分形的圖像及應用

呂克林

（河南省科學技術信息研究院，河南 鄭州 450003）

分形的圖像及應用

呂克林

（河南省科學技術信息研究院，河南 鄭州 450003）

本文首先闡述了分形的基本概念，并具體介紹了一些典型的分形曲線和分形集，加深讀者對分形的理解。重點描述如何生成分形的計算機圖像，以及分形主要的應用領域，強調計算機科學與其他學科之間的緊密聯系。

分形；自相似；迭代；Mandelbrot

隨著計算機圖形學的發展，最近幾年，分形作為一種藝術形式已經相當流行。對分形有一個基本的了解，能提高人們的鑒賞力，幫助人們更好地體會分形藝術的美。分形作為一門剛剛誕生的學科，正在許多領域開展應用和探索。很多傳統的科學難題，都由于分形的引入取得了顯著的進展。

1 分形的定義

1.1 分形的出現。中國的海岸線有多長？很明顯，這取決于測量所用的標度單位。若以公里為標尺，會遺漏大量的細節，標尺越小，測出的海岸線就越長。隨著計算機的迅速發展，人們在討論和處理一系列問題的時候，逐漸感到無法描述一些自然界普遍存在的對象，如海岸線，樹木，巖石，云團，閃電等等。同樣對于星系分布，凝聚生長，湍流等復雜現象，也需要一門新的學科來描述。1973年，B.B.Mandelbrot在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設想。Fractal一詞由他所創，其原意具有不規則，支離破碎等意義。分形幾何是一門以非規則幾何形狀為研究對象的學科，也被稱為大自然的幾何學。

1.2 自相似性。自相似性是指部分與整體具有相似的性質。在自然界中，具有自相似性的客觀對象是非常多的。除了山形的起伏，河流的彎曲，樹木的分枝結構外，生物體內也有許多例子，如血管或氣管的分岔，神經網絡等。抽象的自相似例子就更多了，例如數列0112122312232334…，這是一個去掉奇數項后，仍然得到自身的數列。下文中將提到的Cantor集是一個更好，更有故事的例子。

1.3 維數。維數是重要的幾何特征量，通常定義為表示對象的一個點所需的獨立變量個數。人們習慣認為空間是三維的，平面是二維的，直線是一維的，高等代數中還引入了高維空間概念。然而維數有許多定義方法，下面介紹兩種基于拓撲學和測度論的定義。

拓撲維數：經拓撲變換能轉換為孤立點的集合DR=0，變為直線的DR=1，依次類推。

1.4 分形集。目前還很難給出一個分形的嚴格定義。但可以效仿生物學中，通過列出生命體的一系列特性來解釋“生命”的概念。下面給出分形集合的一些性質：一是Hausdoff維數大于其拓撲維數；二是具有近似的或統計的自相似性；三是從整體到局部均難以用傳統的幾何描述；具有精細結構，即任意小比例下的細節；四是一般可以用非常簡單的遞歸性方法定義?？梢钥吹剑中蔚睦碚摴ぷ鬟€有待加強?，F有的研究多集中在計算機模擬與維數計算，對分形的認識還有待深入。

2 典型的分形曲線與分形集

2.1 Von Koch曲線。1804年，瑞典數學家Von Koch發現了一種曲線，它處處連續，卻處處不光滑。在分形理論的建立過程中，Von Koch曲線占有重要的地位。Von Koch曲線的生成方法：首先從一個簡單的圖形出發，反復進行同樣的操作：將當前圖形中的所有直線段用一段折線（生成元）代替，讓操作次數趨于無窮，就得到了Von Koch曲線。不同的原圖形和生成元決定了曲線的不同形態。最常見的是對正三角形，用右圖的生成元進行操作，所得曲線的形狀像一朵雪花，稱為Koch雪花曲線。雪花曲線的周長沒有上界，因為每次操作圖形的周長都增加1/3。

