球體表面受任意周期熱擾動時非傅里葉導熱的求解與分析

趙偉濤,吳九匯

(1.西安交通大學機械學院, 710049, 西安; 2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安)

球體表面受任意周期熱擾動時非傅里葉導熱的求解與分析

趙偉濤1,2,吳九匯1,2

(1.西安交通大學機械學院, 710049, 西安; 2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安)

為研究球體表面遭受任意周期溫度變化這類非傅里葉傳熱情形下的熱波傳播特性,采用雙曲線型熱傳導方程來描述該超急速熱傳導問題。首先,利用分離變量法和Duhamel積分原理,得到了球體表面溫度突然變化時和以簡諧規律周期變化時這兩種情況下的解析解;然后,在此基礎上應用傅里葉級數展開法和疊加原理,獲得了球體表面溫度任意周期變化時的非傅里葉熱傳導的溫度場。利用得到的解析表達式進行數值模擬,分析了不同熱松弛時間、不同時刻和不同位置對溫度響應的影響,討論了非傅里葉熱傳導模型所給出的溫度響應與傅里葉熱傳導模型的差別。結果表明:非傅里葉熱傳導模型所給出的溫度響應曲線存在一系列有序的階躍點,其響應的幅值隨著熱松弛時間的減小而減小。這種方法能夠處理許多在生產實際中具有周期邊界條件的非傅里葉熱傳導問題。

非傅里葉熱傳導;周期變化;溫度響應;球體;解析解

自從17世紀傅里葉建立了導熱的數學模型,傅里葉定律隨之被廣泛地應用于導熱問題分析的各個領域。對于熱作用時間較長的穩態傳熱過程以及過程發生的時間不是非常短的非穩態常規傳熱過程,采用傅里葉定律來描述熱流密度與溫度梯度之間的關系是可以滿足精度要求的。但是,傅里葉定律不涉及熱流密度與時間的關系,隱含了熱擾動傳播速度為無限大的假設。隨著科學技術的進步,超短激光脈沖的出現和制冷水平的提高,存在著極高(低)溫條件下的傳熱問題和超急速傳熱問題,使得傅里葉定律中的準平衡條件假設不再成立[1-2]。

為了克服傅里葉定律的局限性,Cattaneo和Vernotte分別獨立地提出了具有熱流延遲相的非傅里葉熱傳導模型,計及熱流變化率對熱傳導的影響,其修正后的熱傳導方程為[3-4]

q=-kT-τ0

(1)

式中:q是熱流矢量;T為溫度;k為熱傳導率;t是時間;τ0為熱松弛時間。方程(1)結合能量守恒方程得到以溫度描述的雙曲線型熱傳導方程

a2T=+τ0

(2)

式中:a=k/(ρc)為熱擴散系數;ρ為密度;c為常應變比熱容。

為描述熱以有限速度傳播這一超常規熱傳導現象,研究者們對方程(2)在不同初始條件和邊界條件下進行了求解。周鳳璽等采用雙相延遲模型,研究了平板在周期溫度激勵下的溫度響應[5]。Sarkar采用Laplace變換技術研究了由介電材料制成的有限平板的雙曲線型熱傳導問題[6]。Tang求解了表面周期性加熱條件下有限介質的非傅里葉熱傳導問題[7]。Moosaie在Tang的工作基礎上,運用傅里葉積分表達式,求解了有限介質在周期表面熱擾動條件下的非傅里葉熱傳導問題[8]。Barletta分析了無限圓柱體存在內熱源以及與外界流體有熱對流的情況下的雙曲線型熱傳導問題[9]。Atefi使用分離變量法求解了邊界條件不隨時間變化的無限長圓筒的非傅里葉溫度場[10]。Mishra運用格子Boltzmann法研究了一維圓柱和球體的非傅里葉熱傳導問題[11]。Jiang運用Laplace變換法研究了空心球體在內外兩個表面溫度突然變化時的雙曲線型熱傳導問題[12]。Shirmohammadi采用分離變量法得到空心球體在周期表面熱流條件下的解析解[13]。

