微積分在經(jīng)濟和管理學院專業(yè)的應用研究

楊榮領(lǐng)+++李鑫宜+++黃紫欣+++冼秋華+++湛家麗

摘 要：本文對微積分在經(jīng)濟和管理學院專業(yè)的應用研究，從微分和積分兩個主要方面進行探索，具體介紹這兩個部分在經(jīng)濟和管理專業(yè)的代表例題，重點在它們的相互結(jié)合之上。

關(guān)鍵詞：微分；極限；積分

一、引言

隨著經(jīng)濟學和管理研究的不斷深入，經(jīng)濟和管理的量化分析已經(jīng)成為了經(jīng)濟學和管理學研究中的主要手段，這與微積分在經(jīng)濟和管理中的廣泛應用密不可分。

在微分中，極限是最基本的概念。微積分中大量的其他基本概念都是用極限的概念來表達的。如導數(shù)和定積分都是建立在極限的概念之上。其中應用到彈性函數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學概念。

二、 微分在經(jīng)濟學中的應用

1.邊際概念與極限思想

在表述經(jīng)濟增長和公共政策的關(guān)系時，假設一個政府，實施一個提高國民儲蓄率的政策——隨著一國儲蓄的增加，用于生產(chǎn)消費品的資源少了，而更多的資源用于生產(chǎn)資本品。在下圖1中表明在所有其他決定產(chǎn)量的因素不變的情況下，每個工人的資本量如何決定每個工人的產(chǎn)量。

圖1 生產(chǎn)函數(shù)

由于收益遞減，儲蓄率的增加所引起的高增長只是暫時的。隨著高儲蓄率使積累的資本更多，從增加的資本中得到的收益一直在減少，因此增長放慢。在長期中，高儲蓄率引起高水平的生產(chǎn)率和收入，但是在這些變量中沒有高增長。然而，達到這種長期可能需要相當一段時間。根據(jù)對經(jīng)濟增長國際數(shù)據(jù)的研究，提高儲蓄率可以在幾十年內(nèi)引起相當高的增長。

資本的收益遞減還有一層重要的含義：在其他條件相同的情況下，如果一國開始時比較窮，它就更易實現(xiàn)迅速增長。

2.多元經(jīng)濟函數(shù)及其偏導數(shù)

表 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的有關(guān)資料如下：

（1） 計算三種產(chǎn)品的總成本指數(shù)。

（2） 計算以基期總成本為權(quán)數(shù)的產(chǎn)量總指數(shù)。

（3） 計算以報告期總成本為權(quán)數(shù)的單位成本總指數(shù)。

（4） 分析產(chǎn)量和單位成本的變動對產(chǎn)品總成本的影響。

解：（1）總成本指數(shù)為：

■

（2）產(chǎn)量總指數(shù)為：

■

（3）單位成本總指數(shù)為：

■

（4）由于產(chǎn)量變動使銷售額增加11.6%，增加銷售額145.7

532-130.6=15.1532萬元；由于價格變動使銷售額增加0.1%，增加銷售額0.1468萬元。

三、積分在經(jīng)濟學中的應用

在積分部分，利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量（供給量）之間的函數(shù)關(guān)系、預測可再生資源的產(chǎn)量，預測商品的銷售量、分析關(guān)于國民收入、儲蓄與投資的關(guān)系問題等，對企業(yè)的經(jīng)營決策乃至國家級別的經(jīng)濟決策及時做出正確的調(diào)整。

1.消費者剩余

需求量和供給量都是價格函數(shù)，在市場經(jīng)濟下，價格和數(shù)量都是經(jīng)過不斷的相互調(diào)整，最后趨向平衡。在效用與經(jīng)濟福利分析中，消費者剩余是消費者對某種商品愿意支付的價格超過實際付出價格的余額。

如圖2所示，P表示實際支付的價格，D是需求曲線。而實際支付價格小于消費者愿意支付價格，其中出現(xiàn)的差額，稱為消費者剩余。其計算思路為：計算需求曲線與q=0，q=b所圍成的曲邊梯形面積A。

其計算步驟為：（1）根據(jù)給出圖形，利用極限思想無限細分，近似計算曲邊梯形面積。（2）求極限。通過無限求和求出精確值。

圖2 消費者剩余圖像

整個圖線面積■。則當n是有限數(shù)值時，面積■永遠是曲邊梯形的面積，即A的近似值。但當n增加時，面積的精確度才能相應增加。當n→∞時，并利用極限的方法才能實現(xiàn)從近似到精確，從而實現(xiàn)了近似■向曲邊梯形面積的精確值A，即：