2.2 Sierpinski三角形。分形不難從曲線推廣到平面圖形。1916年，波蘭數學家Waclaw Sierpinki提出了三角形。它的構造方法如下：從等邊三角形開始，每次把圖中所有等邊三角形四等分，去掉中間的一個小三角形，不斷重復分割與舍棄的過程直到無窮。Sierpinki三角形兩種常見的推廣：對正方形用類似的生成規則，得到的圖案叫Sierpinki地毯。三維空間中，從一個正方體開始，將所有的正方體27等分，去掉體心與面心處的7個小正方體，反復操作得到Sierpinki海綿體。Sierpinki集具有分形的典型特征：經典幾何無法描述，局部放大后和整體完全相同。它們曾被稱為是病態的幾何圖形，因為在周長（表面積）趨向于無窮大的同時，面積（體積）卻趨向于0。

2.3 Cantor集。G.Cantor在1883年構造了如下的一類集合。將區間[0，1]三等分，保留兩邊的閉區間，再對這兩部分重復相同的操作，直至無窮。最后得到離散的點集稱為Cantor集。Cantor集有明顯的自相似性和精細結構，還有和Sierpinki集相似的特點：Cantor集包含的元素是不可數的，但是它的長度是0。另外，Cantor集是一個閉集（關于極限封閉），而且[0，1]內的任何一個實數，都可以表示成3個Cantor集中元素的和。實數全體是一個不容易被傳統思維接受的概念。舉例來說，任兩個有理數之間都存在一個有理數，這是很難直觀想象的。換句話說，用再精細的顯微鏡去看數軸，它的密集程度都沒有變化，假想你是一個數軸上的有理數，你無法知道站在你兩邊的是誰。在G. Cantor所生活的時代，如果有分形理論，這些看似荒謬的結論，應該比較容易被人們接受。

2.4 Julia集。Julia集是由法國數學家Gaston Julia在1918年發展了復變函數迭代的基礎理論后獲得的，研究zk+1=zk2+c這一變換在復平面中所生成的一系列讓人眼花繚亂的變化。每個復數對應平面上的一個點。給定c和z0之后，通過迭代可以得到一連串復數。如果所得復數的模長是發散的，也就是這個點最終可以“跳”到無窮遠的地方去，我們就稱Z0是“自由的”。取定復數c，如果復平面上的一個點是自由的，就把這個點涂成白色，否則就涂成黑色，此時邊界就呈現出了Julia集的圖形。如果能依據自由點的逃跑速度給它涂上漸變的顏色，就會得到非常美麗的圖案。不同的復數c決定不同的Julia集。

Julia集的自相似性似乎不很明顯，但實際上，任何Julia集均能由它自身的拷貝覆蓋。然而這些拷貝都是通過非線性變換得到的，這里的相似與前面是有著本質區別的。

2.5 Mandelbrot集。仍然考慮zk+1=zk2+c，取定Z0=0，計算哪些c是“自由的”。用相同的作圖方法可以得到Mandelbrot集的圖形。Mandelbrot的特殊之處在于，將它的邊界放大，會顯示出許多微型縮影，但沒有一個是和母集完全相同的。

最后介紹一個定理：復數c對應的Julia集有連通性的充要條件為，c是從Mandelbrot集內部選出的。其實，通過c在Mandelbrot集中的哪個區域，可以推斷Julia集的特征，預測的范圍遠遠不止連通性。把Mandelbrot集比作Julia集的圖解目錄表是很貼切的。

3 分形的計算機圖像

3.1 計算機圖形學。計算機圖形學研究如何用計算機生成、處理并顯示圖形。分形理論的創立和發展都和計算機圖形學密切相關。Julia曾研究過Julia集并使當時的復分析達到了很高的水平，只是由于當時還沒有計算機，因而使他們的研究中斷。分形的創始人Mandelbrot詳細地研究過Julia的手稿，借助計算機為工具，才使研究開花結果。科學可視化可以將抽象的概念和數據形象化，幫助人們更好地認識和理解問題。有些問題只有借助計算機，依靠實驗數學的方法，才能得到豐富的、直觀的啟示。

3.2 仿射變換。仿射變換是計算機圖形學中幾何變換的重要內容，是一種R2上的線形變換：

其中e和f對圖形進行平移，r和q是放縮比例，θ是繞原點旋轉的角度。分形構圖中一般只需相似變換，即r=q的情況。仿射變換通常也會寫成：x'=ax+by+c y'=dx+ey+f

