帶Neumann邊界條件的Extended Fisher-Kolmogorov系統的定態分歧

張 強, 曾 艷, 李桂花, 張黔川

(中國民用航空飛行學院計算機學院,四川廣漢618307)

1 引言及預備知識

Extended Fisher-Kolmogorov(EFK)系統于19世紀80年代作為理論模型出現在相變以及其他雙穩態現象中[1-3].在過去的幾十年里,人們對EFK系統進行了廣泛的研究,解的結構(如行波解)和解的漸進行為[4-9]成為研究的關注點,而對其分歧問題的研究則很少.分歧揭示了當控制參數穿越臨界值時系統穩態解的變化規律.目前分歧理論[10-12]已廣泛地應用于物理和生物等領域的研究中[13-15].文獻[13]應用文獻[10]的方法研究了一類非線性磁流變阻尼系統的局部分岔,不過注意到文獻[13]考察的是一個有限維系統.而對于無窮維系統的分歧問題的研究,最近在文獻[12]中給出了規范化的Lyapunov-Schmidt約化方法.應用該方法,文獻[14]討論了Kuramoto-Sivashinsky方程的分歧問題.文獻[15]研究了基因繁殖在一平衡點附近的分歧.而本文應用此方法研究了EFK系統的定態分歧問題,得到了系統產生超臨界和次臨界分歧的完整判據、分歧解的表達式等結果,希望有助于加深對該方程動力學性質的理解.另外,在一定程度上也有助于理解類似的帶有四階導數項的反應擴散方程的動力學性質.

考慮下面EFK系統的定態分歧:

2 主要結果

致謝中國民用航空飛行學院面上項目(J2011-30)對本文給予了資助,謹致謝意.

[1]Coullet P,Elphick C,Repaux D.The nature of spatial chaos[J].Phys Rev Lett,1987,58(5):431-434.

[2]Dee G,Saarloose W.Bistable systems with propagating fronts leading to pattern formation[J].Phys Rev Lett,1988,60(25):2641-2644.

[3]Zimmermann W.Propagating fronts near a Lifschitz point[J].Phys Rev Lett,1991,66(11):1546-1546.

[4]Peletier L,Troy W.Spatial patterns described by the extended Fisher-Kolmogorov equation:periodic solutions[J].SIAM J Math Anal,1997,28(6):1317-1353.

[5]Tersian S,Chaparova J.Periodic and homoclinic solutions solutions of extended Fisher-Kolmogorov equations[J].J Math Anal Appl,2001,260(2):490-506.

[6]Rottschddotaer V,Wayne C.Existence and stability of traveling fronts in the extended Fisher-Kolmogorov equation[J].J Diff Eqns,2001,176(2):532-560.

[7]Kwapisz J.Uniqueness of the stationary wave for the extended Fisher-Kolmogorov eqaution[J].J Diff Eqns,2000,165:235-253.

[8]Bartuccelli M.On the asymptotic positivity of solutions for the extended Fisher-Kolmogorov eqaution with nonlinear diffusion[J].Math Meth Appl Sci,2002,25:701-708.

[9]羅宏,蒲志林.Extended Fisher-Kolmogorov系統的整體吸引子及其分形維數估計[J].四川師范大學學報:自然科學版,2004,27(2):135-138.

[10]Guckenheimer J,Holmes P.Nonlinear Oscillations,Dynamical Systems,and Bifurcations of Vector Fields[M].New York:Springer-Verlag,1997:117-226.

[11]鐘承奎,范先令,陳文塬.非線性泛函分析引論[M].蘭州:蘭州大學出版社,1998:155-185.

[12]馬天,汪守宏.非線性演化方程的穩定性與分歧[M].北京:科學出版社,2007:125-203.

[13]鐘吉玉.關于Kuramoto-Sivashinsky方程平衡解的分岔問題[J].四川大學學報:自然科學版,2006,43(2):277-280.

[14]周鈺謙,劉倩.一類非線性磁流變阻尼系統的局部分岔[J].四川大學學報:自然科學版,2008,45(2):241-244.

[15]李俐玫,魏純輝.基因繁殖的在平衡點(0,0)附近的定態分歧[J].四川大學學報:自然科學版,2011,48(5):995-1000.