■

而這個也是微積分中另一個重要模型——定積分和不定積分的基本思想。即

■

積分，在某個角度就是一些曲線函數(shù)的面積。經(jīng)濟學家把復雜的數(shù)據(jù)制圖，簡化模型，引用積分思路，問題就變得簡單了。例如，研究進出口貿(mào)易的函數(shù)圖像，需要求解面積。

圖3 進出口貿(mào)易函數(shù)圖

如圖3，表示當貿(mào)易前國內(nèi)均衡價格低于世界價格的紡織品市場。允許自由貿(mào)易后，國內(nèi)價格上升到等于世界價格。供給曲線表示國內(nèi)生產(chǎn)的紡織品量，需求曲線表示國內(nèi)消費的紡織品量。當前國內(nèi)的出口等于世界價格時國內(nèi)供給量與國內(nèi)需求量之間的差額。賣者情況變好了（生產(chǎn)者剩余從C增加到B+C+D），而買者情況變壞了（消費者剩余從A+B較少為A）。圖中D部分，表示總剩余的增加量，代表貿(mào)易的利益，同時也表明貿(mào)易增加了整個國家的經(jīng)濟福利。經(jīng)濟學家正是因為運用極限的思想，把復雜的散點圖直線化；并通過積分求貿(mào)易利益中總剩余的變動。

2. 經(jīng)濟函數(shù)及最大利潤

設生產(chǎn)x個產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C=1000元，產(chǎn)品單價規(guī)定為500元。假設生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大？并求出最大利潤。

解：總成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

總收益函數(shù) R（x）=500x

總利潤 L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因為L′′（200）<0

所以，生產(chǎn)量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L（200）=39000（元）。

參考文獻：

[1]杜江.微積分應用的幾點思考[J].高職教育，2012（05）.

[2]雷一鳴.獨立學院微積分教材改革探析[J].廣東工業(yè)大學學報（社會科學版），2008（7）.

[3]梁錦華.Math CAD在高職數(shù)學教學中的微積分應用[J].科技廣場，2008（4）.

[4]張麗玲.極限思想在經(jīng)濟學中的應用[J].柳州職業(yè)技術(shù)學院學報，2007（9）.

[5] N. Gregory Mankiw著.美.梁小民 梁礫譯.經(jīng)濟學原理：微觀經(jīng)濟學分冊[M].第五版.北京大學出版社，2011.

作者簡介：楊榮領(lǐng)（1981.1- ），女，漢族，河南安陽人，碩士，華南理工大學廣州學院講師，研究方向：應用數(shù)學；李鑫宜（1992.3- ），女，廣東清遠，華南理工大學廣州學院，本科；黃紫欣（1992.9- ），女，廣東珠海，華南理工大學廣州學院，本科；冼秋華（1992.3- ），女，廣東羅定，華南理工大學廣州學院，本科；湛家麗（1992.3- ），女，廣東廣州，華南理工大學廣州學院，本科endprint

摘 要：本文對微積分在經(jīng)濟和管理學院專業(yè)的應用研究，從微分和積分兩個主要方面進行探索，具體介紹這兩個部分在經(jīng)濟和管理專業(yè)的代表例題，重點在它們的相互結(jié)合之上。

關(guān)鍵詞：微分；極限；積分

一、引言

隨著經(jīng)濟學和管理研究的不斷深入，經(jīng)濟和管理的量化分析已經(jīng)成為了經(jīng)濟學和管理學研究中的主要手段，這與微積分在經(jīng)濟和管理中的廣泛應用密不可分。

在微分中，極限是最基本的概念。微積分中大量的其他基本概念都是用極限的概念來表達的。如導數(shù)和定積分都是建立在極限的概念之上。其中應用到彈性函數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學概念。

二、 微分在經(jīng)濟學中的應用

1.邊際概念與極限思想

在表述經(jīng)濟增長和公共政策的關(guān)系時，假設一個政府，實施一個提高國民儲蓄率的政策——隨著一國儲蓄的增加，用于生產(chǎn)消費品的資源少了，而更多的資源用于生產(chǎn)資本品。在下圖1中表明在所有其他決定產(chǎn)量的因素不變的情況下，每個工人的資本量如何決定每個工人的產(chǎn)量。

圖1 生產(chǎn)函數(shù)