一個仿射變換由六個參數寫出，分形通常需要一組仿射變換。例如對于Sierpinski三角形，三個變換分別將原圖向三個頂點收縮到原來的一半大小。

3.3 迭代函數系統。分形圖形具有自相似性，其定義往往就是遞歸的，最樸素的生成方法是不斷對當前圖形使用各種仿射變換。由于直線段經仿射變換后還是直線段，對于三角形只要把頂點變換后相連即可。圖形越來越復雜后，記錄當前圖案變得困難。迭代函數系統（Iteration Function System）更多采用的是隨機算法：由一系列仿射變換按隨機順序，對一個初始點反復作映射，并記錄下它變換的軌跡，最終這些點會“填滿”整個分形圖形的區域。IFS通常依據變換后的面積大小，給每個仿射變換設定概率，這樣做是為了讓點盡量“平均分布”，避免點很難“跳入”某個局部。

3.4 Ultra Fractal。Ultra Fractal是一款強大的分形作圖軟件。它最大的特點在于可以簡單地改變參數，定義新的公式。軟件還采用了多種加速算法，能夠快速繪制圖案。

4 分形的應用

4.1 藝術設計。早在1999年，中國科技館就舉辦過“分形藝術展覽”。網絡上也可以找到大量的分形藝術作品。在計算機如此普及，計算機輔助設計技術成熟的今天，分形在藝術設計領域的前景是十分樂觀的。相信在不久的將來，分形會以印染品或裝飾品的形式，點綴人們的現代生活。

4.2 凝聚生長。一些樹木的形態看起來像是分形，樹干可以在不同的位置分出樹枝，每個樹枝又繼續分為枝杈。分形在原始植物（比如苔蘚和海藻）上更加明顯，因為對于高級植物，生物規律的作用過于復雜，掩蓋了數學模型。所以我們選用一個簡單實驗：在圓形碟子的底部覆蓋一層很薄的硫酸銅溶液，將銅制的陰極立在中央進行電解，大約半小時后，析出的銅將擴展成幾英寸的分形圖形。有限制的擴散凝聚（Diffusion Limited Aggregation）模型提供了很有說服力的模擬：在白色方格紙上，從中心一個代表陰極的黑色小方格開始，以它為中心做一個大圓。圓周附近一個隨機點釋放出的粒子在平面上隨機運動，直到它離開這個圓或與到達與黑色方格相鄰的格子為止，這個格子也被涂黑。模擬得到16 000個黑色方格時的效果，與實驗結果很相似。DLA模型盡管描述起來很簡單，然而對于為什么產生分形的樹枝形態，現在還沒有嚴格的理論解釋，但毫無疑問這是一個非常引人注目的現象。

4.3 模擬自然景物。喜歡3D卡通片的人，一定知道Pixar工作室。在繪制山峰和樹木等自然景物時，用直線、圓弧，樣條曲線去建模生成，逼真程度就非常差，那么Pixar又是如何用電腦制作這些美麗風景的呢？很自然地想到利用分形，也就是我們常說“分數維的山峰”。下面是一種簡單的生成方法：從一個三角形開始，取三邊中點，各自在垂直方向上移動一個與邊長成正比的隨機量，再將它們相連，形成四個新的小三角形。用同樣的辦法繼續分割，直到分辨率極限為止，就得到了充滿褶皺的山峰。

Pixar繪圖計算機如今廣泛應用于醫學成像、工程設計、虛擬電影和動畫制作等領域。

4.4 圖像壓縮。設想我們要存儲一幅Julia集的圖像，如果用位圖來存儲，需要記錄每個像素的顏色，占用大量空間。當然可用標準壓縮技術對其進行壓縮，但事實上只需要記下復數c，就可以在任何時候重建這張圖片，而且不會遺漏任何細節，甚至比原圖更清楚。上面是一個極端的例子，卻很好地說明了IFS碼壓縮技術的關鍵，在于存儲迭代函數系統而不是存儲圖像。實際操作時，首先把原始圖像分解為一些相連的顏色穩定的小塊，從大量的仿射變換公式中選出能產生相似效果的，記錄對應參數作為編碼。IFS編碼是一種有損壓縮，其失真率與壓縮比有關。IFS的優點在于對自然景物和細節豐富的圖像，壓縮比很高，還原效果較好。同時IFS編碼在縮短處理時間，自動生成，失真度準則等方面，還有大量問題有待解決。

