數(shù)學(xué)應(yīng)用的“結(jié)構(gòu)不良”問題的教學(xué)對策

冒建生

【摘 要】數(shù)學(xué)應(yīng)用問題可分成“結(jié)構(gòu)良好”問題和“結(jié)構(gòu)不良”問題。目前，中學(xué)教學(xué)應(yīng)用題不夠重視“結(jié)構(gòu)不良”問題，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)解決問題的能力生長不平衡、能力增長缺乏后勁等問題。因此，應(yīng)當(dāng)合理利用課程資源，依托媒體技術(shù)，帶領(lǐng)學(xué)生走向現(xiàn)實生活，提升學(xué)生的建模能力。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)建模實際問題

所謂“結(jié)構(gòu)不良”問題，一般是指構(gòu)成問題的目標(biāo)、條件和解決問題的方法三者存在某種不確定性，因而也常常沒有唯一、標(biāo)準(zhǔn)的答案，并且問題的解決要與多個知識領(lǐng)域相聯(lián)系。數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題比開放性問題的范疇更大、更廣。在數(shù)學(xué)實際問題中，“結(jié)構(gòu)不良”問題是大量存在的，主要包含三種情形：一是概念的復(fù)雜性，知識應(yīng)用到具體的實踐中會包含許多概念，且概念間會發(fā)生復(fù)雜的相互聯(lián)系；二是實例的差異性，在同類各個具體實例的應(yīng)用中，所涉及的概念及相互作用的模式也有很大的差別；三是信息的不完整性，具體情境缺乏足夠的資源，材料不全或參數(shù)不完整，解決問題相應(yīng)的知識準(zhǔn)備不充分，等等。它是以具有開放性、實踐性和探究性為特征的。解決“結(jié)構(gòu)不良”問題需要解決者確立問題的條件和目標(biāo)，獲取對問題解決有價值的信息，激活、完善解決問題所需要的知識、技能、方法和策略。

一、數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題教學(xué)存在的弊端

1.應(yīng)用問題教學(xué)脫離實際。

人們將應(yīng)用題大致分成四個層次：（1）直接套用現(xiàn)成公式計算；（2）利用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型對應(yīng)用題進行定量的計算；（3）對于已經(jīng)加工提煉的、忽略了次要因素、保留下來的諸因素關(guān)系比較清楚的實際問題，建立數(shù)學(xué)模型；（4）對原始的數(shù)學(xué)問題進行加工分析，提煉出數(shù)學(xué)模型。近些年來，數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題的教學(xué)得到一些提倡和重視，但是，我們應(yīng)該看到，實際教學(xué)中的應(yīng)用題并非實際問題，而是實際問題抽象化的一個文本形式。經(jīng)典題目往往文本簡約，對事物細節(jié)舍棄較多，由于抽象程度較高，文本逐漸遠離實際背景而趨近數(shù)學(xué)模型。學(xué)生接觸的所謂應(yīng)用題中絕大多數(shù)是第（1）（2）個層次的問題，就是說我國中學(xué)數(shù)學(xué)實際問題的教學(xué)只是“結(jié)構(gòu)良好”問題的訓(xùn)練，實際問題的“數(shù)學(xué)化”過程被忽略了。

2.知識與建模能力生長不平衡。

由于受到閱卷“易于操作”的要求限制，高考中沒有將“結(jié)構(gòu)不良”問題列為考查內(nèi)容，因此，“結(jié)構(gòu)不良”問題在教學(xué)中備受冷落，課本上“實習(xí)作業(yè)”形同虛設(shè)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排一次建模活動，還應(yīng)將課內(nèi)與課外學(xué)習(xí)有機結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)建模活動與綜合實踐活動有機結(jié)合起來。” 這些理念和要求仍只是紙上談兵。學(xué)生面臨實際問題情境時的表現(xiàn)讓人失望，學(xué)生解決實際問題的能力發(fā)展停滯不前，知識與能力的增長極不平衡。

【案例】（2012年，南通市高考模擬卷）將52名志愿者分成A、B兩組參加義務(wù)植樹活動，A組種植150捆白楊樹苗，B組種植200捆沙棘樹苗。假定A、B兩組同時開始植樹。（1）根據(jù)歷年統(tǒng)計，每名志愿者種植一捆白楊用時24分鐘，種植一捆沙棘用時30分鐘，應(yīng)如何分配A、B兩組的人數(shù)，使植樹活動持續(xù)的時間最短？（8分）（2）在按（1）分配的人數(shù)種植1小時后發(fā)現(xiàn)，每名志愿者種植一捆白楊仍用時24分鐘，而每名志愿者種植一捆沙棘實際用時40分鐘，于是，從A組抽調(diào)6名志愿者加入B組繼續(xù)種植，求植樹活動持續(xù)的時間。（6分）