由于收益遞減，儲蓄率的增加所引起的高增長只是暫時的。隨著高儲蓄率使積累的資本更多，從增加的資本中得到的收益一直在減少，因此增長放慢。在長期中，高儲蓄率引起高水平的生產(chǎn)率和收入，但是在這些變量中沒有高增長。然而，達到這種長期可能需要相當一段時間。根據(jù)對經(jīng)濟增長國際數(shù)據(jù)的研究，提高儲蓄率可以在幾十年內(nèi)引起相當高的增長。

資本的收益遞減還有一層重要的含義：在其他條件相同的情況下，如果一國開始時比較窮，它就更易實現(xiàn)迅速增長。

2.多元經(jīng)濟函數(shù)及其偏導數(shù)

表 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的有關(guān)資料如下：

（1） 計算三種產(chǎn)品的總成本指數(shù)。

（2） 計算以基期總成本為權(quán)數(shù)的產(chǎn)量總指數(shù)。

（3） 計算以報告期總成本為權(quán)數(shù)的單位成本總指數(shù)。

（4） 分析產(chǎn)量和單位成本的變動對產(chǎn)品總成本的影響。

解：（1）總成本指數(shù)為：

■

（2）產(chǎn)量總指數(shù)為：

■

（3）單位成本總指數(shù)為：

■

（4）由于產(chǎn)量變動使銷售額增加11.6%，增加銷售額145.7

532-130.6=15.1532萬元；由于價格變動使銷售額增加0.1%，增加銷售額0.1468萬元。

三、積分在經(jīng)濟學中的應用

在積分部分，利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量（供給量）之間的函數(shù)關(guān)系、預測可再生資源的產(chǎn)量，預測商品的銷售量、分析關(guān)于國民收入、儲蓄與投資的關(guān)系問題等，對企業(yè)的經(jīng)營決策乃至國家級別的經(jīng)濟決策及時做出正確的調(diào)整。

1.消費者剩余

需求量和供給量都是價格函數(shù)，在市場經(jīng)濟下，價格和數(shù)量都是經(jīng)過不斷的相互調(diào)整，最后趨向平衡。在效用與經(jīng)濟福利分析中，消費者剩余是消費者對某種商品愿意支付的價格超過實際付出價格的余額。

如圖2所示，P表示實際支付的價格，D是需求曲線。而實際支付價格小于消費者愿意支付價格，其中出現(xiàn)的差額，稱為消費者剩余。其計算思路為：計算需求曲線與q=0，q=b所圍成的曲邊梯形面積A。

其計算步驟為：（1）根據(jù)給出圖形，利用極限思想無限細分，近似計算曲邊梯形面積。（2）求極限。通過無限求和求出精確值。

圖2 消費者剩余圖像

整個圖線面積■。則當n是有限數(shù)值時，面積■永遠是曲邊梯形的面積，即A的近似值。但當n增加時，面積的精確度才能相應增加。當n→∞時，并利用極限的方法才能實現(xiàn)從近似到精確，從而實現(xiàn)了近似■向曲邊梯形面積的精確值A，即：

■

而這個也是微積分中另一個重要模型——定積分和不定積分的基本思想。即

■

積分，在某個角度就是一些曲線函數(shù)的面積。經(jīng)濟學家把復雜的數(shù)據(jù)制圖，簡化模型，引用積分思路，問題就變得簡單了。例如，研究進出口貿(mào)易的函數(shù)圖像，需要求解面積。

圖3 進出口貿(mào)易函數(shù)圖

如圖3，表示當貿(mào)易前國內(nèi)均衡價格低于世界價格的紡織品市場。允許自由貿(mào)易后，國內(nèi)價格上升到等于世界價格。供給曲線表示國內(nèi)生產(chǎn)的紡織品量，需求曲線表示國內(nèi)消費的紡織品量。當前國內(nèi)的出口等于世界價格時國內(nèi)供給量與國內(nèi)需求量之間的差額。賣者情況變好了（生產(chǎn)者剩余從C增加到B+C+D），而買者情況變壞了（消費者剩余從A+B較少為A）。圖中D部分，表示總剩余的增加量，代表貿(mào)易的利益，同時也表明貿(mào)易增加了整個國家的經(jīng)濟福利。經(jīng)濟學家正是因為運用極限的思想，把復雜的散點圖直線化；并通過積分求貿(mào)易利益中總剩余的變動。

2. 經(jīng)濟函數(shù)及最大利潤

設生產(chǎn)x個產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C=1000元，產(chǎn)品單價規(guī)定為500元。假設生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大？并求出最大利潤。

解：總成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

總收益函數(shù) R（x）=500x

總利潤 L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因為L′′（200）<0

所以，生產(chǎn)量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L（200）=39000（元）。

參考文獻：

[1]杜江.微積分應用的幾點思考[J].高職教育，2012（05）.

