響應曲面方程的F值大于F0.05（5，3）＝9.01且p＝0.035＜0.05，該回歸方程能表征拋光參數與分形維數三者之間關系，但方程擬合程度較小，實驗誤差較大，顯著性也不如JGS1回歸方程.

表3 JGS1和K9響應曲面方程的方差分析Tab.3 Analysis of variance of JGS1and K9response surface equation

圖4為拋光壓力和轉速對JGS1光學表面分形維數的影響.當拋光壓力處于固定水平值時，分形維數隨著轉速的提高而逐漸增大，且增長幅度較大.當轉速處于固定水平值時，分形維數隨著拋光壓力的提高而逐漸減小，但減小幅度較小.對拋光壓力、轉速進行雙因子方差分析，得到分析結果，如表4所示.由表4拋光參數顯著性檢測結果可知，拋光壓力的F＝12.49＞F0.05（2，4）＝6.94且p＝0.019＜0.05，拋光壓力對分形維數有顯著影響；轉速的F＝27.59＞F0.05（2，4）＝6.94，p＝0.005＜0.01；說明轉速對分形維數有極顯著影響.

圖4 JGS1光學玻璃CMP拋光參數對分形維數影響的響應面（a）和等高線圖（b）Fig.4 Response surface（a）and contour plot indicating the effect of the CMP polishing parameters on the fractal dimension of JGS1optical glass

圖5 K9光學玻璃CMP拋光參數對分形維數影響的響應面（a）和等高線圖（b）Fig.5 Response surface（a）and contour plot（b）indicating the effect of the CMP polishing parameters on the fractal dimension of K9optical glass

結合圖5拋光壓力和轉速對K9光學表面分形維數的影響與表4拋光參數顯著性檢測結果可得出，轉速對分形維數有極顯著影響，當拋光壓力一定時，分形維數隨著轉速增加而逐漸減小，減小幅度較大；拋光壓力對分形維數有顯著影響，且當轉速一定時，分形維數隨著拋光壓力的增加而逐漸減小，但減小幅度較小.

根據上述分析，在CMP加工中，拋光壓力與轉速對JGS1、K9光學表面分形維數有顯著影響，但轉速的顯著性要遠大于拋光壓力.拋光壓力的提高使JGS1、K9光學表面分形維數逐漸減小，減少幅度較小；轉速的提高使JGS1光學表面分形維數逐漸增大，K9光學表面分形維數逐漸減小，且幅度較大.拋光參數對JGS1光學表面分形維數的顯著性影響都要略大于K9光學表面的分形維數.

表4 JGS1和K9拋光參數P、V的方差分析Tab.4 Analysis of variance of JGS1and K9polishing parameters P，V

4 結 論

本文采用分形幾何理論對JGS1、K9光學玻璃表面質量的評價方法進行研究和探討，并通過CMP實驗分析了JGS1、K9光學玻璃表面的分形特征以及CMP拋光參數、分形維數、PV值之間關系，得到以下結論：

1）光學元件表面具有分形特性，分形維數具有尺度不變性的特征，但一定程度上受采樣點數的影響.

2）PV值與分形維數存在一定的近似線性關系，可認為當PV值小且分形維數大的，光學元件表面質量較高.

3）CMP實驗中，擬合出的JGS1、K9光學玻璃表面響應曲面回歸模型方程適合用于表征分形維數與拋光壓力、轉速之間的關系，比較接近實際情況；拋光壓力、轉速對分形維數的值都有顯著影響，但轉速的影響要大得多.

4）基于拋光參數、分形維數、PV值之間關系，在今后實際加工中，應優先控制轉速，以取得較高的光學元件表面分形維數和較低的PV值，獲得較好的光學元件表面質量.

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