日本高中《數學課程標準》評介

代 欽1，劉曉平2，楊 薇2

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日本高中《數學課程標準》評介

代 欽，劉曉平，楊 薇

（1．內蒙古師范大學科學技術史研究院，內蒙古呼和浩特 010022；2．內蒙古師范大學數學科學學院，內蒙古呼和浩特 010022）

日本自2011年在全國全面實行的高中《數學課程標準》（日本漢字中將“課程標準”稱為“學習指導要領”）中提出數學教學總體目標，設置《數學I》、《數學II》、《數學III》、《數學A》、《數學B》、《數學活用》科目，并提出每一科目的教學目標、教學中的注意事項．該課程標準中的“培養創造性能力的基礎”、“數學活動”、“課題學習”、“數學活用”、必修內容和選修內容的安排等都具有自己的特色．

日本；高中數學；數學課程標準

在國際社會的急速發展形勢下，日本非常注重培養學生確實的學力（學力：廣義指借助學校教育所形成的能力，亦即通過學科教學及生活指導而形成的能力的總體．狹義指借助學科教學而形成的能力．這一概念，為日本學者勝田守一和廣岡亮藏等在20世紀60年代提出）、豐富的心靈、健康體魄的“生存能力”．他們發現其教育面臨以下課題：① 思考力、判斷力和表現力，靈活應用知識和技能的課題；② 在閱讀能力的成績分布逐漸擴大的背景下，學生在家庭的學習時間、學習欲望、學習和生活習慣的養成等課題；③ 缺乏自信和對將來的不安，體魄下降等課題．

以上述所面臨的課題為契機，以“生存能力”理念的共有（亦稱“共生理念”）、基礎知識和基本能力的習得、培養思考力、判斷力和表現力、為確立扎實的學力、學習欲望的提高和學習習慣的養成、為培養豐富心靈和健康體魄要充實指導等為基本理念，2008年1月通過了《關于幼兒園、小學、初中、高中和特殊學校的數學課程標準的改善》的提案，即制定了《數學課程標準》（以下簡稱“標準”）．自2009年4月1日開始作為過渡，以數學和理科等中心內容為牽頭實行小學和初中數學課程標準，自2011年4月1日開始全面實行小學、初中和高中各科的“課程標準”．

1 日本高中數學課程標準評介

1.1 高中數學教學總體目標評介

日本高中《數學課程標準》的總體目標是：通過數學活動，加深對數學基本概念、原理、法則體系的理解，提高數學地考察事物和表現的能力，培養創造性能力的基礎的同時，使學生認識數學的好處，并樹立學生靈活應用這些知識，以數學為根據做出判斷的態度．

高中數學學科的總目標突出強調了“數學活動”、“體系的理解”、“數學地考察事物和表現的能力”、“創造性能力的基礎”、“數學的好處”和“以數學為根據做出判斷”等6個方面．

1.1.1 數學活動

數學活動是以學生有目的、有意識、自愿參加為前提的學習活動．在日常生活中，學生自主自愿且樂于自己搜集整理資料，并進行觀察、操作、實驗等活動，培養表達自己觀點的能力．學生掌握學習的主動性，而不是教師機械地教授或做簡單的計算題．通過數學活動，提高學生的思考力、判斷力和表現力，讓學生真實體會到數學的樂趣和益處．在挖掘數學基礎知識和圖形性質方面進行的數學活動尤為重要．數學活動是學生數學能力提升的重要載體．

在日本小學、初中和高中數學課程標準的總體目標中第一條就是強調數學活動．它的目的在于在整個數學教學和學習過程中貫穿數學活動的理念，重視數學活動，盡可能地以數學活動形式開展數學課堂教學．

1.1.2 加深對數學基本概念與原理及法則體系的理解

過去課程標準只強調“理解”，而這次改革更強調“體系的理解”．即目標強調學生不僅要掌握基本的內容，更要加深對數學基本概念、原理、法則體系的理解，掌握在原理、法則中蘊含的知識技能，并通過數學活動，應用數學思維思考、解決現實生活中的問題．

