Marcinkiewicz積分的弱(1，1)有界性

金芳婷

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，330022，南昌)

1 主要結(jié)果

受文獻[1－2]算子核條件的啟發(fā)，介紹一種滿足新的核條件的Marcinkiewicz積分，假設(shè)K∈L2(Rn)，存在常數(shù) c＞0，使得

1)對所有 x，y∈Rn，有

2)對于固定的 γ ＞0，對所有 x，y∈Rn，有

3)存在函數(shù) B1，…，Bm∈(Rn{0})和{φ1，…，φm}?L∞(Rn)，使得

設(shè)f∈L1(Rn)，定義相應(yīng)于K的Marcinkiewicz積分

[3]的部分方法可證明如下定理。

定理1:設(shè)μφ是由式(3)定義的Marcinkiewicz積分，K滿足1)～3)，且它在Lp0(Rn)上有界，則存在常數(shù)c＞0，使得對所有的λ＞0和f∈L1(Rn)，有

2 預(yù)備知識和引理

回憶投影的概念[4]，函數(shù)f∈L1在有限子空間Y(?L1)上的投影P(f)是指存在元素P(f)∈Y ，使得對任意的函數(shù)h∈Y，有

引理1[4]:設(shè)φ1，…，φm是定義在Rn上的一組有界函數(shù)且 |det[φr(yi)]|2∈ RH∞(Rnm)，則對于任意中心在原點的方體Q和任意的f∈L1(Q)，存在f在spanφ1，…，φm?L1(Q)上的投影PQf且滿足

其中常數(shù) c依賴于 n，m 和|det[φr(yi)]|2的RH∞常數(shù)。

3 定理的證明

定理1的證明:對于任意固定的λ＞0，考慮f的Caldero'n－Zygmund分解，得到一列互不重疊的方體 Qj，其中 Qj=Q(yj，rj)以 yj為中心 rj為半徑，進一步有

且對每個Qj有

記f|Qj為函數(shù)f在 Qj上的限制，gj(x)為 f|Qj在 spanφ1(· －yj)，…，φm(· －yj)中的投影，把函數(shù)f分解為f=g+b，其中

且

這里

當(dāng) x ∈ Qj時，顯然 supp

從而

進一步還可以驗證

事實上，由引理1得

對于 I1，P0＞1，由 μφ在 Lp0(Rn)上有界，式(7)和式(8)，有

對于I2，由式(5)得

下面估計I3，注意到

因此，只需證明對于每一個固定的j，

和

為證明式(9)，對每一個固定的j，有

由Minkowski不等式和式(1)可得

綜合J1，J2的估計就得到式(9)。

為了證明估計式(10)，首先注意到如果對某個方體I，supp(h)? I，那么對任意s＞ 1和x?sI，由式(1)

另一方面，有

因此，由上兩式及supp(bj)?Qj，有

這就得到式(10)的估計，便可完成定理1的證明。

參考文獻:

[1] Grubb D J，Moore C N.A variant of H?rmander's condition for singular integrals[J].Colloq Math，1997，73(2):165－172.

[2] Tolsa X，BMO.H1Calderón－Zygmund operators for non doubling measures[J].Math Ann，2001，319:89 －149.

[3] Tolsa X.A proof of week(1，1)inequality for singular integrals with non doubling measures based on a Calderón－Zygmund decomposition[J].Publ Mat，2001，45:163－174.

[4] Trujillo－Ginzález R.Weighted norm inequalities for singular integral operators satisfying a variant of H?rmander's condition，Comment[J].Math Univ Carolinae，2003，44(1):137 －152.