基于空間變論域的自適應時空耦合模糊控制器

謝 鷗 李伯全 郭建慧

(1.蘇州科技學院機械工程學院，江蘇 蘇州 215009；2.江蘇大學機械工程學院，江蘇 鎮江 212013)

現實中大量的工業過程，如石油、化工、煉鋼及軋鋼等，不僅涉及到非線性、不確定性、大時滯及時變性等特點，而且還具有較強的空間分布特性，稱之為時空耦合系統[1]。針對時空耦合系統，傳統的集總參數和分布參數控制方法都存在一定的局限性。近年來模糊控制因其獨特的非線性處理能力和魯棒性使其獲得了大量的應用。文獻[2，3]提出了一種3-D模糊邏輯控制器，將模糊控制應用于空間信息的處理。文獻[4]進一步考慮了空間模糊度的概念，在物理上建立了空間的隸屬度。由于空間分布物理量動態變化，而模糊控制器的隸屬度函數、控制規則是根據經驗預先總結確定的，在控制過程中無法進行修正，不具有學習和適應的能力，從而導致系統控制精度低、穩態誤差大。筆者引入變論域理論思想[5]，提出一種空間變論域的自適應時空耦合模糊邏輯控制器設計方法。

1 問題描述①

對于一類空間分布系統，要求控制系統的某一空間分布物理量精確地跟蹤或恒定在某一設定的空間分布曲線上。時空模糊集在傳統模糊集的基礎上增加了表達空間信息的第三維，時空模糊集表示為：

0≤fz(x),fx(z)≤1

式中fx(z)——空間隸屬函數；

fz(x)——時間隸屬函數。

考慮兩輸入單輸出時空耦合模糊控制器，輸入采用三角形隸屬度函數，輸出采用單平面隸屬度函數。采用線性規則庫，規則結構形式如下：

(1)

基于拓展的規則平面推理法可獲得時空耦合模糊控制器的解析模型：

其中n為空間傳感器個數，σ(zp)=E(zp)+R(zp)，γ-1(zp)=1+2μip(Ep)，A為輸入論域相鄰模糊子集的中心距，B為輸出論域相鄰模糊子集的中心距，u為系統輸出，hu(z)為空間加權因子。

從時空耦合模糊控制器的解析模型可知，時空耦合模糊控制是采用有限的二維模糊集通過空

間加權來擬合逼近全局空間的非線性控制，這必將導致兩個問題：第一，在初始狀態下，為了使遠離控制目標的空間點快速靠近控制目標，必將增大控制輸出，從而使本來接近控制目標的空間點將出現偏離控制目標的大擾動；第二，當整體空間的控制量接近控制目標的時候，由于控制誤差趨于微小，原有的控制論域分辨率無法判別輸入，使輸出陷入“死區”，導致出現過大的穩態誤差。基于此，筆者提出一種隨時間、空間動態變化論域和空間加權因子的自適應時空耦合模糊系統，以減小系統的穩態誤差和擾動，提高控制精度。

2 時空耦合變論域

2.1 空間模糊論域初始化

對于空間分布系統，空間變量的動態變化導致不同的空間點位置上系統輸入變量的動態變化范圍不同。傳統的固定初始空間論域(圖1)必然無法處理局部的空間差異，只能進行全局的粗糙控制，無法實現高精度時空耦合控制。筆者提出的改進空間模糊初始化論域如圖2所示。不同空間點的論域大小由該點的系統輸入變化區間決定。設f(zp)=xmax(p=1,2,…，n)為系統輸入變量在各空間點上的最大取值，則時空耦合模糊初始論域為[-f(zp),f(zp)]。