1.1.3 數學地考察事物和表現的能力

過去課程標準中強調“數學地考察和處理事物的能力”，而這次新課程標準的表述為：“數學地考察事物和表現的能力”．在中小學數學的全部教學過程中，重視思考力、判斷力和表現力與言語活動的充實．

1.1.4 創造性能力的基礎

所謂“創造性能力的基礎”是指持續地發展對知識的好奇心和豐富的感性，培養健全的判斷力、直觀力、洞察力、邏輯思考力、想象力．高中數學教育在學生創造性能力基礎的形成過程中發揮著很大的作用．

1.1.5 數學的好處

過去強調“數學的見解和思考方法的好處”，這次改革表述為“數學的好處”．在“數學的好處”中，不僅包括數學的見解和思考方法的好處，而且也包括數學概念、原理、法則的好處和數學地表現和處理事物的好處．“數學的好處”中還包括數學的實用性和廣泛性的特征以及數學活動和思考中的智力歡樂．

1.1.6 以數學為根據做出判斷

這次課程標準強調“以數學為根據做出判斷”的數學態度．其目的在于更進一步提高數學地考察事物和表現的能力，在各種情形下，從數學的視角考察和處理事物，能夠詳細說明所得出的結果，并根據結果做出合理的判斷．

1.2 日本高中數學課程設置

日本高中數學課程設置有：《數學I》、《數學II》、《數學III》、《數學A》、《數學B》、《數學活用》．其學習順序為：在要學習《數學II》、《數學Ш》的情況下，以《數學I》、《數學II》、《數學Ш》的順序學習．至于《數學A》，可以與《數學I》并行學習，或者修完《數學I》后學習．至于《數學B》，可以修完《數學I》后學習．它們的內容框架如表1：

表1 日本高中數學課程內容框架

2 高中數學各科目目標評介及內容框架

2.1 《數學I》目標評介及內容框架

2.1.1 目標評介

首先，“使學生習得基礎知識和熟練掌握基本技能”．例如，在“（1）數與式”的“數與集合”中，使學生掌握用邏輯思維方法思考各種命題的方法和技能，在后續學習中使學生能夠從問題結論的反面思考，注意數學問題解決的意義的必要性，更嚴密地發展邏輯思維并習得新知識．為了熟練掌握各種命題的邏輯思維方法，必須習得命題及必要條件、充分條件等基礎知識．

其次，“培養數學地考察事物的能力”．例如，“（4）數據分析”中，對于各種數據之間的關系，適當地使用計算機等整理數據、能夠數學地進行考察和解釋．

再次，“使學生認識數學的好處”．例如，“（2）圖形與計量”中，通過在具體問題解決和測量過程中靈活應用正弦定理、余弦定理，使學生認識“用角的大小測量”的好處．基于此，在新的課題解決中，培養學生靈活應用數學的見解和思考方法的態度，使學生認識學習數學的必要性．

最后，“樹立學生靈活應用這些知識的態度”．“這些”包括習得的知識、熟練掌握的技能、數學地考察事物的能力．例如，“（3）二次函數”中，在考察事物的過程中靈活應用有關二次函數的知識，在解二次不等式時準確而靈活地應用二次函數知識．

2.1.2 內容框架

表2 《數學I》內容框架

2.2 《數學II》目標評介及內容框架

2.2.1 目標評介

首先，“（1）各種式”中，重點安排整式的乘法、除法與分式運算，以及等式與不等式的證明，將數的范圍擴充到復數，解二次方程和高次方程．“（2）圖形與方程”中，安排用方程表示直線與圓等圖形，用方程考察圖形的性質和位置關系．“（3）指數函數、對數函數”中，將指數擴充到實數，安排指數函數、對數函數．“（4）三角函數”中，將角擴充到一般的角，安排三角函數．“（5）微分與積分的思考方法”中，觀察函數值的變化，求面積，安排微分、積分的基本思考方法．