[2]雷一鳴.獨立學院微積分教材改革探析[J].廣東工業(yè)大學學報（社會科學版），2008（7）.

[3]梁錦華.Math CAD在高職數(shù)學教學中的微積分應用[J].科技廣場，2008（4）.

[4]張麗玲.極限思想在經(jīng)濟學中的應用[J].柳州職業(yè)技術(shù)學院學報，2007（9）.

[5] N. Gregory Mankiw著.美.梁小民 梁礫譯.經(jīng)濟學原理：微觀經(jīng)濟學分冊[M].第五版.北京大學出版社，2011.

作者簡介：楊榮領(lǐng)（1981.1- ），女，漢族，河南安陽人，碩士，華南理工大學廣州學院講師，研究方向：應用數(shù)學；李鑫宜（1992.3- ），女，廣東清遠，華南理工大學廣州學院，本科；黃紫欣（1992.9- ），女，廣東珠海，華南理工大學廣州學院，本科；冼秋華（1992.3- ），女，廣東羅定，華南理工大學廣州學院，本科；湛家麗（1992.3- ），女，廣東廣州，華南理工大學廣州學院，本科endprint

摘 要：本文對微積分在經(jīng)濟和管理學院專業(yè)的應用研究，從微分和積分兩個主要方面進行探索，具體介紹這兩個部分在經(jīng)濟和管理專業(yè)的代表例題，重點在它們的相互結(jié)合之上。

關(guān)鍵詞：微分；極限；積分

一、引言

隨著經(jīng)濟學和管理研究的不斷深入，經(jīng)濟和管理的量化分析已經(jīng)成為了經(jīng)濟學和管理學研究中的主要手段，這與微積分在經(jīng)濟和管理中的廣泛應用密不可分。

在微分中，極限是最基本的概念。微積分中大量的其他基本概念都是用極限的概念來表達的。如導數(shù)和定積分都是建立在極限的概念之上。其中應用到彈性函數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學概念。

二、 微分在經(jīng)濟學中的應用

1.邊際概念與極限思想

在表述經(jīng)濟增長和公共政策的關(guān)系時，假設一個政府，實施一個提高國民儲蓄率的政策——隨著一國儲蓄的增加，用于生產(chǎn)消費品的資源少了，而更多的資源用于生產(chǎn)資本品。在下圖1中表明在所有其他決定產(chǎn)量的因素不變的情況下，每個工人的資本量如何決定每個工人的產(chǎn)量。

圖1 生產(chǎn)函數(shù)

由于收益遞減，儲蓄率的增加所引起的高增長只是暫時的。隨著高儲蓄率使積累的資本更多，從增加的資本中得到的收益一直在減少，因此增長放慢。在長期中，高儲蓄率引起高水平的生產(chǎn)率和收入，但是在這些變量中沒有高增長。然而，達到這種長期可能需要相當一段時間。根據(jù)對經(jīng)濟增長國際數(shù)據(jù)的研究，提高儲蓄率可以在幾十年內(nèi)引起相當高的增長。

資本的收益遞減還有一層重要的含義：在其他條件相同的情況下，如果一國開始時比較窮，它就更易實現(xiàn)迅速增長。

2.多元經(jīng)濟函數(shù)及其偏導數(shù)

表 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的有關(guān)資料如下：

（1） 計算三種產(chǎn)品的總成本指數(shù)。

（2） 計算以基期總成本為權(quán)數(shù)的產(chǎn)量總指數(shù)。

（3） 計算以報告期總成本為權(quán)數(shù)的單位成本總指數(shù)。

（4） 分析產(chǎn)量和單位成本的變動對產(chǎn)品總成本的影響。

解：（1）總成本指數(shù)為：

■

（2）產(chǎn)量總指數(shù)為：

■

（3）單位成本總指數(shù)為：

■

（4）由于產(chǎn)量變動使銷售額增加11.6%，增加銷售額145.7

532-130.6=15.1532萬元；由于價格變動使銷售額增加0.1%，增加銷售額0.1468萬元。

三、積分在經(jīng)濟學中的應用

在積分部分，利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量（供給量）之間的函數(shù)關(guān)系、預測可再生資源的產(chǎn)量，預測商品的銷售量、分析關(guān)于國民收入、儲蓄與投資的關(guān)系問題等，對企業(yè)的經(jīng)營決策乃至國家級別的經(jīng)濟決策及時做出正確的調(diào)整。

