通過差分非高斯操作連續變量量子密鑰分發

王 碩， 王 萍， 郭 迎， 王興華

（1．中南大學 信息科學與工程學院， 湖南 長沙410083；2．懷德第一中學， 吉林 公主嶺136100）

通過差分非高斯操作連續變量量子密鑰分發

王 碩1， 王 萍1， 郭 迎1， 王興華2

（1．中南大學 信息科學與工程學院， 湖南 長沙410083；2．懷德第一中學， 吉林 公主嶺136100）

人們發現非高斯操作可以用來提升高斯糾纏態的的糾纏度，本文提出了一種通過使用非高斯差分操作來進行放射性的基于糾纏(Entanglement-based,EB)的連續變量量子密鑰分發(CVQKD)的方法，其中糾纏源產生于中間而不是合法的通信兩端.這個被提出的放射性的結構方案對分析在有損信道中光子如何丟失是非常有用的，這種分析可以提高量子通信的性能.它可以在當前技術條件下實現.為了提高通信的安全距離和基于EB協議和PM協議的噪聲容限，這個技術采用一種在色散潮流中新的成熟的和通用的非高斯操作.

量子密鑰分發；連續變量；非高斯操作；光子減法

量子密鑰分發通常為兩個遠距離參與者，Alice和Bob提供一種方法，來建立一個安全密鑰序列[1].其中存在三個主要的標準來衡量一個量子密鑰分發方案，即為：實用性，性能和安全性[2].

連續變量量子密鑰分發通過光子場x和p的正交性進行編碼并使用零差或外差檢測來提取它，對于最初選擇離散變量量子密鑰分發是因為它提供更高的檢測效率，現成的激光源和更加方便地集成到當前的通信系統.在過去的十年中連續變量量子密鑰分發已經產生重大進展.許多最近的成果包括無條件的安全性證明抵抗任意潛在攻擊策略[4]，以及基于糾纏的連續變量量子密鑰分發試驗性的展示[5]和改進的調制[6]或者具有高效率甚至在低信噪比中解碼[7].然而，安全性分析過多的依賴于量子信道是線性的假設[7].最近，Guo以及其他人已經提出一個改進四態EB CVQKD方案，其中合法參與者在信道不是線性的假設下計算出協方差矩陣[8].不幸的是，這兩個合法通信端正交的相關性不能達到一個EPR態，這明顯的限制了實際運用中的CVQKD的密鑰率.

有趣是，它已經被從理論和實踐上證明了非高斯操作[9]如光子減法和光子加法運算，可以被用來增加和提高在高斯糾纏態的糾纏度[10]，由此提高量子線性放大器[11]和量子通信的性能[12].在本文中，我們關注在非高斯態操作基礎上的一種放射性的EB CVQKD的設計,從而提高系統性能，這種非高斯操作即為：減法運算.其中的糾纏源通過一個中立的通信端Fred而放射的,來自中心的竊聽者Eve位于Fred和合法參與者之間，其目的是為了完全控制高斯糾纏態.它通過使用原始的分析技術[13]表明非高斯差分可以在當前技術下[3]實踐中實現，也可以增加在合法參與者之間正交的相關性.這個協方差矩陣可以在不使用線性信道的假設下的實驗數據中直接評估.相應的，它對應的制備與測量方案在當前的技術下是不難實現的.它允許在長距離的情況下密鑰的分發還是有好的抵抗與最初高斯調制有關的額外噪聲性能，這也說明了這個方案和原始的方案的不同，尤其是，在研究非理想的信道中光子丟失對連續變量量子密鑰分發的性能產生的影響.

本文的結構如下，第二部分致力于通過差分的非高斯操作進行放射性的連續變量量子密鑰分發方法的基礎結構.第三部分證明提出的EB CVQKD的密鑰率，它位于中間的竊聽者是基于傳統的分析技術.最后在第四部分得出結論.

1 非高斯操作下的放射性的EB CVQKD

這個提出的連續變量量子密鑰分發可以在制備與測量方案中實施，為了使理論分析簡單一些，我們認為它的效率等價于使用高斯調制的基于糾纏方案[4].以設計一個放 射的基于糾纏的連續變量量子密鑰分發方案為開始，它對于理解一個使用高斯調制的傳統的EB CVQKD協議是很有幫助.通過中立參與者，Fred，一個糾纏的高斯源，在兩個遠距離參與者之間的建立起糾纏源，Alice和Bob，為了在一個放射的量子網絡中（例如下圖1）產生一個密鑰率加密.

圖1 非高斯操作下的放射性的EB CVQKD的原理示意圖.在這里的PNRD代表光子數分辨探測器

假設Fred準備了一個雙模真空壓縮態ρab，具有方差V0+1，其中V0=2α2代表調制方差.態ρab的一半發送給Alice同時另外一半的態通過具有傳送效率T和額外噪聲ε的光子信道發送給Bob.在Alice（或者Bob）接收這個態時，她（或者他）就使用一個理想探測器選擇外差或者零差探測器來檢測.同時，我們假設Alice當Bob應用零差或者外差檢測時采用外差檢測，這是為了共享兩個相關的高斯變量從而可以被進一步用于提取私鑰加密.因為實際的量子信道和探測器并不是理想的，增加的信道噪聲被指為信道輸入記為Xline=1/T-1+ε.