其次，對于這些內容，要求“使學生習得基本知識和熟練基本技能”．技能的熟練掌握以知識為基礎，技能的熟練掌握又是知識習得的保證，知識的習得和技能的掌握融為一體．（注：這一表述在《數學III》、《數學A》、《數學B》的目標中均提出，下面論述中略去這一表述．）例如，“（1）各種式”的“復數與二次方程”中，理解把數的范圍擴充到復數的必要性和意義的同時，熟練掌握復數的計算，就是兩者融為一體的例子．

再次，要“培養數學地考察和表現事物的能力”．通過關心某一課題并以解決這個課題過程中先前學習的知識為基礎，深入考察，找出一般方法，將其適當地表現來培養這種能力．例如，“（1）各種式”的“整式的乘法、除法，分式運算”中，用一次式整除整式的時候，用除法求出其余數，對于這種方法進一步深入考察，發現不用除法就能求出余數的方法，培養把它作為剩余定理進行一般化的能力．

最后，“樹立靈活應用它們的態度”．“它們”是以上所述全部學習內容．例如，根據推導剩余定理的方法，理解因式定理（因式定理：是整式的因式），把它靈活應用在三次式的因式分解，靈活應用因式定理．若把三次式分解為一次式和二次式的乘積，則將三次方程歸結為一次方程和二次方程．通過這些活動，更好地鞏固學習成果的同時，能夠樹立在課題解決中靈活應用數學的態度．

2.2.2 內容框架

表3 《數學II》內容框架

2.3 《數學III》目標評介及內容框架

2.3.1 目標評介

首先，“（1）平面上的曲線與復平面”中，安排平面上曲線的各種表示和復平面的知識．“（2）極限”中，安排數列及函數值的極限．“（3）微分法”及“（4）積分法”中，不僅安排多項式函數，還安排分式函數、無理函數、三角函數、指數函數及對數函數的微分法和積分法，發展和充實《數學II》的“（5）微分、積分的思考方法”．

其次，要“加深對平面上的曲線、復平面、極限、微分法及積分法的理解，要求學生習得基本知識和熟練掌握技能”．例如，“（1）平面上的曲線與復平面”中，習得復數的圖形表示有關的知識與應用復數表示復平面上圖形的關系技能的熟練掌握融于一體，相互影響．

再次，要“發展學生數學地考察表現事物的能力”．這種能力，通過關心某一課題并解決這個課題過程中以先前學習的知識為基礎，深入考察，找出一般的方法，使用這種方法適當地處理課題的同時，通過更好地數學地表現來“發展學生數學地考察表現事物的能力”．例如，“（4）積分法”中，以求平面圖形面積的方法為基礎，考察求立體體積的方法，恰當地表現出求簡單立體體積的過程．

最后，要“培養積極地靈活應用這些知識的態度”．“這些”包括習得的知識、熟練掌握的技能、數學地考察事物的能力．例如，“（3）微分法”的“導數的應用”中，理解用二階導數來觀察圖象的凹凸性，把握函數值的增減與導數的關系，培養把這些知識積極靈活應用在各種函數圖象的分析、加速度或速度的考察中的態度．通過類似的活動，使學生的學習成果更加牢固，同時，培養新的數學課題解決中靈活應用數學的態度．

2.3.2 內容框架

表4 《數學III》內容框架

2.4 《數學A》目標評介及內容框架

2.4.1 目標評介

“（1）計數與概率”中，把以往的《數學A》的“（3）計數與概率”與《數學C》（《數學C》：2008年以前日本高中《數學課程標準》中設置的課程）的“（3）概率分布”的一部分（條件概率）合并在一起．“（2）整數的性質”中，以以前的《數學B》中“數值計算與計算機”中的歐幾里得輾轉相除法為中心，同時適當回顧初中的整數相關的內容，使之進一步發展．“（3）圖形的性質”中，將以前的《數學A》的“（1）平面圖形”的“圓周角定理的逆定理”向初中下放，除此以外的內容和作圖、空間圖形作為《數學A》的內容，補充《數學A》的“（2）圖形與計量”的內容．