本題屬于中檔題，但由于學(xué)生不接觸生產(chǎn)實際，沒有參加植樹勞動的經(jīng)歷和體驗，約有35%的學(xué)生對兩組同時進行的“植樹活動持續(xù)時間”誤讀為“A、B兩組植樹時間的總和”，建模“走錯了路”，導(dǎo)致在錯誤的道路上越走越遠。另外，學(xué)生平時接觸較多的是較低層次的應(yīng)用題，在不斷套用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型的訓(xùn)練中養(yǎng)成了識別模型的習(xí)慣，對于學(xué)生解決實際問題的能力沒有實質(zhì)性的訓(xùn)練，這也是學(xué)生通過三年高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，建模能力卻沒有多大長進的原因。

3.學(xué)生能力增長缺乏后勁。

我國現(xiàn)行教育制度下，學(xué)生只能在封閉的教學(xué)環(huán)境中應(yīng)付各種無休止的解題訓(xùn)練、考試。所謂實際應(yīng)用題只是為了應(yīng)對考試而設(shè)立的，它們都是經(jīng)過人為加工的、“結(jié)構(gòu)良好”的問題，與原始的、“結(jié)構(gòu)不良”的復(fù)雜問題相去甚遠。面對真實情景的問題，將實際問題簡單化、理想化，是對實際問題進行“數(shù)學(xué)化”的重要方法，是數(shù)學(xué)建模的十分重要的步驟，但中學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)正是把這個“頭”給掐了。由于學(xué)校教育很少給學(xué)生提供分析和解決“結(jié)構(gòu)不良”問題的機會，學(xué)生走出學(xué)校大門后，面對真實世界中大量的“結(jié)構(gòu)不良”問題時，往往感到束手無策，不能對問題進行很好的翻譯、梳理、估算，對問題目標(biāo)、現(xiàn)有狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)之間出現(xiàn)的差異、變化無法找尋到可靠的操作路徑，這樣的教學(xué)也就談不上什么培養(yǎng)學(xué)生的“能力后勁”了。

人們常常抱怨學(xué)生的“高分低能”，這說明考試分數(shù)在一定程度上可以反映學(xué)生對書本知識的掌握情況，但往往不能反映學(xué)生的綜合素質(zhì)和實際能力。社會要求的人才不是會考試的人才，而是會解決實際問題、會做事的人才。誠如斯滕伯格研究發(fā)現(xiàn)的：“傳統(tǒng)上，以智商為基礎(chǔ)的學(xué)業(yè)智力，通常是通過解決結(jié)構(gòu)良好問題的能力來測量的，而現(xiàn)實世界的成功智力是以解決結(jié)構(gòu)不良問題的能力來衡量的。”

二、提高學(xué)生解決“結(jié)構(gòu)不良”問題的策略

1.建立保障機制，讓教師帶領(lǐng)學(xué)生走向現(xiàn)實生活。

荷蘭數(shù)學(xué)家、教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中給出了“數(shù)學(xué)化”原則：“現(xiàn)實世界自始至終貫穿在數(shù)學(xué)化之中，從現(xiàn)實世界形成數(shù)學(xué)概念，進一步抽象化、形式化，又應(yīng)用于現(xiàn)實世界中，通過現(xiàn)實世界的調(diào)節(jié)再次數(shù)學(xué)化，兩者交融在一起。”因此，首先教師要鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常接觸社會，讓學(xué)生到社會各領(lǐng)域、各階層中去，了解現(xiàn)實生產(chǎn)和實際情況，采集各個方面的信息、數(shù)據(jù)，在教師的指導(dǎo)下有目的地開展一些社會實踐調(diào)查活動，結(jié)合所學(xué)知識對一些問題進行數(shù)學(xué)的思考，嘗試“數(shù)學(xué)化”處理。例如水電費、通訊費等函數(shù)問題，交通路徑、彩票抽獎等概率統(tǒng)計問題，貸款、細胞分裂、退耕還林等數(shù)列問題，以及利潤最大、用料最省、效益最高等最優(yōu)化問題都可以作為學(xué)生開展實踐活動和數(shù)學(xué)建模的選擇對象、內(nèi)容。這種社會文化模式下的數(shù)學(xué)教學(xué)，尋求的主要目標(biāo)在于使數(shù)學(xué)成為解決問題過程中強有力的工具，給予學(xué)習(xí)者充分的數(shù)學(xué)實踐和能力發(fā)展的空間。

