不確定隨機時滯反應擴散廣義細胞神經網絡的有限時間魯棒穩定性

羅 蘭, 劉正龍

(川北醫學院計算機與數學教研室,四川南充637000)

自1988年L.O.Chua等[1]和T.Yang等[2]提出著名的細胞神經網絡模型以來,由于其在圖像處理,模式識別,時間序列分析,信號處理與控制等領域的廣泛應用,細胞神經網絡已成為許多學者研究的熱點之一.為了便于神經網絡的硬件實現,S.Espejo等[3]提出了廣義細胞神經網絡,其特點是提供了單元(細胞)高階動力學線性動態部分及與應用有關的任意靜態非線性,各單元具有一致結構,但允許單元之間存在變化等.在實際的神經系統中,由于細胞間信號傳遞的時間延遲,導致本來穩定的網絡變成不穩定的網絡,因此,在系統中考慮時滯是非常有必要的[6-9];再者,電子在不均勻的電磁場中運行,擴散現象不可避免,所以對具有反應擴散的神經網絡的研究也是很有必要的[10-11];加之,神經信號傳輸是一個受隨機因素影響的充滿噪音的過程,即有必要引入隨機神經網絡[12-13];最后,由于建模誤差,網絡參數的變化,對系統來說確切的參數是不可能存在的,故而討論了范數有界的參數不確定細胞神經網絡.總的來說,將時滯、反應擴散、隨機擾動和參數不確定項放入廣義的細胞神經網絡來考慮,是具有實際意義的.

近來,關于細胞神經網絡的穩定性研究一般考慮的是Lyapunov漸近穩定問題,即時間趨于無窮時系統的動態行為.而在實際中,可能需要知道系統在某個固定的時間間隔具有的動態行為,即有限時間的穩定性[14].因此,對廣義細胞神經網絡的有限時間穩定性分析也是有必要的.

基于以上論述,在這篇文章中,研究了不確定隨機時滯反應擴散廣義細胞神經網絡的有限時間魯棒穩定性,得到了系統有限時間魯棒穩定的充分條件.

記對稱矩陣X,Y,X≥Y(或X>Y)表示X-Y是半正定(或正定)的,MT表示矩陣M的轉置,I是有合適維數的單位矩陣,λmax(M)和λmin(M)表示矩陣M的最大和最小特征值,E{·}定義為數學期望

是緊集,其邊界?Ω光滑且在Rl有mes?Ω>0,C(X×Y,Rn)表示映射X×Y→Rn的連續函數的Banach空間,對于矩陣,如果沒有特別說明,表示有適當維數.

1 模型介紹

考慮如下具有時滯和反應擴散的廣義細胞神經網絡:

其中x=(x1,x2,…,xl)T∈Ω?Rl是空間變量,ui(t,x)是第i單元于時刻t和空間x的狀態變量,光滑函數Dik≥0是擴散算子,

h≥1為常數,當h=1,則系統(1)變為通常的反應擴散細胞神經網絡模型.fj(uj(t,x))是第j單元于時刻t和空間x的激活函數,τij≥0是一個神經元到下一個神經元的傳輸時間延遲,Ii是第i個單元所受的常數驅動力,ci>0表示在與神經網絡不連通并且無外部附加電壓差的情況下第i個神經元恢復孤立靜息狀態的速率,aij,bij表示第i個神經元和第j個神經元之間的連接強度.

給出系統(1)的初始值和邊界條件:

接下來,給出不確定隨機反應擴散廣義細胞神經網絡的有限時間魯棒穩定性的定義以及在證明主要結論時要用的幾個引理:

2 主要結論

現在,給出不確定廣義細胞神經網絡(4)的有限時間魯棒均方穩定的充分條件及其證明.

定理2.1不確定廣義細胞神經網絡(4)關于正實數(c1,c2,T)是有限時間魯棒均方穩定的,如果存在對角矩陣P=diag(p1,p2,…,pn)>0,矩陣Q1,Q2>0和常數ε1,ε2,α>0滿足

其中,ζ=λmax(P)+τλmax(Q1)+τλmax(Q2)λmax(LL),由定義可知,系統(4)的有限時間魯棒隨機穩定性得證.

基于定理2.1,有以下推論:

推論2.1去掉參數不確定項,隨機時滯反應擴散細胞神經網絡系統是有限時間魯棒均方穩定的,如果存在對稱正定矩陣P=diag(p1,p2,…,pn)>0,矩陣Q1,Q2>0和常數ε1,ε2,α>0滿足(6)式及

定理2.2在假設(A1)～(A3)下,系統(4)是有限時間魯棒均方穩定的,若存在對稱正定矩陣P=diag(p1,p2,…,pn)>0,矩陣Q1,Q2>0和常數εi>0(i=a,b,c,m,n)滿足(6)式及

3 數值舉例

4 結論

考慮了一類具有時滯,反應擴散,隨機擾動及參數不確定項的廣義細胞神經網絡,在不確定項范數有界的條件下,給出了系統的有限時間魯棒均方穩定的充分條件,并通過線性矩陣不等式(LMI)來表示,易于求解,最后通過數值舉例來表明結論的可行性.

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