首先，對于這些內容，“使學生理解計數與概率、整數的性質及圖形性質，要求習得基本知識與熟練掌握基本技能”．例如，“（2）整數的性質”的歐幾里得輾轉相除法中理解其演繹推理，熟練運用歐幾里得輾轉相除法求兩個整數的最大公約數，并將其與其后的一次不定方程解法聯系起來．之后，應用一次不定方程解決具體問題的過程，就是加深對歐幾里得輾轉相除法理解的過程．

其次，要“培養數學地考察事物的能力”．在關心某一課題并解決這個課題過程中，以先前學習的知識為基礎，深入考察，找出一般的方法，使用這種方法適當地處理課題，同時，通過這樣的方式更好地“發展學生數學地考察表現事物的能力”．例如，三角形重心內容的安排，首先要明確三角形的三條中線交于一點，靈活應用已經學過的必要知識來驗證這一點，使學生能夠恰當地表示出三角形的重心．

再次，要“認識數學的好處”．例如，通過數量地把握現實世界中隨機現象不確定性的相關概率知識的學習，認識掌握隨機現象的數學思考方法的好處，從而樹立新的課題解決中靈活運用數學的見解和數學思考方法的好處的態度，認識數學學習的必要性．

最后，要“樹立靈活應用相關知識的態度”，這里“知識”是指以上所述的相關內容的總稱．例如，為發現空間圖形的性質和計量空間圖形，靈活應用三角形與圓等平面圖形的性質．通過這種活動，使學生具備新課題解決中靈活應用數學的態度與數學地解決具體問題的基礎．

2.4.2 內容框架

表5 《數學A》內容框架

2.5 《數學B》目標評介及內容框架

2.5.1 目標評介

“（1）概率分布與統計性推測”中，數學地概括概率概念，安排隨機變量及其分布內容的同時，安排統計推測的思考方法．“（2）數列”中，安排等差數列、等比數列與用遞推公式表示簡單數列及數學歸納法．“（3）向量”中，安排平面向量和空間向量．

首先，對于這些內容，要求“理解概率分布與統計性推測、數列與向量，習得基本知識和熟練掌握基本技能”．例如，“（2）數列”中，在習得數列的基本知識后，能夠表示某一數列的通項和前項和的公式，并用Σ恰當地表示．在熟練掌握數列技能之后，能夠習得各種數列的知識．

其次，要“培養數學地考察和表現事物的能力”．這種能力，通過關心某一課題并解決這個課題過程中先前學習的知識為基礎，深入考察，找出一般的方法，使用這種方法適當地處理課題的同時，通過更好地數學地表現來“發展學生數學地考察表現事物的能力”．例如，在理解向量基本概念、熟練掌握向量運算方法后，可以用向量數學地考察和表現初中已經學過的內容．這樣使學生認識向量的有用性，發展用向量數學地考察和表現事物的能力．

再次，要“培養靈活應用相關知識的態度”．這里的“知識”是上述相關內容的總稱．例如，“統計性推測的思考方法”中，理解總體與樣本、樣本的平均分布與正態分布的關系，通過具體例子掌握統計性推測的思考方法，用樣本估計總體，從而培養學生積極靈活地應用相關知識的態度．通過這樣的活動，學習成果被確保的同時，能夠培養在考察事物中靈活應用數學的態度．這樣使學生意識到數學在社會生活中的有用性和意義．

2.5.2 內容框架

表6 《數學B》內容框架

2.6 《數學活用》目標評介及內容框架

2.6.1 目標評介

首先，“要加深對數學與人類關系的認識”．例如，“（1）數學與人類活動”中，安排計數方法與測量等數學史的話題、數學游戲與謎題，使學生理解數學及數學方法是在人類活動中發展起來的事實，進而加深對數學與人類關系的認識．

其次，“要加深對數學在社會中實用性的認識”，例如，“（2）社會生活的數理性考察”中，列舉汽車或自行車的速度與制動距離的關系等身邊的事情，對其進行考察并將其數學化，通過判斷與說明交通安全，加深對數學的社會有用性的認識．