另外，把教學(xué)定位從升學(xué)考試轉(zhuǎn)為學(xué)生的發(fā)展，讓學(xué)生有機會走向社會開展數(shù)學(xué)建模活動，還需要全社會的廣泛支持。教育主管部門應(yīng)該建立對教育教學(xué)的多元評價方法體系以及相關(guān)的規(guī)章，以保證數(shù)學(xué)建模活動的順利開展，從制度上保證學(xué)校能夠正常開展建模活動，教師才可能不把“分數(shù)”視為命根子，放開手腳，讓學(xué)生走向社會生活，走進數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的“結(jié)構(gòu)不良”領(lǐng)域。這樣，數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)才可能落到實處，數(shù)學(xué)教育也才能跳出應(yīng)試教育的怪圈。

2.實施教師培訓(xùn)，提高教師指導(dǎo)學(xué)生建模的能力。

由于各種原因，數(shù)學(xué)教師自身十分缺乏社會各個領(lǐng)域的相關(guān)基本知識。盡管教師在純數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識方面表現(xiàn)出一定的優(yōu)勢，但是他們數(shù)學(xué)應(yīng)用意識不強，知識、能力結(jié)構(gòu)不夠合理，在指導(dǎo)學(xué)生走向社會生活，解決數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題的時候，無論是數(shù)學(xué)建模還是信息技術(shù)的應(yīng)用，都表現(xiàn)出一定的局限性甚至低能或無能。另一方面，現(xiàn)代的學(xué)生信息來源廣泛，接觸面較寬，更有部分學(xué)生想象力豐富，他們面對數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題提出的設(shè)想可能超出教師的想象和指導(dǎo)能力的范圍，若經(jīng)常面臨這樣的窘境，教師怎么可能順利地指導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模呢？所以，實施教師培訓(xùn)工程，提高教師的指導(dǎo)能力是必要的。通過學(xué)習(xí)培訓(xùn)和專家引領(lǐng)，增強教師的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，使他們認識到輕視數(shù)學(xué)應(yīng)用必將給學(xué)生的未來埋下嚴重的隱患；增強教師主動學(xué)習(xí)社會各領(lǐng)域知識的意識，提高他們自身的數(shù)學(xué)建模能力，特別要讓他們熟練掌握信息技術(shù)，跟上時代前進的步伐，以適應(yīng)新時代工作的需要，使他們能從更廣的維度和更深的層面上指導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域中的問題。

3.加強建模訓(xùn)練，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

在解決實際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是學(xué)生頗感困難的一步。建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實際問題理想化、抽象化為合理數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。首先，要指導(dǎo)學(xué)生有目的地進行調(diào)查，學(xué)會收集、整理數(shù)據(jù)資料，觀察、分析隱藏在其中的數(shù)量特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住主要矛盾，建立起反映實際問題所屬對象的數(shù)量關(guān)系。然后，再引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)和確定對象的一些基本量，尋找可能對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，要針對所要解決的問題特點，選擇具有關(guān)鍵性的主要變量，確定相互關(guān)系及其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；最后，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念、符號表達事物對象，建立起變量之間的明確關(guān)系，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)建模是一個不斷探索、不斷調(diào)整假設(shè)和完善結(jié)論的過程，更需要學(xué)生具有創(chuàng)新精神、合作意識，教師要給予學(xué)生獨立思考和獨立探索的機會，鼓勵學(xué)生相互協(xié)作、討論、質(zhì)疑，在解決實際問題的實踐過程中，通過觀察與分析、抽象與概括、類比與歸納等思維形式，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