1.消費者剩余

需求量和供給量都是價格函數(shù)，在市場經(jīng)濟下，價格和數(shù)量都是經(jīng)過不斷的相互調(diào)整，最后趨向平衡。在效用與經(jīng)濟福利分析中，消費者剩余是消費者對某種商品愿意支付的價格超過實際付出價格的余額。

如圖2所示，P表示實際支付的價格，D是需求曲線。而實際支付價格小于消費者愿意支付價格，其中出現(xiàn)的差額，稱為消費者剩余。其計算思路為：計算需求曲線與q=0，q=b所圍成的曲邊梯形面積A。

其計算步驟為：（1）根據(jù)給出圖形，利用極限思想無限細分，近似計算曲邊梯形面積。（2）求極限。通過無限求和求出精確值。

圖2 消費者剩余圖像

整個圖線面積■。則當n是有限數(shù)值時，面積■永遠是曲邊梯形的面積，即A的近似值。但當n增加時，面積的精確度才能相應增加。當n→∞時，并利用極限的方法才能實現(xiàn)從近似到精確，從而實現(xiàn)了近似■向曲邊梯形面積的精確值A，即：

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而這個也是微積分中另一個重要模型——定積分和不定積分的基本思想。即

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積分，在某個角度就是一些曲線函數(shù)的面積。經(jīng)濟學家把復雜的數(shù)據(jù)制圖，簡化模型，引用積分思路，問題就變得簡單了。例如，研究進出口貿(mào)易的函數(shù)圖像，需要求解面積。

圖3 進出口貿(mào)易函數(shù)圖

如圖3，表示當貿(mào)易前國內(nèi)均衡價格低于世界價格的紡織品市場。允許自由貿(mào)易后，國內(nèi)價格上升到等于世界價格。供給曲線表示國內(nèi)生產(chǎn)的紡織品量，需求曲線表示國內(nèi)消費的紡織品量。當前國內(nèi)的出口等于世界價格時國內(nèi)供給量與國內(nèi)需求量之間的差額。賣者情況變好了（生產(chǎn)者剩余從C增加到B+C+D），而買者情況變壞了（消費者剩余從A+B較少為A）。圖中D部分，表示總剩余的增加量，代表貿(mào)易的利益，同時也表明貿(mào)易增加了整個國家的經(jīng)濟福利。經(jīng)濟學家正是因為運用極限的思想，把復雜的散點圖直線化；并通過積分求貿(mào)易利益中總剩余的變動。

2. 經(jīng)濟函數(shù)及最大利潤

設生產(chǎn)x個產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C=1000元，產(chǎn)品單價規(guī)定為500元。假設生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大？并求出最大利潤。

解：總成本 C（X）=∫（100+2x）=100x+2x2+1000

總收益函數(shù) R（x）=500x

總利潤 L（x）=R（x）-C（x）=400x-x2-1000，L′=400-2x

令L′=0，得X=200，因為L′′（200）<0

所以，生產(chǎn)量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L（200）=39000（元）。

參考文獻：

[1]杜江.微積分應用的幾點思考[J].高職教育，2012（05）.

[2]雷一鳴.獨立學院微積分教材改革探析[J].廣東工業(yè)大學學報（社會科學版），2008（7）.

[3]梁錦華.Math CAD在高職數(shù)學教學中的微積分應用[J].科技廣場，2008（4）.

[4]張麗玲.極限思想在經(jīng)濟學中的應用[J].柳州職業(yè)技術(shù)學院學報，2007（9）.

[5] N. Gregory Mankiw著.美.梁小民 梁礫譯.經(jīng)濟學原理：微觀經(jīng)濟學分冊[M].第五版.北京大學出版社，2011.

作者簡介：楊榮領(lǐng)（1981.1- ），女，漢族，河南安陽人，碩士，華南理工大學廣州學院講師，研究方向：應用數(shù)學；李鑫宜（1992.3- ），女，廣東清遠，華南理工大學廣州學院，本科；黃紫欣（1992.9- ），女，廣東珠海，華南理工大學廣州學院，本科；冼秋華（1992.3- ），女，廣東羅定，華南理工大學廣州學院，本科；湛家麗（1992.3- ），女，廣東廣州，華南理工大學廣州學院，本科endprint