我們想到的是考慮到一個在非高斯操作下非高斯操作下的EB CVQKD通過光子減法操作來實現.如上圖1所示，Fred首先為了每一個模結合一個分束器和一個光子數分辨探測器.在兩個光線在模式a0和b0同時的被兩個具有相同傳輸器的分束器所利用之后，例如：μa=μb=μ，結果態可以被表示為：

其中pk代表歸一化因子，糾纏的非高斯態由下式給出：

例如，當k∈{1,2}，它可以由下面的式子計算得出：

我們注意前面所提到的減法操作對于μ=1是不存在的.很容易的證明，光子k態在k≥1時，比原始的輸入態有一個更大的糾纏度，如圖2表示.有很多的糾纏態使用一個合適的傳輸條件μ∈(0,1).此外，更大數量的減去光子k意味著雙向態的更大的糾纏.它表明基于減法的非高斯操作可以增加雙向態的兩種模式的相關性.我們也注意光子數分辨探測器應該被作為有效的檢測[18]，這導致了一個對糾纏源處理后產生了非高斯混合態.

圖2 |φ〉ab和的糾纏比較.這里因為μ∈{0.5,0.8}和k∈{1,2}，所以E0=E(|φ〉ab)和1具有 α∈(0,1)

在下文中，我們嘗試證明由Fred所帶來的糾纏性能的提高，Fred在傳送糾纏態給遠距離的參與者之前完成了基于光子減法的非高斯操作，它會提高在放射光子網絡中的基于糾纏的連續變量量子密鑰分發的性能.

2 放射性的基于糾纏的連續變量量子密鑰分發的密鑰率

在這部分，我們表明如何估計在基于光子減法的非高斯操作下的放射的EB CVQKD的密鑰率.所以我們集中于分析直接協商，因為反向協商可以用類似的方法得到.基于高斯調制的EB CVQKD，這個密鑰率可以有下面的式子計算出來[10]：

其中S是馮·諾伊曼熵，ρe是竊聽者的局部態，ma代表Alice隨著P(ma)的可能性實現的測量結果代表竊聽者的輔助態，它是在Alice的測量結果的ma條件下得到的.由

于竊聽者可以提供一個Alice的純態和Bob的密度矩陣，我們得到)和)，如圖1所示.因此，Holevo數量可以寫為[8]：

而且，根據一個有益的協方差矩陣如下[4]：

其中I2是2×2的單位矩陣，σz是以1和-1為對角線的對角矩陣，同時a，b和c代表有效的參數，由下面的式子得出：

舉例，當k=1時，我們得到：

圖3 z1和z0的相關性對比.這里z0表示高斯EPR態的關系，同時z1對于隨著α∈{0,1}的變化μ∈{0.5,0.8}.

我們注意基于減法的連續變量量子密鑰分發當μ=1時不存在，這和原始的具有糾纏源在中間的連續變量量子密鑰分發有關.如圖3所示，熟悉矩陣的關系對于適當的參數μ和α可以制成比高斯EPR態更大.它表明對于被減去的雙向態提出的方案的無條件安全性受μ和α值的限制，當α趨近于0的時候它變成高斯EPR態的下界.然而，當α的值變得非常小的時候，在實際中它就變得無效了.這就是我們在提出的方案中所要完成的不得不選擇合適的μ和α值的原因.

因為由竊聽者執行的最具有攻擊力的策略是高斯攻擊，我們假設存在一個等價的高斯態ρa1b1具有相同的協方差矩陣作為以光子減法為基礎的基于糾纏的連續變量量子密鑰分發，例如和之間的關系在Ref.中被討論[17].接下來，我們考慮在以代替被減態基礎的提出的方案的效率.

假設Alice執行外差檢測，通過在一個平衡的分束器中結合她的模和一個真空附屬d0來產生一個相干態.在原始態上的交互執行可以被描述為繼續通過他的模式采用零差或者外差檢測.隨后，為了零差檢測在Alice和Bob之間共享的信息可由下式計算得出：

外差檢測由下式給出：

接下來，我們考慮的是計算竊聽者和Alice的的共有信息，例如作為Alice零差測量的條件.使用提純方法，我們有，它是相關的方差矩陣的辛本征值λ3,4的函數，具體式子如下：

注意到一個外差檢測在本質上是一個通過相干態的推測，外差測量結果在協方差矩陣中如下：

然后，辛本征值直接的表示為：

因此，通過外差檢測的馮·諾伊曼熵就可以如下表示了：

由此，對于基于光子減法的放射性的連續變量量子密鑰率的下界由下式給出：

其中pk代表了在非高斯操作下成功實施的可能性.也就是，零差檢測下的密鑰率由下式計算出來：

同時外差檢測由下式得出：

在放射的基于糾纏的連續變量量子密鑰分發在光子信道中不具有非高斯操作，原始的高斯態ρ0的協方差矩陣ΓG

并且協方差矩陣ΓG0的辛本征值再Bob的外差測量上是有條件的：

3 結論

我們提出一個方法來提高在非高斯的操作下的基于糾纏的連續變量量子密鑰方案的性能，尤其是，光子減法操作.這個提出的光子減法操作在當前的技術下很容易的實現.由于被調制的態是非高斯的，我們預測出密鑰率和信道過剩噪聲的可容忍度在高斯定理的協助下對抗一般的集體攻擊.結果表示這個提出的方案比原始的方案允許更長的安全距離，并且在抵抗信道過剩噪聲中有更好的性能.此外，因為可用的調制方差VA的區域可以是開放的，所以這個提出的方案有一個更加靈活的應用.而且，我們表明減法操作也可能等同于準備—措施方案.總之，我們已經證明光子減法不僅能被用于提高量子態的糾纏度，也能提高連續變量量子密鑰分配的性能，包括更長的安全距離，更大的過剩噪聲可容忍度，和更加靈活的調制方差的選擇.

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1673-260X（2014）07-0017-04