在建模活動中，教師的主導(dǎo)作用是至關(guān)重要的，一方面教師要根據(jù)學(xué)生的特長、興趣、愛好，引導(dǎo)學(xué)生以適當(dāng)?shù)慕M合方式參與建模活動，明確個體在活動中的角色和任務(wù)，精心培育一個個能出色完成建模任務(wù)的“學(xué)習(xí)共同體”。在學(xué)生針對某一數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)不良”問題提出各種解決思路與方案后，“學(xué)習(xí)共同體”要開展交流、討論，相互糾正、補充、完善方案；另一方面，要啟發(fā)學(xué)生大膽猜想、小心推理、反復(fù)驗證，特別當(dāng)“學(xué)習(xí)共同體”遇有困難的時候，教師要能夠給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，幫助他們擺脫困境，明確問題癥結(jié)所在，提出改進的建議。

4.利用課本資源，讓課內(nèi)外的學(xué)習(xí)有機結(jié)合起來。

在教學(xué)過程中，人們的注意力主要集中在基礎(chǔ)知識識記和解題技能訓(xùn)練的層面上，而將知識的實際應(yīng)用置于次要地位，課本提供的應(yīng)用問題的資源遠遠沒有得到充分開發(fā)和利用。我們既要發(fā)揮課本上原有的與現(xiàn)實相關(guān)的信息資源的教學(xué)功能，讓學(xué)生夯實解決數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)良好問題的基礎(chǔ)；同時還要進入下一個層次——將原有的問題變更、拓展、延伸，如實習(xí)作業(yè)往往給一個思路，要求自己提出一個問題，設(shè)計解決方案，調(diào)查收集數(shù)據(jù)，分析解決問題，讓學(xué)生多涉足一點數(shù)學(xué)應(yīng)用的“結(jié)構(gòu)不良”問題；既要有概念、定理、公式等理論的學(xué)習(xí)、驗證，又要有包含實驗和操作技能的演練。充分利用課本資源，讓課內(nèi)外的學(xué)習(xí)有機結(jié)合起來，才能更加有效地訓(xùn)練學(xué)生解決實際問題的能力。如筆者組織學(xué)生開展“洗衣最佳浸泡時間”的研究，在與學(xué)生討論了數(shù)學(xué)建模方法、材料準(zhǔn)備和活動步驟的要素后，學(xué)生進入實驗操作及數(shù)據(jù)收集整理階段，把測得的數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，盡管不同組使用了不同的材料，以及成員在過程控制、pH計操作等方面存在著誤差，他們得出的結(jié)論不盡相同（同質(zhì)同實驗數(shù)據(jù)具有趨同性），但是通過建模活動，學(xué)習(xí)者還是充分感受到數(shù)學(xué)知識應(yīng)用及共同體合作學(xué)習(xí)的樂趣，加深了對化學(xué)原理、數(shù)學(xué)建模方法的理解，有效地將課內(nèi)外的學(xué)習(xí)結(jié)合了起來。

5.利用多媒體技術(shù)，讓學(xué)習(xí)環(huán)境更接近于真實世界。

“結(jié)構(gòu)不良”問題具有復(fù)雜性、多面性、綜合性的特點，應(yīng)用技術(shù)手段來尋求問題的解決方案，往往是必須的、有效的、快捷的。比如圖形計算器是一種現(xiàn)代手持技術(shù)，它具有數(shù)據(jù)處理功能、繪圖功能和進行一些數(shù)理實驗的功能，利用這些功能學(xué)生可以充分地參與探究性活動。教材中也安排了很多的探究案例，如蘇教版必修（第四版）第4冊第42頁的“港口深度的變化與三角函數(shù)”，當(dāng)學(xué)生面臨解不等式sin■x≥0.44-0.12x時，可以使用圖形計算器在同一坐標(biāo)系中分別畫出y=sin■x函數(shù)和y=0.44-0.12x的圖像，由圖像得到問題的答案。研究表明，當(dāng)學(xué)生在合作分組中使用計算機來解決問題時，技術(shù)可以有效地促進學(xué)習(xí)者思維能力、合作能力的培養(yǎng)和發(fā)展；當(dāng)學(xué)生運用交流工具來演示和共享解決問題的成果時，技術(shù)可以養(yǎng)成學(xué)習(xí)者批判性思維的習(xí)慣。即信息技術(shù)的合理利用可以為學(xué)習(xí)者解決實際問題提供強有力的支持，從而調(diào)動學(xué)生解決問題的積極性，促進學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)思維能力和解決實際問題能力的發(fā)展。特別是利用超文本、超媒體技術(shù)可以將真實的問題或事件進行鏈接，使學(xué)習(xí)環(huán)境更接近于真實世界。■

（作者單位：江蘇省如皋中學(xué)）