細析錯因 有效補救

孫開飛

在《圓柱與圓錐》這一單元的單元測試中，有這樣的一道題：一個圓柱形鐵塊的底面半徑3厘米，高10厘米，將其鑄成圓錐形零件，這個零件的體積是多少立方厘米？結果有60%左右的學生做錯，而且錯誤的方法驚人的一致：V=■×3.14×32×10。對此教師作了針對性的評講。無獨有偶，在其后不久的期中測試中，又出現了一道與其類似的題目：一個圓柱形容器，底面半徑10厘米，里面放一些水，將一個圓柱形鐵塊放入其中（水沒有溢出，鐵塊完全浸沒），水面上升3厘米，求鐵塊的體積。這道題與上述試題難度一致，都屬于體積變形，結果仍有40%的學生出現差錯，原因仍是多乘了。在了解學生錯誤的原因時，學生說：“老師強調，要求圓錐的體積，不能忘記■，而題中要求圓錐的體積，所以我們都習慣性地乘■了。”面對學生的錯因，讓我明白錯誤的根源在于課堂，那么日常教學中到底出現了怎樣的弊端呢？反思這部分內容的教學，筆者覺得主要存在以下幾個問題：

首先，訓練以模仿為主，缺乏必要的變式，導致學生只掌握了知識的外殼，而忽略了數學的本質。學生能夠運用圓錐的體積公式V=■sh進行體積計算，主要得益于教師的反復強調與強化練習。教學中，尤其是學生掌握了圓錐體積公式之后的練習，仍然是圍繞“已知圓錐的底面半徑（或直徑、周長）和高，求圓錐體積”這種基本的題型，強調的是“要求圓錐的體積，不能忘乘■”，而沒有能及時地作變式訓練。這種反復的、大量的、機械的強化訓練，致使學生一看到求圓錐體積，就條件反射地乘■或除以3，因而一再地出現上述錯誤，就不足為奇了。

其次，思維如同單行線，缺乏必要的對比，導致學生只能順向而行，不能把握題目內涵。對于V=■sh這一公式的推導，教師在教學中花費了大量時間，進行了充分探索，學生也是學得透徹，因而運用這種方法計算圓錐的體積，在學生腦海中確立了牢固的地位。但這僅僅是圓錐體積計算的一個方法，還有其他方法教師未能涉及，即使在學生出現錯誤之后，教師的評講也是局限于“就題論題”，沒有對圓柱和圓錐的體積計算方法作有效的、針對性對比，致使學生的思維如同單行線，只會依據公式求圓錐體積，不能夠分析、把握題目的內涵。

問題的結癥找到了，那么如何避免這樣的錯誤呢？我覺得在學生熟練掌握圓錐體積計算方法后，有必要作針對性的補救。我設計的教學是：

一、 在實踐中感悟

1.出示一些不規則的石塊，提問：怎樣才能測出這些石塊的體積？（由于學生在學習《長方體與正方體》這一單元時，已經有了基礎，很容易想到：可以將石塊放入盛有水的量杯中，看水上升的體積）

2.如果將石塊改成圓錐，上升的體積還等于圓錐的體積嗎？

3.將量杯換成圓柱形容器，想一想，如何利用這個已經告訴我們底面半徑的容器來測量圓錐的體積呢？將圓錐放入水中，在完全浸沒的情況下，上升的這一段水柱的體積與圓錐的體積有怎樣的關系？如果此時要求圓錐的體積，實際是求什么的體積？為什么不需要乘■呢？

4.學生實際操作實踐。

【設計意圖：“數學教學，實際是數學活動的教學。”這一環節的設計，主要是讓學生直觀感受圓錐的體積等于上升的水柱的體積，而如果容器為圓柱形，則上升的這一段水柱也為圓柱，要求圓錐體積，在這里其實就是求上升的這一段圓柱形水柱的體積，故無需乘■。】

二、 在對比中提升

在上述實踐的基礎上，設計以下的三組對比題：

第一組：

1.一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），水面上升2厘米。求圓錐形鐵塊的體積。

2. 一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，再放入一個底面半徑2厘米，高3厘米的圓錐形鐵塊（完全浸沒），求圓錐的體積。

3. 一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，水深3厘米再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），這時水深5厘米。求圓錐的體積。

第二組：

1.一個圓柱形鐵塊的底面半徑3厘米，高10厘米，將其鑄成圓錐形零件，這個零件的體積是多少立方厘米？

2.一個圓柱形鐵塊正好可以熔鑄成底面半徑3厘米，高10厘米的圓錐形零件，這個零件的體積是多少立方厘米？

第三組：

1. 一個圓柱形容器，底面半徑6厘米，在里面放一些水，再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），水面上升2厘米。已知圓錐的底面半徑2厘米，求圓錐的高。

2.一個圓柱形鐵塊的半徑4厘米，高6厘米，將其鑄成底面半徑3厘米的圓錐形零件，求零件的高。

【設計意圖：烏申斯基曾說：“比較方法是各種認識和各種思維的基礎。”小學生在每一課的學習中所獲得的知識常常是局部的、分散的，會有“見葉不見枝、見木不見林”的現象，需要通過比較，來理解知識的內在聯系與區別。在這一環節中，教師設計了三組比較題組，從而進一步把握相關知識的本質，建構起合理的認知結構，促進思維能力的發展。】

三、 在反思中完善

由剛才的實踐以及對比訓練，你覺得要求圓錐的體積，是不是一定要乘■？那么在什么情況下要乘■，在什么情況下不需要呢？（引導學生得出：在告訴我們圓錐的底面半徑與高的情況下，求圓錐的體積，就需要乘■。）

【設計意圖：在實踐操作以及比較訓練的基礎上，引導學生自我反思總結，歸納出具有更高抽象性、概括性、包容性的認識，形成活化的知識組塊，檢查自我數學認知結構，融會貫通并有序儲存，從而優化認知結構。】

在運用了上述的補救措施后，學生幾乎沒有再犯類似的錯誤。而通過對上述錯例的分析與反思，也給我們一定的啟示。

1.科學設計練習，把握數學思想。數學教學中一定量的練習是必要的，但練習不是單純的題目堆砌，更不能一成不變，要注意量與度的平衡，否則適得其反。教師要重視對練習題型的重組與變式，把握其中蘊含的數學方法，巧妙地將轉化、模型等數學思想有意識地滲透于學習過程中，使學生解一題，會一類；同時，當學生出現典型的“通病”時，要仔細分析錯因，采取針對性措施，而不是就題論題。只有在科學合理訓練的基礎上，學生才能掌握更多的思維機制和數學思想，教學才能高屋建瓴。

2.重視解題反思，完善解題思路。我國著名數學家華羅庚在總結他的學習經歷時指出：“對書本中的原理、定量公式，我們不僅要記住它的結論，而且還要設想一下人家是怎樣想出來的，只有經歷了這樣的探索過程，數學的思想方法才能凝聚在這些結論上，從而使知識具有更大的智慧。”因而教師要引導學生自覺地檢查自己的思維活動，如反思我是怎樣解決問題的，走了哪些彎路，運用哪些方法，有哪些易錯之處，記住怎樣的教訓等等。只有這樣，才能促使學生真正理解和掌握，才能完善自我的解題思路。

學生在學習過程中出現錯誤是在所難免的，尤其是當學生出現典型的、普遍性的錯誤時，我們不能總是責怪學生沒有仔細認真，而要反思自己的教學過程，采取針對性的補救策略。

【責任編輯：陳國慶】