復合整函數的有理零點

吳淵鴻，涂 金

(江西師范大學數學與信息科學學院，330022，南昌)

1 引言和結果

本文使用值分布理論中的標準記號[1]，用ρ(f)表示亞純函數f(z)的增長級，并用σ2(f)表示亞純函數f(z)的超級，定義如下[2]

本文用f(g)表示2個整函數f(z)與g(z)的復合，當然f(z)也可以為亞純函數。關于復合整函數的不動點，很多人都進行了研究，并取得了很多有名的結果。

Gross猜測2個超越整函數的復合f(g)有無窮多個不動點[3]，當 f(g)為有窮級時，或者 f，g中有一個為多項式時，這個猜測被證明是對的。Yang C C.在他的2篇論文中分別證明了下面的定理。

定理 1[4]:假設 F(z)=f(g(z))是一無窮級的復合整函數，f的級ρ(f)小于或者為無理數，g滿足

這里c＞1為一常數，則F=g(f)有無窮多個不動點。

定理2[5]:假設g(z)是一有窮級整函數，且具有一有窮的Borel例外值。f(z)是一非線性的整函數，使得f(g)的超級小于g的級，則F=f(g)有無窮多個不動點。

1990年，W Bergweiler證明了更一般的情況，得到以下定理。

定理 3[6]:假設 f，g 為超越整函數，P 是非常數多項式，那么f(g)-P有無窮多個零點。

那人們自然會問:當f為亞純函數時，是不是有類似的結論?1993年W Bergweiler證明了下面這個定理。

定理 4[7]:假設 f為超越亞純函數，g 為超越整函數，R是非常數有理函數。如果f(g)是無窮級的，那么f(g)-R有無窮多個零點。

本文在f，g為超越整函數，R為有理函數的條件下，研究了f(g)-R的零點，得到了以下定理，完善了上面幾個定理的結果。

R為有理函數，則f(g)-R有無窮多個零點。

定理6:假設f為超越整函數，g為有窮級超越整函數，使得f(g)的超級小于g的級。R為有理函數，則f(g)-R有無窮多個零點。

2 引理

引理1[8]:假設 f，g 均為整函數，那么對于 r＞0有