位勢井在3個非線性源項波動方程中的應用

李寶平, 帥 鯤, 蒲志林

(1.電子科技大學成都學院,四川成都611731; 2.四川師范大學成都學院,四川成都611745;3.四川師范大學數學與軟件科學學院,四川成都610066)

1 預備知識

為了解決不具有正定能量的雙曲方程整體解的存在性,1968年,D.H.Sattinger[1]首先引進位勢井理論,此方法是一種通過勢能項控制非線性項使得系統總能量正定的方法.此后,位勢井方法被用來進行各類非線性發展方程解的適定性分析[2-11],大多結果中用位勢井方法研究只含有一個半線性項f(u)的方程,如文獻[5]中對于給定常數γ>2,假設f(u)滿足

再由假設|uf(u)|≤λ|F(u)|可得到|uf(u)|=O(|u|γ).文獻[12]研究了f(u)初邊值問題解的爆破,其中,f(u)滿足單調增加且u>0凸,u<0凹,或f(u)在-∞

2 位勢井深度的計算與位勢井的定義

對井深的定義,文獻[13]研究了初邊值問題,定義了

可以看出,通過Nehari流定義的位勢井深度較抽象,研究其性質難度較大,并且也不易將其計算和應用于工程;另外,對于具有復雜源項的波動方程,也希望可以通過位勢井深度得知這些非線性項對系統性態的影響情況,因此定義

3 解的不變集合

定理3.1設p,q,r滿足條件(H),

則有:

(i)若u0(x)∈W,則u(t)∈W,0

(ii)若u0(x)∈V,則u(t)∈V,0

證明(i)由于u0(x)∈W,若u(t)?W,則必然存在第一個使u(t)∈?W的時刻t0,0

由引理2.2(ii)可知

這與E(0)=E(t)

(ii)由于u0(x)∈V,若u(t)?V,則必然存在第一個使u(t)∈?V的時刻t0,0

4 解的整體存在性與有限時間爆破

定義4.1u(x,t)被稱為問題(1)～(3)在Ω×[0,T)上的弱解,若

5 結論

通過借助具單個非線性源項的波動方程,本文引入了新的位勢井理論,進一步闡明了具3個非線性源項的波動方程初邊值問題解的整體存在性以及有限時間爆破.

在理論和工程應用上本文的工作都是很有價值的,通過重新構建的變分問題,本文計算位勢井深度并定義新的位勢井,清晰揭示了位勢井理論的內部原理,證明了解的初始值對整體適定性的影響,即U0∈W與U0∈V所導致的解的整體存在性.這一討論和分析清晰地說明了位勢井理論處理問題的外部原理,避免了過去復雜估計位勢井深度,便于直接有效地對問題進行分析.

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