本文首先采用Duhamel積分和分離變量法分析了方程在球體表面溫度突變邊界條件和簡諧變化邊界條件這兩類特殊情況下解的形式,在此基礎上應用傅里葉級數展開法和疊加原理研究了任意周期邊界條件下的解。按照這些表達式,不同周期邊界條件下球體的雙曲線型熱傳導行為得到分析和研究。這為工程應用和數值計算的驗證提供了便利。

1 數學模型

考慮一半徑為r0、熱物性為常數的球體,假設其初始溫度T(r,0)=0,從t=0時起,球體外表面r=r0處遭受一溫度為f0f(t)的作用。在不考慮內熱源和忽略熱對流與熱輻射的情況下,一維球體的雙曲線型熱傳導方程為

(3)

其邊界條件為

(4)

初始條件為

(5)

式中:f0f(t)為任意給定的函數。

為了獲得控制方程(3)～(5)的歸一化形式,特引入以下歸一化量

(6)

為了書寫簡便,省掉歸一化量符號上方的橫線,則方程(3)～(5)歸一化后為

(7)

(8)

(9)

2 分析求解

由于邊界條件(8)中的f(t)是任意函數,這就使得直接求解方程(7)變得不可能。因此,首先假定f(t)為一時間無關量f,求解此條件下的溫度場;其次運用Duhamel積分,求解在任意函數f(t)下的溫度場。現在,求解在邊界條件f下方程(7)的定解。

設解

T(r,t)=θ(r,t)+ω(r,t)

(10)

(11)

(12)

ω(r,t)要滿足方程(11)和邊界條件(12),不妨設ω(r,t)=Ar2+Br+C(A、B、C是3個待定系數),代入上式,求出A、B、C,可得ω(r,t)=f。

θ(r,t)的定解問題為

(13)

(14)

θ(1,0)=-f

(15a)

(15b)

采用分離變量法求解偏微分方程(13),令

θ(r,t)=X(r)Y(t)

(16)

將式(16)代入方程(13),得到以下兩個方程

(17)

(18)

其中λ為分離常數。球貝塞爾方程(17)在邊界條件(14)下的本征值及相應的本征函數分別為

λn=nπ

(19)

(20)

方程(18)在邊界條件(15b)下的解為

Gn(t)=

(21)

(22)

把式(20)和(21)代入方程(16)得

(23)

式中:當n≤N時,βn為實數。

式(23)滿足邊界條件(15a),再利用特征函數(20)的正交性可得

(24)

因此,由方程(10)可得T(r,t)的表達式T(r,t)=R(r,t)f

(25)

(26)

(27)

把式(26)代入式(27)可得到表面溫度任意變化時非傅里葉導熱下球體內部的溫度場分布

(28)

Mn(t)=

(29)

當τ0→0時,方程(7)對應經典傅里葉導熱的情形。此時,βn為實數,式(29)變為

(30)

把式(22)代入式(30)進行整理得

(31)

把式(31)代入式(28)可得經典傅里葉導熱時球體內部的溫度場。

3 結果分析與討論

為了更好地理解不同邊界條件下球體的溫度場,下面給出3個特殊的例子。

3.1 溫度突變邊界條件

當半徑為r0的球體表面遭受一大小為f0的突然溫度變化(邊界條件為常數)時,歸一化后

f(t)=1

(32)

此時,式(25)是方程(7)的解

T(r,t)=R(r,t)

(33)

對于傅里葉導熱,當τ0→0時,方程的解為

根據式(33),可以計算得到球體表面遭受一突然溫度變化時球體內的溫度分布。

圖1給出了球體表面溫度突變時,不同熱松弛時間下球體內(r=0.5處)溫度隨時間的變化曲線,以及采用式(34)得到的傅里葉熱傳導模型下的溫度響應曲線。可以看出,當τ0=0.05,0.20,0.50時,其溫度分布曲線與典型的傅里葉溫度分布曲線已不一致,尤其是當τ0=0.20,0.50時,溫度以明顯的熱波形式向內傳播,熱傳導的非傅里葉效應更加明顯。從圖1還可以發現,球體內部溫度的升高可以超過邊界上作用的溫度,其幅值隨著τ0的增加而增加,這種現象在傅里葉導熱中并不存在。

