奇異三階三點邊值問題正解的存在性

何文魁

(西北師范大學數學與統計學院,甘肅蘭州730070)

1 引言及預備知識

近年來,基于具體的應用背景,對奇異邊值問題正解存在性的研究吸引了許多學者的廣泛關注,并且得到了許多結果[1-7],關于更多三階邊值問題的結果,參見文獻[8-12].

2011年,文獻[1]獲得了

2個正解的存在性結果,其中,λ>0為參數,α∈[0,1),η∈(0,1),f∈C((0,1) ×(0,+∞),[0,+∞)),且在t=0、t=1和u=0處有奇性.

2010年,文獻[2]研究了

正解的存在性和不存在性,其中,1/2

2005年,文獻[3]獲得了

一個及多個正解的存在性結果,其中,1/2≤η<1為固定常數,a∈C((0,1),[0,+∞)),且在t=0和t=1處有奇性,F∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)).

在上述假設條件下,文獻[3]得到定理A.

定理A假設(A1)和(A2)成立,且有F0=F0=F∞=F∞=+∞,則?λ?使得對?λ∈n(0,λ?),問題(3)至少存在2個正解,其中

受上述文獻的啟發,本文考慮

正解的存在性,其中,λ>0為參數,1/2

類似于文獻[1]二階方程的情形,本文得到了三階邊值問題(4)2個正解的存在性結果,和文獻[2-3]相比較,在允許g和f分別在t=0、t=1和u=0處有奇性的情形下考慮問題(4)正解的存在性,而在文獻[2]中,g和f都沒有奇性,文獻[3]只允許a(t)在t=0和t=1有奇性,因此,考慮的情形較文獻[2-3]更為廣泛,得到的結果比定理A更加深刻;另外,由u(p)-u(1)=0得到,?η∈(p,1)使得u′(η)=0,因此,邊界條件u(0)=u(p)-u(1)=u″(1)=0 蘊含u(0)=u′(η)=u″(1)=0,若令p?1-,則邊界條件u(0)=u(p)-u(1)=u″(1)=0 可退化為u(0)=u′(1)=u″(1)=0,從而,我們的問題更具一般性,研究其正解的存在性是必要的.

令X=C[0,1],其上范數為,x∈X,則X按上述范數構成Banach空間.

引理1.1[2]對?h∈C[0,1],線性問題

為區間[a,b]上的特征函數,并且G(t,s)≥0,(t,s)∈[0,1]2.

引理1.2[2]若u∈C3[0,1],且滿足

并且a(t)≥min{t,1-t}≥t(1-t),0≤t≤1.

引理1.3[13-14]設X為實Banach空間,K?X為錐,Ω?X為有界開集,θ∈Ω是X中的零元,算子T:K∩|?K全連續,

(i)若x≠μTx對?x∈K∩?Ω和μ∈[0,1]成立,則i(T,K∩Ω,K)=1;

(ii) 若?θ≠x0∈K,使得x≠Tx+tx0對?x∈K∩?Ω成立,則i(T,K∩Ω,K)=0.

引理1.4[4]若f∈C((0,+∞),[0,+∞)),則存在單調增函數h∈C([0,+∞),[0,+∞)),使得f·h∈C([0,+∞),[0,+∞)),且滿足h(t)>0于(0,+∞).

2 主要結果及證明

定理2.1假設(H1)和(H2)成立,則?λ?>0,對?λ∈(0,λ?),問題(4)至少存在2個正解u和v,滿足0<‖u‖

為了證明定理2.1,首先考慮輔助問題

定義算子Tn:K|?C+[0,1]如下

其中,C+[0,1]={u∈X|u(t)≥0,t∈[0,1]},由引理1.2,TK?K,類似文獻[3]的引理2.3,可以證明Tn:K|?K全連續,由引理1.1,輔助問題(5)的解等價于u=λTnu的不動點.

引理 2.1對 ?r>0,?λr>0,使得i(λTn,Kr,K)=1對?λ∈(0,λr)和n∈N 成立,其中,Kr={u∈K|‖u‖

證明由引理1.4,存在單調增函數h∈C([0,+∞),[0,+∞))使得f·h∈C([0,+∞),[0,+∞)),且滿足h(t)>0于(0,+∞),對?r>0,令

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