再次，“培養數理地考察事物的能力，樹立積極靈活應用數學的態度”．例如“（2）社會生活的數理性考察”．

2.6.2 內容框架

《數學活用》以數學概念形成與原理法則的認識過程及人類活動與文化之間的關系為中心，安排數學史的話題及靈活應用計算機解決問題的內容．

表7 《數學活用》內容框架

3 日本高中《數學課程標準》特點

首先，“數學活動”貫穿在概念教學、定理和例題教學及練習課等整個數學學習過程．“數學活動”通過課題學習、綜合學習、開放題教學等形式來實現．“數學活動”教學內容在數量方面并不是很多，關注每一位學生的學習質量，追求教學效率，嚴格按照選修制度教學，不一定給一個班級學生從頭至尾教授同樣的教科書內容，從高中二年級開始學生根據自己情況可以不學習有些后續數學內容．這與中國高中數學教學大不相同．另外，通過數學活動，奠定學生創造性能力的基礎，體驗數學的好處．日本高中“數學課程標準”中沒有像中國“課程標準”那樣提出“培養創造性能力（或思維或意識）”、“數學的價值”等終極目標的詞匯，而強調“基礎”和“好處”、“益處”等．

其次，高中數學課程設置充分考量了與小學和初中已學知識的銜接性．特別注重用新學的思想方法解決已經學習過的有些內容，如學習向量的過程中，用向量方法解決初中平面幾何中相關問題，這樣使學生對數學更具有親近感．日本數學課程設置注重小學、初中和高中有些內容的連貫性，如小學、初中均有立體幾何內容，其目的在于為高中立體幾何做準備．

再次，日本高中數學的很多內容以“課題學習”形式設置．這為數學教授者提供了“課題學習”指導依據．課題學習中，將相互關聯的所學內容與生活聯系起來，設置能夠使學生關心和提高興趣的課題，促進學生的主體性學習，使學生認識數學的好處．

最后，日本高中設置了《數學活用》課程．《數學活用》中的日漢字“活用”就是“靈活應用”的意思．《數學活用》是將數學的趣味性、歷史性、挑戰性、思想性、文化性等融為一體的課程．該課程的設立無論是對教師還是學生的成長都提出了很高的要求．從學生角度看，對激發興趣、豐富知識、加深認識、培養觀察、動手和思考能力都有重要作用．從教師角度看，對數學的理解、數學文化和數學史的意識、數學史的掌握、與數學相關的各學科的知識的掌握、教學藝術的熟練應用等方面的素養提出了很高的要求．日本教師在高中數學教學中根據教科書內容適當地融入數學史和數學文化內容的同時，根據教學實際情況特意安排時間來指導學生的《數學活用》的學習．

[1] 文部科學省．高等校學習指導要領[M]．東京：東山書房，2009．

[2] 文部科學省．高等校學習指導要領解説數學編理數編[M]．東京：実教出版株式會社，2009．

[3] 高橋陽一郎．詳説數學I——III[M]．大阪：啓林館，2011．

[4] 高橋陽一郎．詳説數學A——B[M]．大阪：啓林館，2011．

[5] 根上生也．數學活用[M]．大阪：啓林館，2012．

[6] 岡本和夫．楽しい數學の世界：數學活用[M]．東京：実教出版，2012．

[責任編校：周學智]

Review of Japan High School Mathematics Curriculum Standards

DAI Qin, LIU Xiao-ping, YANG Wei

(1. Institute for the History of Science and Technology, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Huhhot 010022, China;2. School of Mathematical Science, Inner Mongolia Normal University, Inner Mongolia Huhhot 010022, China)

Since 2011, Japanese government has set up the overall objective of Mathematics teaching in itswhich has been implemented in the whole country. The standard includes the mathematics education purpose, emphases for the courses of,,,,,. The curriculum standard own its characteristics in some aspects such as the base for creation cultivation, mathematical activity, course of study, math application, content for the major and minor course.

Japan; high school mathematics; mathematics curriculum standards

G40-059.3

A

1004–9894（2014）04–0031–05

2014–03–27

2013年教育部人文社會科學研究基金——高中數學課程標準的國際比較研究（13YJA880003）

代欽（1962—），男，蒙古族，內蒙古科右中旗人，教授，哲學博士，博士生導師，主要從事數學史、數學教育、數學哲學研究．