圖1 球體表面溫度突變時不同熱松弛時間下的溫度響應(f(t)=1,r=0.5)

圖2 球體表面溫度突變時不同時刻下的溫度響應(f(t)=1,τ0=0.20)

3.2 簡諧變化邊界條件

當半徑為r0的球體表面遭受一幅值為f0、角頻率為α的簡諧溫度變化時,歸一化后

f(t)=cos(αt)

(35)

把式(35)代入式(28)、(29)得球體表面溫度簡諧變化時球體內部的溫度場分布

(36)

(37)

對于傅里葉導熱,當τ0→0時,把式(35)代入式(31)可得

(38)

把式(38)代入式(28)得傅里葉導熱的溫度分布T(r,t)=

(39)

圖3 球體表面溫度簡諧變化時不同位置處的溫度響應(f(t)=cos(α t),α=5,τ0=0.7)

圖4給出了在α=5的情況下,不同τ0下球體內(r=0.5處)溫度隨時間的變化曲線,以及采用式(39)得到的傅里葉熱傳導模型下的溫度響應曲線。從圖中可以看出,隨著τ0的減小,熱波的傳播速度增大,熱量能夠迅速地傳遞,從而導致球體內溫度響應的幅值也隨之減小,非傅里葉效應逐漸減弱。τ0越小,非傅里葉和傅里葉的溫度響應曲線越接近。

圖4 球體表面溫度簡諧變化時不同熱松弛時間下的溫度響應(f(t)=cos(α t),α=5,r=0.5)

3.3 任意周期邊界條件

當半徑為r0的球體表面遭受任意周期溫度變化時,假設該周期函數f(t)的周期為2l。由f(t)在實際中只能在t≥0上有定義,故可以在t<0的區間內將函數f(t)進行偶延拓,使f(t)=f(-t),即延拓后的函數為偶函數。將此函數展開成傅里葉級數,這個級數必定是余弦級數。這樣,對于周期為2l的周期函數f(t)都可以展開成余弦級數的形式

(40)

(41)

由于控制方程(7)、邊界條件(8)和初始條件(9)都是線性的,滿足疊加原理,為此可以先求方程(7)在滿足以下邊界條件情況下的解

(42)

αi=iπ/l

(43)

當i≥1時,方程(7)在邊界條件(42)和初始條件(9)下的解可以根據式(36)得到

(44)

(45)

(46)

把式(44)與式(46)進行疊加,可得球體表面溫度任意周期變化時的非傅里葉溫度場

(47)

當τ0→0時,根據疊加原理與式(34)、(39),可得在任意周期邊界條件下的傅里葉導熱溫度場

(48)

4 結 論

本文首先通過分離變量法和Duhamel積分原理,對球體表面溫度突然變化和以簡諧規律周期變化時這兩類邊界條件下的非傅里葉熱傳導問題進行了分析求解,在此基礎上,利用傅里葉級數展開法和疊加原理,得到了雙曲線型熱傳導方程在球體表面溫度任意周期變化時這個最一般情況下的解析解。通過理論計算與數值模擬,展示了非傅里葉熱傳導模型所給出的溫度響應與傅里葉熱傳導模型的如下差別:

(2)同一位置處,溫度響應的幅值隨著τ0的減小而減小,最終趨近于傅里葉熱傳導時的溫度響應;

[1] TUNG T L, FONG E. Application of solution structure theorem to non-Fourier heat conduction problems: analytical approach [J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2011, 54(23/24): 4796-4806.

[2] 王穎澤, 張小兵, 宋新南. 圓柱外表面受熱沖擊問題的廣義熱彈性分析 [J]. 力學學報, 2012, 44(2): 317-325. WANG Yingze, ZHANG Xiaobing, SONG Xinnan. Research on generalized thermoelastic problems of a solid cylinder subjected to thermal shock [J]. Acta Mechanica Sinica, 2012, 44(2): 317-325.