4.5 經濟學與社會學。分形理論在對價格波動，利率變化，證券指數的研究中有很好的表現，因為群體行為存在相似性。不同的投資者，交易金額不同，而買賣決斷的方法卻是大致相同的。另一個例子來自城市規劃。當城市發展到一定規模時，會產生新的開發區和衛星城，這些新的區域也有相同的發展模式。以半徑變化的圓模擬城市，可以研究城市“分裂”的臨界值和哪些因素相關。

5 分形雜談

5.1 認識的改變?！稊祵W分析教程》全書的最后一節給出了兩個函數，一個處處連續處處不可導，我們在上文已經看過一個例子。另一個函數連續且填滿一個正方形，也是利用分形思想構造的。Mandelbrot在《自然界的分形幾何》中提到：“我贊揚這些早年的數學家，他們為我提供了這樣的結構，使我能夠將它們串在一起思考，從而發現其寶貴的價值。同時，我也責備他們，因為他們雖然構造出許多精彩的反例，卻沒有發現他們內在的聯系，反而認為那是不正常的事情，從而忽視了真正的內涵。”科學史上的每一次爭論都推動科學本身向前發展。就像G.Cantor的集合論起初被認為是“怪胎”一樣，許多分形的現象在漫長的時間里被認為是不正常的。而現在人們已經認識到，這些有悖于直覺和經典理論的現象，是合理且廣泛存在的。

5.2 簡單的規則。分形通過重復簡單的操作，得到極復雜的圖形。生命游戲依靠簡單的規則，賦予了模型自我復制和進化的能力。我們再來看一個著名的例子，Langton螞蟻從一張白紙的某個方格開始爬行，按照如下規則：一是如果它進入了一個白色方格，就將其涂成黑色，并左轉90度。二是如果它進入了一個黑色方格，就將其涂成白色，并右轉90度。在前500步中，它不斷回到原點，留下一系列相當對稱的圖案。此后的10 000步中，圖形變得混沌。突然，仿佛終于拿定主意要干些什么，它不斷重復著一個104步的過程，畫出公路一樣的帶狀圖案。自然界的神奇無處不在，水分子居然知道如何構造雪花，使其具有復雜的對稱性。這些分子能夠自行“裝配”起來，既沒有建筑師的指導，也沒有結晶形式的模版，大尺度上的形狀完全是依靠短距離的相互作用產生的。最后引用MIT教授T.Toffoli的一段話，“幾十億年來，自然界都在不停地計算宇宙的下一個狀態，我們要做的，實際上也是我們唯一能做的，就是跟著這碩大無比的計算過程前進，并企圖發現它的哪一部分恰好接近我們所希望的地方?！?/p>

6 結語

分形現象普遍地存在于自然界中，是它受到廣泛關注的根本原因。分形作為一門年輕的學科，在廣大科學工作者的共同努力下，無論是理論還是應用方面都取得了巨大的進展。分形的創立是數學與計算機科學結合的典范，如今計算機科學正在逐漸滲透到各個學科當中。作為計算機專業的科技工作者，同樣要關注其他學科的發展，重視它們和計算機科學之間的聯系。

[1]胡瑞安，胡紀陽，徐樹公.分形的計算機圖像及其應用[M].北京：中國鐵道出版社，1995.

[2]張濟中.分形[M].北京：清華大學出版社，1995.

[3]常庚哲，史濟懷.數學分析教程[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5]郭凱聲，等.數學游戲[M].北京：科學技術文獻出版社，1999.

TP391.4

A

1671-0037（2014）12-94-3

呂克林（1960-），男，本科，高級工程師，研究方向：計算機應用。