帶有阻尼項的廣義SRLW方程的一個線性差分格式

劉 倩, 胡勁松, 林雪梅

(西華大學數學與計算機學院,四川成都610039)

在研究弱非線性離子聲波和空間帶電波的傳播時,文獻[1]提出了廣義對稱正則長波(SRLW)方程:

方程(1)～(2)也出現在許多其他數學物理研究領域[2-4].關于SRLW方程的定解問題的適定性及數值方法的研究也引起了廣泛關注[5-12].在實際問題中,粘性阻尼是不可避免的,而且與色散一樣起著十分重要的作用.本文考慮如下一類帶有阻尼項的耗散廣義SRLW方程的初邊值問題:

其中,p≥2為正整數,υ>0是耗散系數,γ>0是阻尼系數.

在考慮耗散時,方程(3)～(4)是反映非線性離子聲波運動本質現象的合理模型[13],文獻[13-17]分別討論了方程(3)～(4)的解的適定性和整體存在唯一性以及解的長時間性態等,但其解析解很難求出.于是,研究初邊值問題(3)～(6)的數值解就很有理論價值和應用價值.文獻[18-19]分別討論了初邊值問題(3)～(6)在p=2時的差分近似解,本文考慮更一般的情形,構造了問題(3)～(6)的一個三層線性有限差分格式,數值計算時不需要迭代,時間比較節省,討了其差分解的先驗估計,分析了該格式的二階收斂性和無條件穩定性,同時給出數值算例來說明該格式的有效性.

1 線性差分格式及差分解的估計

2 差分格式的收斂性與穩定性

表1 p=3時,在幾個不同時刻的誤差(τ=h)Table 1 The errors of numerical solutions at various time step with τ =h for p=3

表2 p=5時,在幾個不同時刻的誤差(τ=h)Table 2 The errors of numerical solutions at various time step with τ =h for p=5

3 數值實驗

在t=0時,由于阻尼還沒有作用,耗散還沒有產生,所以在數值實驗中,把問題(3)～(6)中的初值函數取為廣義 SRLW方程(1)、(2)的初值函數[5](t=0時):

對初邊值問題(3)～(6)考慮p=3和p=5這2種情況進行數值實驗.固定-xL=xR=20,T=1.0,取υ=γ=1.由于方程(3)～(4)的精確解并不知道,用類似文獻[18-19]的誤差估計方法,將細網格(h=τ=1/160)上的數值解作為精確解來估計誤差,就τ和h的不同取值時,幾個不同時刻的l∞誤差見表1和2.

從數值算例看出,本文的格式明顯具有二階精度,而且是一個線性格式,計算時間也比較節約.所以本文的格式是實用而可靠的.

致謝西華大學研究生創新基金(YCJJ201311)對本文給予了資助,謹致謝意.

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