[3] CATTANEO C. Sulla conduzione del calore [J]. Atti del Seminario Matematico e Fisico della Universita di Modena, 1948, 3(3): 83-101.

[4] VERNOTTE P. Les paradoxes de la theorie continue deI’equation de la chaleur [J]. Compute Rendus, 1958, 246(22): 3154-3155

[5] 周鳳璽, 李世榮. 平板在周期溫度激勵下的非傅里葉溫度響應 [J]. 西安交通大學學報, 2006, 40(7): 866-868. ZHOU Fengxi, LI Shirong. Non-Fourier temperature response in a plate under periodic temperature boundary condition [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2006, 40(7): 866-868.

[6] SARKAR D, HAJI-SHEIKH. A view of the thermal wave behaviors in thin plates [J]. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2012, 39(8): 1009-1017.

[7] TANG D W, ARAKI N. Non-Fourier heat conduction in a finite medium under periodic surface thermal disturbance [J]. International Journal of Heat Mass Transfer, 1996, 39(8): 1585-1590.

[8] MOOSAIE A. Non-Fourier heat conduction in a finite medium subjected to arbitrary periodic surface disturbance [J]. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2007, 34(8): 996-1002.

[9] BARLETTA A, ZANCHINI E. Thermal-wave heat conduction in a solid cylinder which undergoes a change of boundary temperature [J]. Heat and Mass Transfer, 1997, 32(4): 285-291.

[10]ATEFI G, TALAEE M R. Non-Fourier temperature field in a solid homogeneous finite hollow cylinder [J]. Archive of Applied Mechanics, 2011, 81(5): 569-583.

[11]MISHRA S C, SAHAI H. Analyses of non-Fourier heat conduction in 1-D cylindrical and spherical geometry: an application of the lattice Boltzmann method [J]. International Journal of Heat Mass Transfer, 2012, 55(23/24): 7015-7023.

[12]JIANG F. Solution and analysis of hyperbolic heat propagation in hollow spherical objects [J]. Heat and Mass Transfer, 2006, 42(12): 1083-1091.

[13]SHIRMOHAMMADI R, MOOSAIE A. Non-Fourier heat conduction in a hollow sphere with periodic surface heat flux [J]. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2009, 36(8): 827-833.

(編輯 荊樹蓉)

SolutionandAnalysisofNon-FourierHeatConductioninaSolidSphereunderArbitraryPeriodicSurfaceThermalDisturbance

ZHAO Weitao1,2,WU Jiuhui1,2

(1. School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

In order to investigate the characteristics of thermal wave propagating in a solid sphere under arbitrary periodic surface thermal disturbance, the hyperbolic heat conduction equation was employed to describe this problem involving high-rate change of temperature. When the solid sphere surface is subjected to a sudden temperature change or a harmonic temperature change, the analytic solution of this problem is obtained by using the separation of the variables method and the Duhamel’s principle. Then the analytic solution of temperature field is achieved by using the Fourier series and the principle of superposition when the solid sphere surface is subjected to an arbitrary periodic temperature change. Using the obtained analytical solution, the temperature profiles of the solid sphere were analyzed, and the differences between the temperature response obtained by using the non-Fourier heat conduction model and that by using the Fourier model were discussed. The results show that there exists an orderly series of ‘jump points’ at temperature response curve which obtained by using the non-Fourier heat conduction model; and the amplitude of the temperature wave attenuates with the decrease of thermal relaxation. This solution can be applied for more realistic periodic boundary conditions occurring in engineering.

non-Fourier heat conduction; periodic changes; temperature responses; solid sphere; analytical solution

10.7652/xjtuxb201401003

2013-05-06。 作者簡介: 趙偉濤(1986—),男,博士生;吳九匯(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目: 教育部新世紀優秀人才支持計劃資助項目(NCET-09-0644);高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20090201120047)。

時間: 2013-10-15 網絡出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20131015.0900.002.html

TK124

:A

:0253-987X(2014)01-0013-06