圖1 時空耦合論域

圖2 時空耦合變論域

2.2 時空模糊變論域伸縮因子

定義1 ?e∈E，z∈Z?Rn，稱函數α(z):E(z)→[0,1]，e(z)→α(e,z)為論域E(z)=[-L(z),L(z)]的一個空間伸縮因子，如果滿足條件：

a. 對偶性，?e∈E，z∈Z?Rn，α(-e,z)=α(e,z)；

b. 避零性，?z∈Z?Rn，α(0,z)=ε，ε為充分小的正數；

c. 單調性，?z∈Z?Rn，α(z)在[0，L(z)]上嚴格單調增；

d. 協調性，?e∈E,z∈Z?Rn，|e(z)|≤α(e,z)L(z)；

e. 正規性，?z∈Z?Rn，α(±L(z),z)=1。

初始論域[-L(z),L(z)]經過伸縮因子α(e,z)變換為[-α(e,z)L(z),α(e,z)L(z)]。由于時空耦合系統是隨時間和空間變化的動態系統，故“建筑”在論域之上的隸屬度函數Aij(e(t,z),t,z)、Bij(r(t,z),t,z)、Gij(u(t,z),t,z)是隨時空動態變化的。這使得控制規則(1)成為一組動態規則：

(2)

從而適應了系統輸入的變化，等效于動態地對規則庫進行了調整，但某一時刻的規則總數卻沒有改變。

2.3 時空模糊自適應空間加權因子

某空間點的空間加權因子hu(z)的大小決定了該點處的狀態對整體控制的影響，對于某空間分布系統，如果輸入偏差大的空間點的加權因子增大將導致整體控制輸出增大；如果輸入偏差小的空間點的加權因子增大將導致整體控制輸出的減小。

在初始狀態，由于不同空間點的控制量偏離控制目標的程度相差較大，為了避免小偏差空間點出現大的擾動，必須加大這些空間點的加權因子而減小大偏差空間點的加權因子，使整個空間分布控制量平穩過渡到被控目標；當所有空間點的控制量都逼近被控目標時，則需加大偏差大空間點的加權因子而減小偏差小空間點的加權因子，以便快速地穩定到控制目標，稱之為“變換主導空間點”。筆者采用分段變空間加權因子方法，基于輸入偏差實時修正空間加權因子，實現時空耦合模糊控制的自適應空間加權，其算法具體如下：

其中Emax(t)表示某個時刻所有空間點的最大輸入值；ε、γ、λ為設計參數，它們的值可以根據不同的控制對象進行設定，λ和γ為充分小正數。分段閾值ε不能設置太小，否則將影響系統的快速性。

3 仿真實例

考慮化工過程中的一個催化反應器，如圖3所示，反應物從A進入，從B輸出，整個催化反應在催化棒上進行。反應為放熱反應，而期望的反應溫度為0℃，所以該反應需要加一個外部冷卻源以保證催化反應的正常進行。

圖3 棒式催化反應器示意圖

假設反應器不與外界發生熱交換，則下面的偏微分方程能夠預測空間溫度T(z,t)(z∈[0,π])的變化趨勢:

βU[b(z)U(t)-T(z,t)]-βTexp(-τ)

邊界條件T(z,t)=0,z=0；T(z,t)=0,z=π；

T(z,t)=T0(z),t=0

其中，βT為無量綱的反應熱，βT=16；βU為無量綱的傳熱系數,βU=2；τ=2為無量綱的活化能。當無外界控制輸入時，設初始狀態T0(z)=sin(z)，該時空耦合系統是內部不穩定系統，如圖4所示。

圖4 無控制輸入溫度曲面

圖5～7分別給出了固定論域固定空間加權因子與變論域變空間加權因子時的系統仿真輸出。結果表明變論域自適應時空耦合模糊控制能有效抑制擾動，減小穩態誤差。

圖5 空間溫度分布

圖6 穩態誤差

圖7 z=0點擾動誤差

4 結束語

針對時空耦合系統控制精度低和擾動的問題，在時空耦合模糊集的基礎上引入變論域思想，提出了一種空間變論域自適應時空耦合模糊控制器的設計方法。基于空間輸入信息，在線實時調整時空耦合模糊集的論域和空間加權因子，很好地抑制了臨界點擾動，減小了穩態誤差。仿真算例也驗證了該方法的有效性。