關于Lozi吸引子結構的討論

郭 峰, 謝建華

(西南交通大學力學與工程學院,四川成都610031)

1963年美國氣象學家E.N.Lorenz[1]在研究對流實驗時發現了Lorenz吸引子,1976年法國天文學家M.Hénon[2]在球狀星團研究中得到一個兩維映射f(x)=(1-ax2+by,x),發現了Hénon吸引子.最近幾十年,科學工作者對奇怪吸引子進行了深入地研究,在對其結構和動力學行為的刻畫方面取得很大的進展.

Lozi將Hénon映射中較難研究的平方項簡化為分段線性項,提出了Lozi映射f(x)=(1-a|x|+by,x),減小了對吸引子中鞍點和鞍型周期點的不穩定流形分析工作的難度.J.Lozi[3]選定參數a=1.7,b=0.5,數值模擬出一個奇怪吸引子.M.Misiurewicz[4]在參數滿足以下條件:

對Lozi映射中的奇怪吸引子進行了理論研究,證明了奇怪吸引子為第一象限中雙曲不動點X的不穩定流形的閉包,穩定流形在吸引域中是稠密的,并且還證明了吸引子具有穩定的雙曲結構.后來T.Tel[5-7]從理論上分析了Lozi映射鞍點的不穩定流形和鞍型周期2點的不穩定流形,而且做了一些關于奇怪吸引子的數值計算.朱照宣等[8]采用對偶線性映射的方法分析了當a=8/5,b=9/25時吸引域的結構.文獻[9-10]證明了該映射的吸引域是邊界包含在中區域的并和的閉包.證明了對b<0時,映射仍然存在一個奇怪吸引子,進一步得出橫截同宿點和弱橫截同宿點在吸引子中是稠密的結論.

本文在前人對Lozi映射的研究基礎上,對一些細節問題進行了討論和補充.對該映射的捕獲域的構造過程進行了詳細地描述.并借助幾何圖形,將該映射的捕獲域和吸引子的結構形象直觀地刻畫出來.運用測度理論找到了存在奇怪吸引子的一個必要條件.

1 Lozi映射

2 Lozi映射的不動點和特征值

3 捕獲域

4 Lozi映射的不穩定流形

5 結論

本文結合前人對Lozi映射的研究,詳細地討論和計算了一些細節上的問題,對該映射的捕獲域的構造過程進行了細致地描述.并借助幾何圖形,將該映射的捕獲域和吸引子的結構形象直觀地刻畫出來,與理論上的分析是一致的.運用測度理論找到了一個正的測度集,其為奇怪吸引子存在的一個必要條件.

[1]Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos-pheric Science,1963,20:130-141.

圖10 Lozi吸引子(a=1.7,b=0.5)Fig.10 The Lozi attractor(a=1.7,b=0.5)

圖11 Lozi映射的正測度集Q(P)Fig.11 The positive measure set Q(P)of the Lozi mapping

[2]Hénon M.A two-dimensional mapping with a strange attractor[J].Commun Math Phys,1976,50:69-77.

[3]Lozi J.Un attracteur etrange du type attracteur de Hénon[J].J Phys(Pairs),1978,39:9-10.

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[5]Tel T.On the construction of stable and unstable manifolds of two-dimensinal maps[J].Z Phys,1982,B49:157-160.

[6]Tel T.On the construction of invariant curves of periodic-two points in two-dimensinal maps[J].Phys Lett,1983,A94:334-336.

[7]Tel T.Invariant curves,attractors and phase diagram of a piecewise linear map with chaos[J].J Stat Phys,1983,33:195-199.

[8]朱照宣,劉曾榮.一個分段線性Hénon映射吸引集合的結構[J].應用數學與學,1988,9:771-778.

[9]曹永羅.Lozi映射的奇怪吸引子和吸引域的結構[J].數學進展,1996,25:315-319.

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